第十七章 特殊三角形易错训练与压轴训练（单元复习 5类易错+7类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十七章 特殊三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 易错题型二　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 4 易错题型三　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 6 易错题型四　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 11 易错题型五　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 17 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 20 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 24 压轴题型三　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 29 压轴题型四　利用倍角关系构造新等腰三角形 34 压轴题型五　共顶点的等边三角形手拉手模型 38 压轴题型六　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 42 压轴题型七　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 47 02 易错题型 易错题型一　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 巩固训练 1．已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 2．若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 易错题型二　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 2．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 3．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 易错题型三　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 巩固训练 1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 易错题型四　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 巩固训练 1．在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 2．如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 3．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    易错题型五　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 巩固训练 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 2．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 3．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________． 03 压轴题型 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求的度数． 巩固训练 1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 巩固训练 1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 压轴题型三　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 巩固训练 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 压轴题型四　利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 巩固训练 1．在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 压轴题型五　共顶点的等边三角形手拉手模型 例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 巩固训练 1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分； (3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明． 压轴题型六　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 巩固训练 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      压轴题型七　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 例题：（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 特殊三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 易错题型二　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 4 易错题型三　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 6 易错题型四　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 11 易错题型五　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 17 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 20 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 24 压轴题型三　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 29 压轴题型四　利用倍角关系构造新等腰三角形 34 压轴题型五　共顶点的等边三角形手拉手模型 38 压轴题型六　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 42 压轴题型七　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 47 02 易错题型 易错题型一　求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 【答案】这个等腰三角形的周长为10． 【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰，所以要分情况讨论． 【详解】解：①当时，解得， 则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形， 此时这个等腰三角形的周长为； ②当时，解， 则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）． 综上所述，这个等腰三角形的周长为10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解． 巩固训练 1．已知是等腰三角形．如果它的两条边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】17 【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是 ． 【答案】11或13或17 【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可． 【详解】解：①当是底边时，则腰长为，5， ∴， ∴， 即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ②当5是底边时，则腰长为，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长； ③当是底边时，则腰长为5，， ∴，解得， 即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形， ∴等腰三角形的周长． 综上所述，三角形的周长可以是11，14或17． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？ 【答案】(1) (2)能 【分析】（1）设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为，列出方程求解即可； （2）根据三角形三边之间的关系，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为x，则腰长为， ， 解得：， ∴， ∴该三角形的三边长分别为． （2）解：当底边长为时， 腰长为， ∵， ∴能围成底边长为，腰长为时的等腰三角形； 当腰长为时， 底边长为， ∵， ∴不能围成腰长为的等腰三角形； 综上：能围成有一边长为的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 易错题型二　当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【答案】或 【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：当的角是底角时，则底角为， 当的角是顶角时，则底角为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 巩固训练 1．等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 2．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 3．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解． 易错题型三　求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：，为的中点， ， 四边形是矩形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 巩固训练 1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ． 【答案】20°或27.5°或35° 【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1， ∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°； ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2， ∵AD＝BD，∠B＝70°， ∴∠BAD＝∠B＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝20°； ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3， 则∠ADB＝∠B＝70°， 又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝35°． 故答案为：20°或27.5°或35°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为 ． 【答案】或9或3 【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°， ∴， ∴， 当点P在线段AB上时，如图， ∵， ∴∠BPC=90°，即PC⊥AB， ∴； 当点P在AB的延长线上时， ∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB， ∴∠CPB=30°， ∴∠CPB=∠PCB， ∴PB=BC=3， ∴AP=AB+PB=9； 当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图， ∴， ∵， ∴∠APC=60°， ∴∠ACP=60°， ∴∠APC=∠PAC=∠ACP， ∴△APC为等边三角形， ∴PA=AC=3． 综上所述，的长为或9或3． 故答案为：或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键． 3．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理先求出的长，再分三类：当时，当时，当时，分别进行讨论即可得到答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想是解题的关键． 易错题型四　求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在中，，，，点P，Q分别是边AB，BC上的一个动点，点P从以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用直角三角形的性质可得，，再根据点P，Q的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ，， 点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）； 点从点运动到点所需时间为（秒）， 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时，， 在中，，即， 解得，不符题设，舍去； （2）如图，当时，为直角三角形， ①当时，，，，， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时，， 在中，，即， 解得，符合题设； 综上，的值是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键． 巩固训练 1．在中，，其中一个内角度数是，点D在直线BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】、或 【分析】根据题意分为若及进行讨论，再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图2，在中，，若， 点在直线边上，为直角三角形，且当时，    ； 如图3，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ； 如图4，在中，，若，    点在直线边上，为直角三角形，且当时， ， ； 故答案为：、或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 2．如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图，当时，    同理可得， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 3．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 易错题型五　三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得： 或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立； 当时，即此时等腰三角形的三边为，，， ，符合三角形的三边关系， 此情况成立． 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 巩固训练 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．    故答案为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键． 2．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【答案】9cm或21cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 3．已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________． 【答案】100°，70°，40°或者10° 【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解． 【详解】第一种请况：BD=CD时，如图， ∵BD=CD，∠B=20°， ∴∠B=∠DCB=20°， ∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°， （1）当DA=DC时，∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°， ∴∠A=∠ACD=70°； （2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°， ∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°； （3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°； 第二种请况：BC=CD时，如图， ∵∠B=20°，BC=CD， ∴∠B=∠BDC=20°， ∴∠ADC=180°-∠BDC=160°， ∵△ADC是等腰三角形， ∴有∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠A=10°； 第三种情况：BC=BD时，如图， ∵BC=BD， ∴∠BDC=∠BCD， ∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°， ∴∠BCD=∠BDC=80°， ∴∠ADC=180°-∠BDC=100°， ∵△ADC是等腰三角形， ∴有∠A=∠ACD， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠A=40°； 综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°， 故答案为：70°，100°，40°，10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键． 03 压轴题型 压轴题型一　利用平行线+角平分线构造等腰三角形 例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由角平分线的定义得，由得即可求证； （2）先求出，根据“三线合一”得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴由（1）得： ∵是等腰三角形，是的中点． ∴ ∴． 巩固训练 1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用角平分线的定义、平行线性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，，， ， 又，， ． 2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得出答案； （2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证． 【详解】（1）解：∵， ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB， ∵和的平分线交于点O， ∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO， ∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC， ∴， ∴， 故答案为：8； （2），理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 压轴题型二　过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 巩固训练 1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 压轴题型三　巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）过点C作交于点M，由可得，根据平行线的性质得出，可得，进而得出，再根据据证明，得出，等量代换即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：过点C作交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键． 巩固训练 1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中） (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 压轴题型四　利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 巩固训练 1．在中，，点在边上，，点在线段上，． (1)如图，若点与点重合，则______； (2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系； (3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论； （3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， 则， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接， 则， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是的外角， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 压轴题型五　共顶点的等边三角形手拉手模型 例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质， （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明，即可得证； （2）由（1）可得，继而得到，证明，得，根据等边三角形的判定即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴； （2）为等边三角形． 理由：∵，， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 巩固训练 1．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分； (3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）过点分别作，，垂足为点 ，，由得到，从而，故有，根据角平分线判定即可求证； （）在上截取一点 ，使得，证明是等边三角形，即可证明，从而得证． 【详解】（1）证明：∵和 都是等边三角形， ∴ ，，， ∴， 即， 在和 中， ， ∴， ∴ （2）如图，过点分别作，，垂足为点 ，， 由（）知：，， ∴， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， 即平分； （3），理由： 如图，在上截取一点 ，使得， 由（）知：， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 由（）得：平分， ∴， ∴是等边三角形，又是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解答的关键． 压轴题型六　共顶点的等腰直角三角形手拉手模型 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形 结合线段的和差即可得到结论； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； 【详解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 即， ∵点D，E在，上，， ∴； （2），， 理由如下：延长，分别交、于F、G， ∵和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即； 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2），；理由见解析 【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题； （2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2），； 理由如下：如图2中， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴； 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      【答案】（1）见解析；（2） 结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由见解析；（3） ；，理由见解析 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得BC=BD+CD=CE+CD成立； （2）同样证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得成立，故BC=CE+CD不成立； （3）补全图形，同样证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可作出结论： ；． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AB=AC，AD=AE， ∴ ∴   ∴ △BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE ∴BC=BD+CD=CE+CD （2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下： 又∵AB=AC，AD=AE （3） ；；理由如下： 补全图形如图3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， 由（1）同理可得， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°， ∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°， 即，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解答的关键． 压轴题型七　共顶点的一般等腰三角形手拉手模型 例题：（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析 (2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析 【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论． 【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴、是等边三角形， 故答案为：等边三角形． ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在△BAE与△DAC中， ∵， ∴． ∴． （2）①当，时，成立． 理由：如图， ∵， ，，    ∴， ∴； ②当，时，不成立． 理由：如图， ∵，    ∴，， ∴与不全等， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)详见解析 【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立． 【详解】（1）． 理由：因为和是“同源三角形”， 所以，所以． 在和中， 所以． 所以． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；    （3）由（1）可知， 所以，． 因为，的中点分别为，， 所以． 在和中， 所以， 所以，． 又因为， 所以． 所以，所以是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$