第十七章 特殊三角形单元重点综合测试-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十七章 特殊的三角形单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 2．如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A．3 B．4 C．3或 D．4或 3．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 5．若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在中，，D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的和，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．生活中的衣架可以近似看成一个等腰，如图所示，其中，，，则高的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 10．如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（    ）    A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7 12．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 13．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 14．如图，已知，点……在射线上，点……在射线上，……均为等边三角形，若 ，则的边长为（   ） A．6 B． C． D． 15．在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D．4 16．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 18．（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 19．如图，中，，，，射线与边交于点D，E、F分别为、中点，设点E、F到射线的距离分别为m、n，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 21．如图，平分，于点E，于点F，若． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 22．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 23．如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为______． 24．如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 25．等边三角形边长为8，点D为直线上一点，连接，以为边，在的右边作等边（点A、D、E为逆时针排列），连接． (1)如图1，当点D运动在线段上时，线段与线段的数量关系为__________；的度数为__________． (2)如图2，当点D运动到的延长线上时， ①请根据题意尺规作图，画出，连接． ②请判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由； (3)若，则的长为__________； (4)的最小值为__________； 26．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们将奇异三角形定义为两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ 【感知】 （1）根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空__________（填“正确”或“不正确”）； （2）若某三角形的三边长分别是3、、，则是奇异三角形吗？__________（填“是”或“不是”）； 【思考】若是奇异三角形，且其两边长分别为2、，则第三边的边长为__________；且此直角三角形的三边之比为__________（请按从小到大排列）； 【运用】如图2，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，． （1）求证：是奇异三角形； （2）当是直角三角形时，记的面积为，四边形的面积为，则__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 特殊的三角形单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A．3 B．4 C．3或 D．4或 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， 在中，， 点D表示的数与点A距离为5， 点D表示的数是或， 故选：D． 3．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 5．若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴， 当顶角为，即，则， 当底角为，即， ∴的度数为或， 故选：D． 6．如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴； 故选B． 7．如图，在中，，D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的和，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键． 根据，D为边的中点，得，结合点B，C对应的数求出长，即得． 【详解】解：∵在中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：A． 8．生活中的衣架可以近似看成一个等腰，如图所示，其中，，，则高的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，，， ∴， ∴， ， 故选C． 9．如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记这些性质是解题的关键．根据三角形内角和可得，进而得出，得到，中，由，可求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 10．如图，直线，的顶点A在直线上，，，分别交直线于点和点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题本题主要考查了平行线．熟练掌握两直线平行，内错角相等，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（    ）    A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解． 【详解】解：当时， ， ； 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形； 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形； 综上分析可知：，故B正确． 故选：B． 12．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了勾股定理，绝对值，二次根式以及平方的非负性，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据非负性求出a，b，c，即可判断． 【详解】解：， ， ， 这个三角形一定是直角三角形． 故选：B． 13．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 14．如图，已知，点……在射线上，点……在射线上，……均为等边三角形，若 ，则的边长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、根据等角对等边求边长、三角形的外角的定义及性质、数字类规律探索 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由是等边三角形，可得，则，，，由，是等边三角形，同理可得，，，，…，进而可推导一般性规律为，的边长，然后求解作答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，是等边三角形， 同理，，，，… ∴可推导一般性规律为，的边长， ∴的边长为， 故选：C． 15．在中，，过点A作，连接与交于点F，E是边的中点，，若，，则的长为（    ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解答该题的关键是掌握以上知识点． 利用直角三角形的性质得出，利用等边对等角、三角形外角的性质可得出，利用等角对等边可得出，然后在利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵是边的中点，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 16．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 18．（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 【答案】 25 【知识点】一元一次不等式组应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 19．如图，中，，，，射线与边交于点D，E、F分别为、中点，设点E、F到射线的距离分别为m、n，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 4.8 5 【知识点】根据三角形中线求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练掌握三角形的中线的含义是解题的关键．连接，，根据面积关系可以求得，当最小为边上高时，即可求出的最大值． 【详解】解：如图，连接，，过E作垂线，垂足为M点，过F作垂线，垂足为N点，即，， 则，， ∵E，F分别为，中点， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设上的高为h， ∴， ∴， 当最小时，即，此时时，最大， ∴， ∴最大值为5． 故答案为：4.8，5． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）证明是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， （2），， 是等边三角形． ， ，， ． 21．如图，平分，于点E，于点F，若． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，, 在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 22．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 23．如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)2 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出时等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：2． 24．如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 或 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由， 可得， 即可证明； （2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故； ②， 分两种情况： 当时，，当时，； （2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， 面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）证明：， 。 即， 在和中， ， ∴； （2）①如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ， 解得， ； ②由①知，，， 当时，如图： ， ， 当 时，如图： ， ∴当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， ∴四边形周长最小时，最小， 。 ∴当最小时，四边形周长最小时，此时， 面积为， ， ∴四边形最小周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明. 25．等边三角形边长为8，点D为直线上一点，连接，以为边，在的右边作等边（点A、D、E为逆时针排列），连接． (1)如图1，当点D运动在线段上时，线段与线段的数量关系为__________；的度数为__________． (2)如图2，当点D运动到的延长线上时， ①请根据题意尺规作图，画出，连接． ②请判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由； (3)若，则的长为__________； (4)的最小值为__________； 【答案】(1)， (2)①作图见详解②（1）中的结论成立，不成立，此时，理由见详解 (3)2或6 (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； （2）①分别以A，D为圆心，以长为半径画弧，交于点E，则为所求，②根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； （3）当D在靠近点B的位置时，过A作交延长线于F，利用直角三角形的性质和勾股定理分别求出，，进而求出；当D在靠近点C的位置时，过A作交于F，利用直角三角形的性质和勾股定理分别求出，，进而求出； （4）过B作于H，由（1）知，，点E在直线上运动，当E与H重合时，最小，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：①作图如下， ②（1）中的结论成立，不成立， 此时，理由如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ； （3）解：， D在线段上， 当D在靠近点B的位置时，如图： 过A作交延长线于F，则， ， ， ，， ， ， 当D在靠近点C的位置时，如图： 过A作交于F，则， ， ， ，， ， ， 综上，或2， 故答案为：6或2； （4）解：如图1，过B作于H，则， 由（1）知，， 点E在直线上运动， 当E与H重合时，最小， ， ， ，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线． 26．阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们将奇异三角形定义为两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ 【感知】 （1）根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空__________（填“正确”或“不正确”）； （2）若某三角形的三边长分别是3、、，则是奇异三角形吗？__________（填“是”或“不是”）； 【思考】若是奇异三角形，且其两边长分别为2、，则第三边的边长为__________；且此直角三角形的三边之比为__________（请按从小到大排列）； 【运用】如图2，在中，，以为斜边作等腰直角，，点是下方的一点，且满足，． （1）求证：是奇异三角形； （2）当是直角三角形时，记的面积为，四边形的面积为，则__________． 【答案】感知：（1）正确；（2）是； 思考：； 运用：（1）见详解；（2） 【知识点】分母有理化、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】感知：（1）设是等边三角形，则，由可得结论；（2）根据，即可得到结论； 思考：（1）分当长为的边是斜边时和当长为的边是直角边时两种情况，利用勾股定理求出第三边的长，再利用奇异三角形的定义进行判断求解即可； 运用：（1）由勾股定理得，，则，再由，，可得，即可证明结论； （2）分当时和当时两种情况，根据奇异三角形是直角三角形时三边的比例为，表示出线段的比值，再求出，即可得到答案． 【详解】解：感知：（1）设为等边三角形，则， ∵， ∴等边三角形一定是奇异三角形． 故答案为：正确； （2）∵，， ∴， ∴三边长分别是3、、的三角形是“奇异三角形”． 故答案为：是； 思考：（1）当长为的边是斜边时，则第三边长为， ∵，， ∴， ∴此时该直角三角形是“奇异三角形”， ∴此时直角三角形的三边之比为； 当长为的边是直角边时，则第三边长为， ∵这三个数中不存在两个数的平方和是另外一个数平方的2倍， ∴此时不能构成“奇异三角形”． 综上所述，第三边的边长为，此时直角三角形的三边之比为． 故答案为：；； 运用：（1）在中，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是奇异三角形； （2）如下图，当时， ∵是奇异三角形， ∴由思考（2）可得，， ∴， 设， ∴，， ∴， 如图所示，当时， ∵是奇异三角形， ∴由思考（2）可得， ∴， 设， ∴，， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异三角形”、勾股定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确理解奇异三角形的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$