第十六章 轴对称和中心对称知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十六章 轴对称和中心对称知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 二、线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 三、角的平分线 1.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.角平分线上的点到角两边的距离相等. 3.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 四、中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 02 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·天津·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．   B． C．  D．   题型二　中心对称图形的识别 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．科克曲线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图 2．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 3．（2023·河南商丘·模拟预测）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型三　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 题型四　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 题型五　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个         B．涂黑一个          C．涂黑两个 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 题型六　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 题型七　利用角的平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    巩固训练 1．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    2．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 题型八　垂直平分线与角平分线的综合 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 轴对称和中心对称知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 二、线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 三、角的平分线 1.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.角平分线上的点到角两边的距离相等. 3.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 四、中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 02 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； B，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； C，文字上方的图案是轴对称图形，符合题意； D，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； 故选C． 巩固训练 1．（23-24八年级上·天津·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．   B． C．  D．   【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，据此即可解答． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 题型二　中心对称图形的识别 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．笛卡尔心形线 B．科克曲线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念进行解答即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、找不到一个点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、找不到一个点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、找不到一个点，绕这个点旋转后能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．（2023·河南商丘·模拟预测）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，进行判断即可． 【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 题型三　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 题型四　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质： （1）利用轴对称的性质得，，进而可求解； （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，根据轴对称的性质得，，，，，，则的周长为，当共线时，的周长有最小值，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握轴对称的性质及准确找到的周长的最小值时的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：点关于射线的对称点是， ， 点关于射线的对称点是， ， ， ． （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，如图： 根据轴对称的性质得：，，，，，， 的周长为， 当共线时，的周长有最小值， ，的周长最小值为6， ， 为等边三角形， ， ． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 题型五　设计或画轴对称图案 例题：（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．       A．涂黑一个         B．涂黑一个          C．涂黑两个 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行作图即可． 【详解】解：答案不唯一，如下： A．涂黑一个，如图所示． B．涂黑一个，如图所示． C．涂黑两个，如图所示． 巩固训练 1．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）如图所示， (1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征： (2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合） 【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和 (2)见详解 【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念； （1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑； （2）根据两个特征设计出一个图案即可； 【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和； （2）同时具备上述两个特征的部分图案如下： 2．（23-24八年级上·吉林四平·期中）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图． 如图①，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴． 如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案． （1）直接利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【详解】所求图形如图所示。 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色： (1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法； (2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形； (3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形； (4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形． 【答案】(1)6 (2)见解析（答案不唯一）； (3)见解析（答案不唯一）； (4)见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）根据轴对称图形的概念求解找到所有可以添加的位置即可； （2）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （3）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形； （4）根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形． 【详解】（1）解：如图所示，选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有6种选法； 故答案为：6 （2）如图所示，    （3）如图所示，    （4）如图所示，    【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质． 题型六　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线和三角形内角和等知识点． （1）根据垂直平分线的性质，则，，再根据的周长为，则，即可； （2）根据题意，对顶角相等，则，根据垂直平分线的性质，则，根据三角形的内角和，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线性质定理及证明、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ， ． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理的运用，图形结合分析，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，再根据的周长为，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，由（1）可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七　利用角的平分线性质求解 例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．    【答案】18 【分析】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质定理是解题的关键： 过点O作于点E，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图，过点O作于点E，    ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：18． 巩固训练 1．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，    ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是4， 故答案为：4． 2．（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点F，    ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 题型八　垂直平分线与角平分线的综合 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可． 【详解】（1）∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 4．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，在中，的平分线与的邻补角的平分线交于点，于点，于点． (1)若，求点到直线的距离． (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定； （1）过点作于，如图所示，根据角平分线的性质，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，等了代换得出，进而根据角平分线的判定定理得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示． 平分，， ， 即点到直线的距离为． （2）证明：平分，，， ． ， ． 又，， 点在的平分线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$