第6章 平面图形的初步认识知识归纳与题型突破（单元复习 15类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第6章 平面图形的初步认识知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线、射线、线段相关概念 （一）直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． （二）射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． （三）线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． （四）直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 二、角 （一）角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． （二）角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 三、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等，即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 特别说明： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别说明： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 四、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 特别说明： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 03 题型归纳 题型一　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线． 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 【答案】C 【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解． 【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意； 、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意； 、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意； 、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键． 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可． 【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确； ②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误； ③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确； ④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误； ⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误； ⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确． 综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键． 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段延长线的定义依次进行判断即可得． 【详解】解：A、射线和射线是不同的射线，选项说法错误，不符合题意； B、图中以点A为端点的射线有两条，选项说法正确，符合题意； C、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； D、延长线段和延长线段，延长方向不同，含义不同，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直线，射线，延长线，解题的关键是掌握这些知识点． 题型二　画直线、射线、线段 例题：已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义分别画出即可； （2）根据连接两点即为线段得出即可； （3）根据延长线段的方法得出即可． 【详解】（1）解：线段，射线，直线即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，点F即为所求．    【点睛】此题主要考查了线段、射线、直线的定义以及其画法，熟练掌握定义是解题关键． 巩固训练 1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，    (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)数数看，此时图中线段共有______条． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)6 【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据线段的定义，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可； （2）根据线段的定义即可求解． 【详解】（1）如图所示：      （2）图中的线段有：共6条． 故答案为：6． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，两点之间线段最短，射线、线段的画法以及作一条线段等于已知线段．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2.如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4)作图见详解 【分析】（1）根据线段的概念“有两个端点，不可延伸”，由此即可求解； （2）根据射线的概念“有一个端点，向一边无限延伸”， 由此即可求解； （3）根据直线的概念“无端点，向两边无限延伸”，两直线相交，由此即可求解； （4）根据线段的特点，作线段等于已知线段的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接交于点，    （2）解：如图所示，端点为点，作射线，    （3）解：如图所示，连接向两边无限延伸，交于点，    （4）解：如图所示，连接并延长至点，使得，    【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的定义及表示，作法，掌握其概念，图形结合分析是解题的关键． 3.如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据直线、射线、线段的定义作图即可． 【详解】（1）如图所示直线即为所求；    （2）如图所示射线即为所求； （3）如图所示线段即为所求； （4）如图所示点E即为所求． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是注意射线有一个端点，另一端无限延伸；直线没有端点；线段有两个端点． 题型三　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质即可得解． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理． 巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质解答即可． 【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 【答案】 （2） 两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】根据两点之间线段最短， ∴选择第（2）条路线， 故答案为：（2），两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 题型四　线段中点的有关计算 例题：如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数； （2）由M是中点可得长度，求出的长，由N是中点知，进而可得长． 【详解】（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条． 故答案为：10； （2）∵，M是的中点， ∴． ∵，， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．数形结合是解答本题的关键． 巩固训练 1.如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    【答案】 【分析】先根据设，则，再利用中点的性质用x表示出的长，然后利用计算出x的值，再利用，就可以得到的长. 【详解】解：因为， 所以设，，． 因为，分别是，的中点， 所以，． 所以， 所以． 所以． 【点睛】本题考查线段的和差，中点定义，巧设未知数表示线段的长是解题的关键． 2.已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 【答案】(1)6 (2)①=；②20 (3) 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出的长； （3）根据题意画出图形，设，则，利用中点的性质分别表示出与的长度，分析关系即可． 【详解】（1）解：图中有线段：，，，，，，共6条． （2）解：①因为，所以，即． ②因为，，所以， 因为，所以， 所以． （3）解：如图1，    当点在的延长线上， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 如图2，    当点在线段上时， 设，则． 因为为的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 3．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；    （2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）分别计算和的长，求和即可； （2）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解； （3）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解； （4）根据中点的定义和线段的和差可得，即可求解． 【详解】解：（1）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （2）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （3）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以． （4）因为是的中点，是的中点， 所以． 所以 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，线段中点的相关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键． 题型五　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意； C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、也可以表示为，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：与是同一个角，说法正确，故不符合题意． 也可以用表示，说法错误，故符合题意． ，说法正确，故不符合题意． 图中有三个角，说法正确，故不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：，． 故答案为：，． （2）以为顶点的角有：，，． 故答案为：，，． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ，，，，，，． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为； （2）图中可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是、、； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 题型六　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）把转化成即可得到答案； （2）转化成即可得到答案； （3）按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：， （2）， 故答案为： （3）， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【答案】 2 4 60 3600 75 1.5 【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可． 【详解】解：（1）1周角平角直角； （2）； （3），． 故答案为：2；4；60；3600；75；1.5． 【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 题型七　求一个角的余角、补角 例题：若，则的余角等于 ，的补角等于 ． 【答案】 【分析】两个角的和为，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互余与互补的定义求解即可. 【详解】解： ， ∠α的余角= ∠α的补角= 故答案为：，. 【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含义”是解本题的关键. 巩固训练 1．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 /65度 /155度 【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两角之和是或，并能熟练运用． 2．若，则的余角为 °，的补角为 °． 【答案】 【分析】根据两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可． 【详解】的余角：， 的补角：， 故答案为：、． 【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算． 3．一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角． 【答案】这个角的余角是 【分析】设这个角的度数为x，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意可得： 解得： ∴． 答：这个角的余角是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，余角与补角的定义，熟记互为余角的和等于，互为补角的和等于是解题的关键． 题型八　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    【答案】/20度 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求． 【详解】（1）解：，， ． ∵平分， ， ， ； （2）解：，， ， ∵平分， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差运算求解即可； （2）首先根据题意表示出，，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键． 题型九　角平分线的有关计算 例题：已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)（1）；； (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可； （2）设，仿照（1）中方法，先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则， 若，则， 故答案为：；；． （2）解：仍然成立，理由为： 如图2，设， ∵是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键． 巩固训练 1.如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据由（1）的方法得，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：因为分别是的平分线， 所以，． 因为， 所以． 所以． （2）解：由（1）的方法得， ． ∴当度时，则． 【点睛】考查角平分线的意义、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键，等量代换是常用的方法． 2.（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； （2）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （3）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 题型十　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，与互补，理由见解析 【分析】（1）利用角的和差关系即可得到的度数，利用补角的定义即可得到的补角； （2）利用角平分线定义可求出和的度数，再求出的度数，即可得到与互补． 【详解】（1）解：， 的补角为． （2）∵平分平分． ∴． 与互补．理由如下： ∴． 故与互补． 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算、补角的定义、几何图形中的角度计算，数形结合和准确计算是解题的关键． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 【答案】(1)直线平分，理由见详解； (2) 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件，，即可得到、，然后作差即可． 【详解】（1）直线平分，理由如下： 设的反向延长线为，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， （2）∵，， ∴、， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、； (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果； （2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系． 题型十一 同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．    【答案】 【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧． 【详解】解：由图可得：的同旁内角是； 的内错角是； 的同位角是， 故答案为：；；． 【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 【变式训练】 1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的． 【答案】     内错     AB     CB     AC     同旁内     AC     BC     AB 【分析】根据三线八角中的内错角，同旁内角定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示，与是内错角，是直线AB和直线CB被直线AC所截而形成的， 与是同旁内角，是直线AC和直线BC被直线AB所截而形成的． 故答案为内错；AB；CB；AC；同旁内；AC；BC；AB． 【点睛】本题考查三线八角中的内错角，同旁内角，掌握三线八角中的截线与被截直线，内错角与同旁内角． 2．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角． 【答案】     BD（BC）     同位     AC     内错     AB     AC     BC     同旁内     AB     AC     BC     同位     AB     CE     BC     同旁内 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可； 【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角； （3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角； （4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角； （5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角． 故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键． 题型十二 添加一条件使两条直线平行 例题：如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可） 【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可） 【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可． 【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）； ∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2； 故答案为：∠1=∠2． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 【变式训练】 1．如图，填写一个能使ABCD的条件：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：填写的条件为：， ， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 2．如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）． 【答案】(答案不唯一） 【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可． 【详解】解：当时：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可． 题型十三 根据平行线的性质与判定求角度 例题：（2023下·浙江温州·七年级校考期末）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，于点P．    (1)求证：； (2)若平分，交于点C，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用已知可得，从而利用同角的余角相等可得，然后利用平行线的判定，即可解答： （2）利用（1）的结论可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， （2）∵， 平分 【点睛】本题考查了垂线、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 2．（2023上·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2)度 【分析】（1）根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据平行线的判定定理，即可得出结论； （2）根据平行线的性质可得，由（1）可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： ，理由如下； 已知， 两直线平行，同位角相等， 已知， 等量代换， 同位角相等，两直线平行； （2）已知， ， 由（1）得 ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 例题：已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度． 【答案】120 【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案． 【详解】解：过点B作BF∥CD，如图， 由题意可知，∠ABF=90°， ∵∠ABC=150°， ∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°， ∵BF∥CD， ∴∠FBC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键． 【变式训练】 1．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______． 【答案】48°##48度 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行， ∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°， ∴∠3=180°-∠1=48°， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴∠2=∠3=48°， 故答案为：48°． 【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 2．如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______． 【答案】##60度 【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵光线，都是水平线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 题型十五 平行线的性质与判定综合应用 例题：（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）和的平分线相交于点O， ，所以， 进而，即可求解； （2）和的平分线相交于点O，所以，过O点作平行线交于D、E．得，进而即可求解； 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2），理由如下： ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵过O点作平行线交于D、E． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． (1)如图，当时，求的度数； (2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为，，，，，秒． 【分析】（）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解； （）过点作，过点作，根据平行线的性质及判定以及角平分线的定义即可得解； （）分种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图过点作，过点作，    ∵和的角平分线交于点， ∴，， 由（）得， ∵，， ∴， ∵， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 当旋转到在射线上时，有， 此时，， 解得（秒）    当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴ 此时，， 解得（秒）；    当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴， 此时，， 解得（秒）    当旋转到在射线上时，有， 此时，， 解得（秒）    当旋转到平行于射线时，有， 此时，， 解得（秒）    当旋转到平行于射线时，有， ， 此时， 解得（秒）    综上可知，的值为，，，，，秒． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及分类讨论是解题的关键． 2．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线， ①如图1，点P在射线上，平分，与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，则的度数为 ． ③如图3，若于点P，、相交于点F，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)① ②或 ③10° 【分析】（1）根据和互为“兄弟角”和和互补，，列出关于和的方程组，解方程组即可； （2）①先根据角平分线的定义求出，再根据，可得，然后根据互为“兄弟角”，得，即可得出答案； ②根据角平分线的定义及平行线的性质得，，可得，再根据直角三角形的性质得，然后结合，求出，最后根据互为“兄弟角”得出答案； ③根据直角三角形的性质和角平分线的定义表示和，即可得出，再根据互为“兄弟角”得出答案． 【详解】（1）∵和互为“兄弟角”，，且和互补， ∴， ①+②得：， ∴； （2）①∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵与互为“兄弟角”， ∴， 代入②，得：， 把代入②得：； ②∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵与互为“兄弟角”， ∴，或， ∴或． 故答案为：或； ③∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵与互为“兄弟角”， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形的性质和平行线的性质，解题关键是能够根据条件找出角与角之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 平面图形的初步认识知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线、射线、线段相关概念 （一）直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． （二）射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． （三）线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． （四）直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 二、角 （一）角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． （二）角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 三、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等，即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 特别说明： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别说明： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 四、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 特别说明： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 03 题型归纳 题型一　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 题型二　画直线、射线、线段 例题：已知A，B，C，D四点．    (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)连接，并延长与射线交于点F． 巩固训练 1．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，在平面内有A、B、C三点，    (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)数数看，此时图中线段共有______条． 2.如图，平面上有四个点，根据下列语句画图：    (1)画线段交于点； (2)作射线； (3)取一点，使点既在直线上又在直线上； (4)在线段延长线上作线段． 3.如图，平面内四点A、B、C、D，根据下列语句画图：    (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)延长线段与直线相交于点E． 题型三　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    题型四　线段中点的有关计算 例题：如图，线段，C是线段上一点，，M是的中点，N是的中点 (1)图中共有 条线段 (2)求线段的长 巩固训练 1.如图，已知线段上有两点，，且，点，分别为，的中点，．求的长．    2.已知，在线段上．    (1)如图，共有________条线段； (2)如图，． ①比较线段的大小：________（填“>”“=”或“<”）； ②若，，则的长为________； (3)若，且为的中点，求与的数量关系．（温馨提醒：重新画图）． 3．（23·24上·全国·课堂例题）（1）如图①，已知点在线段上，线段分别是的中点，求线段的长；    （2）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （3）如图①，已知点在线段上，线段，分别是的中点，求线段的长； （4）如图②，已知点在线段的延长线上，线段分别是的中点，则线段的长为________________． 题型五　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 题型六　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 题型七　求一个角的余角、补角 例题：若，则的余角等于 ，的补角等于 ． 巩固训练 1．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 2．若，则的余角为 °，的补角为 °． 3．一个角的余角比它的补角的多，求这个角的余角． 题型八　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 题型九　角平分线的有关计算 例题：已知O为直线上一点，是直角，平分．        (1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________； (2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 巩固训练 1.如图所示，是平角，分别是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 2.（1）如图1所示，已知，平分，、分别平分、，求的度数； （2）如图2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求的度数； （3）如图3，在（1）中把“平分”改为“是外的一条射线且点C与点B在直线的同侧”，其他任何条件都不变，请你直接写出的度数 题型十　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    题型十一 同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．    【变式训练】 1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的． 2．如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角． 题型十二 添加一条件使两条直线平行 例题：如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可） 【变式训练】 1．如图，填写一个能使ABCD的条件：_________． 2．如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）． 题型十三 根据平行线的性质与判定求角度 例题：（2023下·浙江温州·七年级校考期末）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，于点P．    (1)求证：； (2)若平分，交于点C，且，求的度数． 2．（2023上·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 例题：已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度． 【变式训练】 1．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______． 2．如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______． 题型十五 平行线的性质与判定综合应用 例题：（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E． (1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由． (2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． (1)如图，当时，求的度数； (2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； (3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值． 2．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．    (1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数． (2)在中，，是的角平分线， ①如图1，点P在射线上，平分，与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，求的度数． ②如图2，若，射线平分且与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，则的度数为 ． ③如图3，若于点P，、相交于点F，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$