第6章 平面图形的初步认识易错训练与压轴训练（3类易错+7类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第6章 平面图形的初步认识易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 1 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 4 易错题型三　分类讨论思想在两直线平行中的易错 6 压轴题型一　线段上动点定值问题 12 压轴题型二　线段上动点求时间问题 15 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 21 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 25 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 29 压轴题型六　平行线的判定与性质中的多结论问题 35 压轴题型七　平行线中含多个拐点的综合问题 42 02 易错题型 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】5或8 【分析】分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点在点左边时，如图所示：    点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； ②当点在点右边时，如图所示：    点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 故答案为：5或8． 【点睛】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键． 巩固训练 1．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由于点的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：∵线段，为的中点， ∴当点如图1所示时， ， ； 当点如图2所示时， ∴线段的长为1cm或5cm. 故选：． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．（23·24上·聊城·阶段练习）三点在同一条直线上，分别是的中点，且，，则 ． 【答案】40或10 【分析】首先根据题意画出图形，分两种情况：当点C在点B的左侧时，当点C在点B的右侧时，再根据图形，可以求出线段的长． 【详解】解： 分别是的中点，，， ∴， 当点C在点B的左侧时，如下图，    ∴； 当点C在点B的右侧时，如下图，    ∴， 故答案为：10或40． 【点睛】此题考查了两点之间的距离，解题的关键是根据题意画出图形，要考虑各种情况． 3．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 巩固训练 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 2．已知，，平分，则等于 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：当如图所示时：    平分，，， ， 当如图所示时：    平分，，， ． 故答案为：或. 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键． 易错题型三　分类讨论思想在两直线平行中的易错 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按图①的方式叠放，现将含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕顶点A按顺时针方向转动至图②位置，在这个过程中，当时，（图③），除此之外，要使两个三角板至少有一组边互相平行，的大小还可能为 ． 【答案】或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．分三种情况进行讨论，分别画出图形，依据平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【详解】解：如图，当时，则， ∴； 如图，当（或）时，则， ∴； 如图，当时，则， ∴． 综上所述，的大小还可能为或或． 故答案为：或或． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为 ． 【答案】5秒或35秒或50秒 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，设旋转过程中，与，与是对应点，再分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设旋转过程中，与，与是对应点， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或35秒或50秒， 故答案为：5秒或35秒或50秒． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 【答案】、或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解答时涉及一元一次方程的应用，解决本题的关键是画出符合题意的图形，利用列一元一次方程解答. 【详解】射线运动时间为， 根据题意，当射线顺时针旋转时，如图所示： ∵ , ， ， ， ， ∵则 ∴， ， 解得 ； 当射线逆时针旋转时，，如图所示： 则， ，解得 ； 当射线再次顺时针旋转时，，如图所示： 则， ∴，解得 ； 故答案为：、或 03 压轴题型 压轴题型一　线段上动点定值问题 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，还是，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得； （2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解． 【详解】（1）解∶，，， 点是的中点，点是的中点， ， ； （2）线段的长度不发生变化． 点是的中点，点是的中点， ， ． 【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键． 巩固训练 1．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为点是的中点． 所以， 因为点是的中点． 所以， 所以； （2）∵为的中点， ∴ ∵点是的中点 ∴； （3）因为点是的中点． 所以 因为点是的中点． 所以， 所以， 所以，的长不变． 【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 2．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解； （2）根据（1）的方法即可求解； （3）根据（1）的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ，点为的中点， ． 点、分别是和的中点， ， ． 故答案为：6； （2）解：，， ． 点、分别是和的中点， ，， ； （3）解：设，则， 点、分别是和的中点， ∴， ， 不论取何值（不超过），的长不变； 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 压轴题型二　线段上动点求时间问题 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s    (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足条件的值为4或7或 【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解； （2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案； 【详解】（1）由题意可得：，， ∴当P、Q重合时，，解得：； （2）由题意可得：， ∴①当点C是线段的中点时，， 解得：； ②当点P是线段的中点时，， 解得： ③当点Q是线段的中点时，， 解得：； 综上所述，满足条件的值为4或7或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏 巩固训练 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 【答案】3或9或1 【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可． 【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时， （秒）； （2）点P、Q都向左运动时， （秒）； （3）点P向左运动，点Q向右运动时， （秒）； （4）点P向右运动，点Q向左运动时， （秒）． ∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米． 故答案为：3或9或1． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______； (3)当时，求t的值． 【答案】(1)6，4 (2)3 (3)当时，t的值为4或6 【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可； （2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可； （3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴点P表示的数为， 故答案为：6，4； （2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8， ∴点P对应的有理数为， 故答案为：3； （3）解：∵， ∴当时，则， ①当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴； ②当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当时，t的值为4或6． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）． (1)当时， ① ； ②求线段的长度； (2)用含的代数式表示运动过程中的长； (3)当时，求的值； (4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)当时，；当时， (3)或 (4)不变， 【分析】（1）①根据即可得出结论； ②先求出的长，再根据是线段的中点即可得出的长； （2）分两种情况进行讨论即可； （3）根据时间＝路程÷速度计算即可； （4）根据中点定义即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动， ∴当时，． 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． ∴线段的长度为． （2）∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动， 当点从点出发到点时，， ∴当点沿点运动时， 这时：，； 当点沿点运动时， 这时：，； （3）当点沿点运动时，（）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 当点沿点运动时，（）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 综上所述，当时，求的值为或； （4）不变． ∵的中点为，是线段的中点，， ∴，， ∴ ， 即：的长为． 【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和与差，中点的定义，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．利用线段中点的定义及线段的和差得出相应的等量关系是解题关键． 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，， (1)求的度数. (2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 【答案】(1) (2)发生变化，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解； （2）根据，则转动时同样在动，同理也在动； （3）根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴转动时同样在动， 同理同样转动； （3）不变同样35°； 解：当射线在的内部线绕点转动时， ∵是的平分线，是的平分线，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算是解题的关键． 巩固训练 1．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、； (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果； （2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系． 2．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不会发生变化，，理由见解析 【分析】（1）根据三角板中角度的特点进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；②根据角平分线的定义得到，再根据进行求解即可； （3）分别用表示出 ．再根据角平分线的定义表示出，，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：①由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； ②由题意得，， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：的值不会发生变化，，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，熟知三角板中角度的特点是解题的关键． 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】（1）由平分，则，由，得到，最后得到； （2）分两种情况，在内部时，令，则，，结论成立；的两边在射线的两侧时．令，则，，，进而结论得证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设，则，再利用，然后整理可得结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； (2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； (3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：由(2)知，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．    (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)39，51 (2) (3)存在，符合条件的的值为12s或33s 【分析】（1）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，三点在一条直线上，，， ， ，分别平分和， ，， 故答案为：39，51； （2）解：射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转， ， 射线平分， ， ， ， ； （3）解：存在某一时刻使得，分以下几种情况： 情况一：若在上方，此时， 即， 解得； 情况二：若在下方，此时， 即， 解得（不符合题意，舍去）； 情况三：当停止运动时，继续旋转时，当旋转264°时，有， 此时． 综上所述，符合条件的的值为12s或33s．    【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的性质，根据角的关系列方程求解是解题的关键． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由． 【答案】(1)；平分，理由见解析 (2)的值为或 【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分； （2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可． 【详解】（1）解：旋转前, 当平分时，， 则, 解得：， 结论：平分, 理由：∵， 又∵， ∴, ∴平分； （2）解： 若平分，    则 ， ∴， ∴， 当停止时, 平分, 则有,    ∴, 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题. 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． 压轴题型六　平行线的判定与性质中的多结论问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据题意，画出正确的图形，角平分线的定义，根据平行线的性质、角的和与差推理即可．本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与差． 【详解】解：①，， ，， ， ， 平分， ， ， 故①选项是正确的； ②由①知，，， ， ， ， ， ， ， 故②选项是正确的； ③由①知， ， ， ， 故③选项是错误的． 故答案为：①② 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握． 由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【详解】解：，， ， ，故正确； ， ， ， ， 即平分，故正确； 无法证得， 故错误； 的余角比大， ， ， ， ， 设，， ， 平分， ， 平分， ， 即， ， 解得， 即，故正确； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据互余和角平分线的定义，可判断①结论；根据平行线的性质和角平分线的定义，可判断②结论；根据互余的概念，可判断③结论；根据平行线的性质和角平分线的定义，可判断④结论． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， 平分，①结论正确； ， ， 平分，平分， ，， ， ，②结论正确； ，且, 与互余的角有4个,③结论错误； ，， ， 平分， ， ， ， ，④结论正确， 正确的有①②④， 故答案为：①②④． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 压轴题型七　平行线中含多个拐点的综合问题 例题1：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】 【详解】解：连接BD，如图， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°， ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540°． 故答案为：540°． 例题2：如图，直线，则的度数为___________°． 【答案】360 【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示： ∵CD∥AB， ∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD， ∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5， ∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC， ∴． 故答案为：360． 巩固训练 1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 【答案】30°##30度 【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2， ∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8， ∵直线l1l2， ∴ABCD， ∴∠6=∠7， ∵∠2比∠3大10°， ∴∠2-∠3=10°， ∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3， ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°， ∴40°-∠4=10°， 解得∠4=30°． 故答案为：30°． 2．（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    3.如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 【详解】（1） 解：过P作PE∥l1 ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1 ∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65° 即∠A+∠B=65°； （2） 证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4 ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥l3∥l4 ∵l1∥l3（已知） ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵l3∥l4（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） ∵l2∥l4（已知） ∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180° 又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q ∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°． （3） 解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1， ∵， ∴ ∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5， ∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM， ∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5， ∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4． 4．猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 【详解】解：（1）如图1：， 如图2：， 如图3：， 如图1说明理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； （2）如下图： 过F作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）如下图：， 过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 即； 综上所述： 由当平行线AB与CD间没有点的时候，， 当A、C之间加一个折点F时，； 当A、C之间加二个折点E、F时，则； 以此类推，如图5，， 当、之间加三个折点时， 则； … 当、之间加n个折点时， 则， 即的度数是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 平面图形的初步认识易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 1 易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 4 易错题型三　分类讨论思想在两直线平行中的易错 6 压轴题型一　线段上动点定值问题 12 压轴题型二　线段上动点求时间问题 15 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 21 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 25 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 29 压轴题型六　平行线的判定与性质中的多结论问题 35 压轴题型七　平行线中含多个拐点的综合问题 42 02 易错题型 易错题型一　分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 巩固训练 1．已知线段，点为线段的中点，点是直线上的一点，且，则线段的长是（    ） A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．4cm或5cm 2．（23·24上·聊城·阶段练习）三点在同一条直线上，分别是的中点，且，，则 ． 3．（23·24上·南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    易错题型二　分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 巩固训练 1．在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 2．已知，，平分，则等于 ． 易错题型三　分类讨论思想在两直线平行中的易错 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）一副三角板按图①的方式叠放，现将含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕顶点A按顺时针方向转动至图②位置，在这个过程中，当时，（图③），除此之外，要使两个三角板至少有一组边互相平行，的大小还可能为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为 ． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 03 压轴题型 压轴题型一　线段上动点定值问题 例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点． (1)若，求线段的长度． (2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 2．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则____________； (2)若，求的长； (3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变． 压轴题型二　线段上动点求时间问题 例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s    (1)当P、Q两点重合时，求t的值； (2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段的长为6厘米． 2．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______； (2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______； (3)当时，求t的值． 3．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）． (1)当时， ① ； ②求线段的长度； (2)用含的代数式表示运动过程中的长； (3)当时，求的值； (4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 压轴题型三　几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，， (1)求的度数. (2)当射线在的内部线绕点转动时，射线、的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下，的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 巩固训练 1．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    2．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角的三角板的顶点重合于一点，绕着点转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点在射线上时，直接写出的度数是____________度； (2)①如图2，当为的角平分线时，求出此时的度数； ②如图3，当为的角平分线时，求出此时的度数； (3)若只在内部旋转，作平分线交于点，再作的平分线交于点，在转动过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由． 压轴题型四　几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．    (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点在射线上，若射线绕点逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 压轴题型五　几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，，，三点在一条直线上，且，，射线，分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为秒．    (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当为何值时，射线平分? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由． 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．    (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 压轴题型六　平行线的判定与性质中的多结论问题 例题：（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）如图，在线段的延长线上，，，，连接交于，的余角比大，为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论是 ． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则．其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 压轴题型七　平行线中含多个拐点的综合问题 例题1：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 例题2：如图，直线，则的度数为___________°． 巩固训练 1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 2．（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 3.如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 4．猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$