精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024～2025学年度上学期高三10月月考试卷 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量及应用、复数、数列、立体几何初步. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在直线上，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，所对的边分别为，，.若是，的等差中项，，，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 1 D. 2 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与直线垂直 B. 直线可能与直线垂直 C. 直线可能与直线垂直 D. 直线不可能与直线垂直 10. 已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（ ） A. 为单调递增的等差数列 B. C. 为单调递增的等比数列 D. 使得成立的n的最大值为6 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出“”的一个充分不必要条件_____． 13. 已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______. 14. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，． （1）求角B的大小； （2）若，求△ABC的面积． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，，，求点到平面的距离. 17. 已知函数的图象如图所示. （1）写出函数的关系式； （2）已知，.若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知正项数列前项和为，且满足. （1）求； （2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度上学期高三10月月考试卷 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量及应用、复数、数列、立体几何初步. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合间的交集运算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点在直线上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数对应的点代入直线方程可得，再利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复平面内，复数对应的点为， 又在直线上，所以，解得， 所以， 则. 故选：B. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法运算，将化为，即可求得答案. 【详解】由题意可得：， , 则, 故选:A 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等式求出，然后利用两角和的正切公式代入求解即可. 【详解】解：由题意得： ，解得： 故选：C 5. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把展开图还原成正方体，由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，由于是等边三角形可得答案. 【详解】把展开图还原成正方体如图所示， 由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角， 故 (或其补角)为所求， 再由是等边三角形，可得. 故选：C. 6. 在中，，，所对的边分别为，，.若是，的等差中项，，，则该三角形外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，解出，再由余弦定理结合是，的等差中项，解出的值，进而解出值，最后由正弦定理求出三角形外接圆的半径即可. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得， 由是，的等差中项，所以， 故， 解得，， 因为，所以. 故选：A. 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据“斐波那契数列”得出递推公式，变形得到，然后利用递推公式的变形对化简，即可求解. 【详解】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，, . 由题意得：， 即， ， ， ， ， 即 即. 故选：C. 8. 已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平行四边形中，，将沿着翻折使点到达点且不在平面内，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与直线垂直 B. 直线可能与直线垂直 C. 直线可能与直线垂直 D. 直线不可能与直线垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】画出图形，运用面面垂直性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，判断AD，当时，在翻折过程中，可以取从0°到的范围，而，存在点，使得判断B，由可得，进而判断C. 【详解】 当平面与平面垂直时，平面PBD 与平面BCD 相交于BD， 由，可得平面，平面， 此时，，则A正确，D错误； 而，即直线与直线所成角为，只要, 此时为等腰直角三角形. 在以中点为圆心，半径为的圆上， 则根据直径AP所对圆周角为直角，即.满足题意. 所以存在点，使得，B正确； 由可得，所以为锐角，则为锐角，所以C错误. 故选：AB. 10. 已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（ ） A. 为单调递增的等差数列 B. C. 为单调递增的等比数列 D. 使得成立的n的最大值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据条件判断，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定义判断AC；最后数列前项积的定义判断D. 【详解】函数， 则， 因为，所以， 由等比数列的性质可得， 所以，所以， 由，可得，故B正确； 因为等比数列首项，公比为q，所以， 则，故为单调递减的等差数列，故A错误； 设 ，则为常数， 因为，所以，单调递减， 所以为单调递增的等比数列，故C正确； 因为，且，所以，， 所以使得成立的n的最大值为6，故D正确． 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A．，解得，所以A正确； 对于B．， 当时，，当时，或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确． 对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出“”的一个充分不必要条件_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先由不等式求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“”的一个充分不必要条件. 【详解】解：， ∵的一个充分不必要条件只需是的真子集， ∴是答案之一． 故答案为；（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的概念，熟记概念即可解题，属于基础题型. 13. 已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由恒等变换公式可得，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故答案为： 14. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据截角四面体的定义，还原为正四面体，然后利用正四面体的相关性质即可求解. 【详解】因为棱长为的正四面体的高为，所以截角四面体上下底面距离为， 设其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，易知外接球球心在线段上，且垂直于平面与平面，则， 所以，解得， 所以该截角四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，． （1）求角B的大小； （2）若，求△ABC的面积． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系，及已知条件可得，再根据三角形内角性质求B的大小； （2）由（1）及余弦定理求c，再根据三角形面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理知：，则， 所以，则且，可得或， 又，所以. 【小问2详解】 由题设，，则，又， 所以，整理得，解得，满足题设. 由， 所以，当时；当时； 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，，，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，即可证得平面； （2）在中，由已知得，则，又得，， 则可得，，则在等腰中，上的高为，则可得， 设点到平面的距离为，由可得，即得点到平面的距离. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 在中，，， 由正弦定理得，则， 因为平面，平面， 所以，， 在中，， 在中，， 在等腰中，上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 由得， 解得，即点到平面的距离为. 17. 已知函数的图象如图所示. （1）写出函数的关系式； （2）已知，.若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图象及正弦函数的性质求解即可； （2）根据平面向量的数量积的坐标表示求出，结合题意可得时，，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由图可得，， 即，所以. 设函数，将点代入得， 结合图象可得，，即，， 可取，所以. 【小问2详解】 因为， 所以 . 由题意，恒成立， 则对于时，. 由，得， 所以当，即时，函数. 由，得， 所以当，即时，， 所以，即， 即实数的取值范围为. 18. 已知正项数列前项和为，且满足. （1）求； （2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）利用错位相减法求解得，参变分离即可求的范围. 【小问1详解】 因为， 当时，有， 两式相减得 ，移项合并同类项因式分解得 ， 因为， 所以有， 在中，当得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故有 【小问2详解】 由（1）知， ， ， ， 由题意，对任意的，均有恒成立， ， 即恒成立， 设， 所以， 当时，，即 ； 当时，，即， 所以的最大值为， 所以. 故的取值范围是. 19. 设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数． （1）判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； （2）若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； （3）已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方． 【答案】（1）函数在上是“上凸函数”，理由如下： 由题意，，令， 则，当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2） （3） 设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为， 令，则， 函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减， 所以当时，，此时单调递减， 所以，， 当时，，此时单调递增， 所以，， 综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方. 【解析】 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解； （3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，设， 则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立， 即当时，恒成立， 当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意， 当时，恒成立， 而此时， 所以此时， 当时，恒成立， 而此时，等号成立当且仅当， 即此时，所以， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $