精品解析：广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期第一次调研测试数学试卷

宝安区2024-2025学年第一学期调研测试卷 高三数学 2024.10 注意事项： 1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效. 3.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 样本数据的第30百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可. 【详解】题设数据共有10个数，因为， 故第30百分位数为. 故选:B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】集合或， ， 所以. 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法及除法运算计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得，所以. 故选：B 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量减法及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】，， 则， ， 则， 化简得，即， 解得. 故选：. 5. 已知，，则（ ） A. m B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，利用正弦的和差公式即可求解. 【详解】，得， 即， 所以， ， . 故选：. 6. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积. 【详解】如图为中点，为点在底面的投影， 由题意得，， ， 所以该正四面体的体积为. 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为，则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为. 故选：A. 7. 已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用在上单调递增，结合导数求出的范围，再利用分段函数是增函数求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 则对恒成立， 即，，而函数在上单调递增，，则， 显然函数在上递增， 又函数在上递增，则，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 函数在上的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的定义直接求解. 【详解】， 令，得或， 又，所以有两个解，分别为和， 在上有两个解， 且在上单调递增，，， 所以在有一个解， 综上所述在上有个解，即在上有个零点， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量服从正态分布，当变大时，则（ ） A. 变小 B. 变大 C. 正态分布曲线的最高点下移 D. 正态分布曲线的最高点上移 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态曲线的性质逐项判断即得. 【详解】变量服从正态分布，当变大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”， 随机变量的分布逐渐变分散，因此变小，正态分布曲线的最高点下移，AC正确，BD错误. 故选：AC 10. 对于正数a，b，，使，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得，，从而有即可求解选项A；根据可得，，构造函数，利用导函数与单调性、最值得关系求解选项B；根据，所以，设函数，利用导函数与单调性、最值得关系求解选项C；举反例，满足，但，可判断选项D. 【详解】由可得，， 也即， 因为函数在上单调递增， 则， 所以要，使， 即，使， 则， 所以，则有，即，所以，A错误； 由，可得， 又因为为正数，所以， 设函数，则， 令，解得，令，解得， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以，即，B正确； 由，可得，所以， 设函数，则， 令，解得，令，解得， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以， 则，C正确； 由，取，满足，但，D错误， 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为R，若，且，则（ ） A. B. 无最小值 C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法可得A错误，且满足，即可知B正确，由递推关系式可求得C正确，利用对称中心定义可知，可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A错误； 对于B，令，可得，可知函数无最小值，即B正确； 对于C，由可知， 所以，即C正确； 对于D，令，可得， 由及，可得， 因此，可得， 的图象关于点中心对称，即D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】设函数与的公共点为，由题意得，可求出的值，由即可求出的值. 【详解】设函数与的公共点为， 则有， 则， 解得或（舍去）， 所以， 所以，解得. 故答案为：0. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，M为AB的中点，则线段CM的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正弦定理与基本关系式求出角，再根据向量数量积的运算法则求出线段长即可. 【详解】由正弦定理得，所以， 又因为，所以， ， 因为，， 所以， 则，所以. 故答案为：. 14. 为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”，事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”，求出，，利用全概率公式即可求解. 【详解】记事件“顾客有两次终极抽奖机会”， 事件“顾客有一次终极抽奖机会”，事件“获得蛋白粉”， ，，， 两次投掷的数字之和是5的情况有：“1,4”，“4,1”，“2,3”，“3,2”， 两次投掷的数字之和是9的情况有：“6,3”，“3,6”，“4,5”，“5,4”， 所以， . 故答案为：. 三、解答题： 15. 如图，在直角中，，，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且. （1）求点O到平面PAB的距离； （2）设直线OC与平面PAB所成的角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用等体积法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，及平面的法向量，代入直线与平面所成角的正弦值公式计算即可求解. 【小问1详解】 证明：由题意知，，， 平面，平面， ∴平面，又， 所以，， 所以， 设点O到平面PAB的距离为d， 由得：， 解得. 【小问2详解】 因为，所以， 故以O为原点，OC，OB，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，则，则，，， 所以，，. 设平面PAB的法向量为，则， 不妨取平面PAB的一个法向量为， 所以. 16. 已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上. （1）求该椭圆的方程； （2）直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求解即可； （2）设直线的倾斜角为，根据题意求出直线，的方程，的坐标，继而可求，代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得  ，解得， 故椭圆C：. 【小问2详解】 如图，设直线的倾斜角为，由，， 得，，， 即AP：，AQ：， 联立，解得或2（舍），故， 联立，解得或2（舍），故， 又， ，， 故. 17. 函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入，求导利用导数研究函数单调性，进而求最值. （2）根据题意，则在恒成立，提取参数转化成在恒成立问题，设，对函数设求导，分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围. 【小问1详解】 因为， 可知的定义域为，且， 由，解得；由，解得． 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的最大值为． 【小问2详解】 因为在恒成立， 等价于在恒成立． 设，， 则， 当时，则，且，可得， 所以； 当时，则， 设，则， 可知在递增，且． 则，使得． 当时，；当时，． 当时，；当时，． 可知函数在递增，在递减，在递增． 由，得，且． 可得， 且，则， 又因为，可知当时，， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 18. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求p； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】（1） （2） 0 1 2 ， （3） 由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令， 当n为奇数时，， 则 ， 又时，随着m的增大而增大， 【解析】 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，然后利用条件概率相关知识即可求解； （2）由题意可知时，X可能的取值为0，1，2，结合题意求出每个取值对应的概率即可求解； （3）由题可得，然后利用单调性即可证明. 【小问1详解】 记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； 【小问2详解】 由题意可知当时，X可能的取值为0，1，2， 则由（1）可知，，， X的分布列为： 0 1 2 随机变量X的数学期望为. 【小问3详解】 略 19. 定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有“性质3”.已知项数为n的数列的所有项的和为，且数列具有“性质3”. （1）若，且，，写出所有可能的的值； （2）若，，证明：“”是“”的充要条件； （3）若，，，证明：或，（）. 【答案】（1）6；0；12 （2）证明：必要性：因为， 故数列为等差数列， 所以，，公差为， 所以，必要性成立； 充分性：由于，，…，， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到， 所以，，所以，，充分性成立； 综上所述，“”是“，”的充要条件； （3）证明：令，依题意，， 因为，，…，， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数; 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或， 当时， 比如，，， 或，，时，有，； 当时， 比如，，，， 或，，，，有，； 当或时，不能被4整除，. 【解析】 【分析】（1）根据题意对所有可能情况进行列举即可得出所有可能的的值； （2）利用“性质3”定义并根据等差数列通项公式以及累加法可证明得出结论； （3）由题意可令，可得，将整理变形并根据须使为偶数，即4整除，分别验证或即可得出结论. 【小问1详解】 依题意可知有如下三种情况： 若，此时， 若，此时， 若，此时. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解具有“性质3”的数列特征，并根据所给信息结合等差数列相关知识以及递推关系等对问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2024-2025学年第一学期调研测试卷 高三数学 2024.10 注意事项： 1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并正确粘贴条形码. 2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效. 3.本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 样本数据的第30百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -2 5. 已知，，则（ ） A. m B. C. D. 6. 一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量服从正态分布，当变大时，则（ ） A. 变小 B. 变大 C. 正态分布曲线的最高点下移 D. 正态分布曲线的最高点上移 10. 对于正数a，b，，使，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，若，且，则（ ） A. B. 无最小值 C. D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为______. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，M为AB的中点，则线段CM的长为______. 14. 为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示. 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______. 三、解答题： 15. 如图，在直角中，，，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且. （1）求点O到平面PAB的距离； （2）设直线OC与平面PAB所成的角为，求的值. 16. 已知椭圆：（），离心率，且点在椭圆上. （1）求该椭圆的方程； （2）直线交椭圆于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积. 17. 函数． （1）若，求函数的最大值； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围． 18. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. （1）求p； （2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望； （3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 19. 定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有“性质3”.已知项数为n的数列的所有项的和为，且数列具有“性质3”. （1）若，且，，写出所有可能的的值； （2）若，，证明：“”是“”的充要条件； （3）若，，，证明：或，（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $