重难点突破01 概率与统计的综合问题（十八大题型）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破01 概率与统计的综合问题　 目录 01 方法技巧与总结 2 02 题型归纳与总结 2 题型一：决策问题 2 题型二：道路通行问题. 7 题型三：保险问题 10 题型四：概率最值问题 13 题型五：放回与不放回问题 16 题型六：体育比赛问题 19 题型七：几何问题 22 题型八：彩票问题 26 题型九：纳税问题 29 题型十：疾病问题 34 题型十一：建议问题 37 题型十二：概率与数列递推问题 40 题型十三：硬币问题 45 题型十四：自主选科问题 49 题型十五：高尔顿板问题 54 题型十六：自主招生问题 59 题型十七：顺序排位问题 62 题型十八：博彩问题 68 03 过关测试 71 概率与统计的综合问题，往往涉及数据的收集、处理、分析以及基于这些数据进行决策。以下是一些方法技巧与总结： 1、理解基本概念：首先，要牢固掌握概率与统计的基本概念，如随机事件、概率分布、统计量等，这是解题的基础。 2、数据收集与处理：在实际问题中，要合理设计数据收集方案，确保数据的真实性和可靠性。同时，要善于运用统计图表等工具，对数据进行整理和展示。 3、灵活运用公式：概率与统计中有很多公式和定理，要熟练掌握并灵活运用。在解题时，要根据问题的具体情况，选择合适的公式进行计算。 4、注重逻辑推理：概率与统计问题往往需要进行逻辑推理和判断。在解题时，要保持清晰的思路，逐步推导，得出正确的结论。 综上所述，解决概率与统计的综合问题，需要扎实的基础知识、熟练的计算技巧以及良好的逻辑推理能力。通过不断练习和总结，可以逐渐提高解题水平。 题型一：决策问题 【典例1-1】2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. (1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 6 8 9 10 12 2 3 4 5 6 请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围. 【解析】（1）根据表格中的数据，可得 ，， ， ， ， 可得相关系数， 故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合， 又由， 可得. 综上回归直线方程. （2）通过甲大学的考试科目数，则， 设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0、1、2、3， 则， ， ， ， 所以， 因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试， 所以，即， 又由，解得， 即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为. 【典例1-2】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 【解析】（1）由题意知，每位嘉宾中奖的概率为，不中奖的概率为， 则服从二项分布， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望为， 方差为； （2）不换箱子时中奖概率： 嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为； 换箱子时中奖概率： 设4个箱子分别为，有奖品的箱子为， 当嘉宾先选箱，主持人会在箱中打开一个空箱子， 此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0； 当嘉宾先选或或箱子，概率为， 此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的箱， 其概率为，所以换箱子的中奖概率为. 所以，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品. 【变式1-1】某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【解析】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 题型二：道路通行问题. 【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）近年来，汽车智能化自动化方向发展迅速，某地区举办了面向中学生的智能小车大赛，其中初赛为自动循迹小车比赛，要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示，图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路长.点为小车的出发地，最下方五个点都是目标地，规则为：①小车等可能的选择右下，左下或水平路线行进；②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或左下的路线行进. (1)求小车行驶到达目标地的概率； (2)若云槐中学代表队成功晋级，设其参赛小车行驶的距离为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）根据规则，小车行驶到达目标地，需要行驶1段水平道路，4段向下的道路， 且从点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择一段横移， 故小车行驶到达目标地的概率为. （2）根据题意的可取值为4，5，6，7， 且从点开始第一步必定往下，再在中间三段水平路中选择横移段数， 则；；；. 故的分布列为： 4 5 6 7 则. 【典例2-2】市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到． (1)求李先生的小孩按时到校的概率； (2)李先生是否有七成把握能够按时上班？ (3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值． 【解析】（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝， 故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝. （2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， 甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝， ∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝<0.7， 所以李先生没有七成把握能够按时上班． （3）依题意X可以取0，1，2. P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝. 分布列是： X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 【变式2-1】已知小田开小汽车上班的道路A有5个红绿灯路口（只有红灯和绿灯），小田到达每一个路口遇到红灯的概率都为，遇到绿灯的概率都为． (1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为2min，求小田从出门到办公室的平均时间． (2)小田骑电动车上班的道路B只有3个红绿灯路口（只有红灯和绿灯）． ①若小田到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为，求小田遇到红灯个数的平均值； ②若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为5min，从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？ 【解析】（1）设小田遇到红灯的个数为，则， 设小田从出门到办公室的时间为X min，则， 所以， 所以小田从出门到办公室的平均时间为20min． （2）①设小田骑电动车遇到红灯的个数为，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 所以小田遇到红灯个数的平均值为． ②设小田骑电动车从出门到办公室的时间为Y min， 则， 所以， 所以小田上班骑电动车较好． 题型三：保险问题 【典例3-1】某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） (1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. (2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【解析】（1）由得， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件. 由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在内的有2人，年龄在内的有4人. 记年龄在内2位参保人员为，年龄在的4位参保人员为，则从6人中任取2人，样本空间，共包含15个样本点，共包含8个样本点，所以. （2）保险公司每年收取的保费为： ， 所以要使公司不亏本，则，即，解得，所以年龄段需要缴纳的保费至少为250元. 【典例3-2】（2024·江西上饶·一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数2次及以上按2次计算） 出险情况 商业险折扣 若基准保费3000元时对应保费 三年内6赔 1.8 5400 三-年内5赔 1.5 4500 三年内4赔 1.2 3600 三年内3赔 1 3000 三年内2赔 0.8 2400 三年内1赔 0.7 2100 三年内0赔 0.6 1800 (1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险） (2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）．张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望． 【解析】（1）由于王先生过去三年都没有出险， 若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费，共需5400元． 若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元 ，故出险理赔更划算. （2）设商业险保费数额为随机变量， 则的可能值为5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800． 则 则 （元） 【变式3-1】（2024·四川南充·模拟预测）随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年的出险次数 次以上（含次） 下一年的保费倍率 连续两年没有出险打折，连续三年没有出险打折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：，，，，，，，．设由这组数据得到的回归直线方程为． （1）求的值． （2）某车主蔡先生购买一辆价值万元的新车． ①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费． ②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到店询价，预计修车费用为元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）． 【解析】（1）（万元） （元）， 回归直线经过样本点的中心，即， 所以． （2）①价值为万元的新车的商业车险保费预报值为（元）． ②由于该车已出过一次险，若再出一次险，则保费增加，即增加（元）． 因为，所以应该接受建议． 题型四：概率最值问题 【典例4-1】某群体有4000人，假设携带乙肝病毒的占，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法:随机按照个人进行分组，将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性;如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.设每人血样单独化验一次的费用为10元，个人混合化验一次的费用为元. (1)若，记每人血样化验的费用为元，求的数学期望; (2)若，求当取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并估计化验总费用. 参考公式:. 【解析】（1）每人血样化验的费用为元， 若混合血样呈阴性，则， 若混合血样呈阳性，则， ， 2.5. 的数学期望为2.5（元）. （2）设每组人，每组化验总费用为元， 若混合血样呈阴性，则; 若混合血样呈阳性，则， 且， ， , 则每人血样化验的费用为 ， 当且仅当，即时取等号， 即100个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小， 此时化验总费用估计为（元）. 【典例4-2】（2024·高三·河北张家口·开学考试）某校社团开展知识竞赛活动，比赛有两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下：阶段由某参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至少答对一个，则该队进入阶段，并获得5分奖励.在阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，该队的成绩为，两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为，各次答对与否相互独立. (1)若，甲参加阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率； (2)①设甲参加阶段比赛，求该队最终得分的数学期望（用表示）； ②，且，设乙参加阶段比赛时，该队最终得分的数学期望为，则时，求的最小值. 【解析】（1）甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率为： . （2）①由题意，的值可能为0，5，10，15，20， 且， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 5 10 15 20 所以. ②同理可知， 由， 又，所以. 所以. 所以， 所以（当且仅当，即，时取“”） 所以的最小值为：. 【变式4-1】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其中打中十环的数量为. (1)若，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）； (2)要使的值最大，求n的值； (3)设随机变量X的数学期望及方差都存在，则，，，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值. 【解析】（1）； （2）， 由题意有，则， 解得， 由于n为整数，故； （3），则，. 由题意，， 即，，也即. 由切比雪夫不等式，有， 从而，解得， 故估计n的最小值为360. 题型五：放回与不放回问题 【典例5-1】一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望与方差. 【解析】（1）摸出黑球的概率是，则有放回地从袋中随机摸出3个球， 恰好摸到2个黑球的概率为； （2）的可能取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 P 期望为， 方差为 【典例5-2】（2024·河南·三模）某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．现通过一个小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱子中；接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，否则被分至乙班． (1)求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率； (2)记甲、乙两个兴趣班最终扩招的人数分别为e，f，记，求． 【解析】（1）a，b，c三人均被分至同一个兴趣班，即三人同被分至甲班或乙班， 记事件“a被分至甲班”，事件“b被分至甲班”，事件“c被分至甲班”， 当a即将摸球时，箱子中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲班即a摸出红球的概率为； 当a被分至甲班，b即将摸球时，箱子中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲班即b摸出红球的概率为； 当a，b均被分至甲班，c即将摸球时，箱子中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲班即c摸出红球的概率为； 所以， ， 同理可知，数学爱好者a，b，c均被分至乙班的概率也为， 所以a，b，c三人均被分至同一个兴趣班的概率为． （2）由题意，X的可能取值为4，2，0， 为4名数学爱好者被分至同一班，则， 为4名数学爱好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班， 设第名数学爱好者被单独分至另一班，则 ，， ，， 所以， 为4名数学爱好者中各有2名被分至甲班和乙班， 则， 所以． 【变式5-1】袋中装有3个大小和质地相同的白球，编号为1、2、3，从袋中依次取出两个球，用、表示第一个及第二个球的编号，在以下两种情况下分别求随机变量、和的期望，并研究、和的关系． (1)有放回地依次取出两个球； (2)不放回的依次取出两个球． 【解析】（1）由题意得可能取的值是1、2、3， 易得， 则随机变量的分布为， 而， 同理，随机变量的分布为， 则， 可能取的值是2、3、4、5、6， ，，， ，， 又随机变量的分布为， 则， 则； （2）由题意得可能取的值是1、2、3， 易得， 则随机变量的分布为， 而， 同理，随机变量的分布为， 则， 又可能取的值是3、4、5， ， 随机变量的分布为， 则，则． 题型六：体育比赛问题 【典例6-1】（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【解析】（1）设事件表示第一回合该中国队运动员赢球，事件表示第二回合该中国队运动员赢球， 事件表示第二回合比赛有运动员得分， 由已知，， ， 则 ， 即第二回合比赛有运动员得分的概率为. （2）设运动员甲先发球，记事件表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件表示运动员甲先得第一分， 则， 则， 所以，即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理. 【典例6-2】为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. (1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 【解析】（1）记小胡赢得全部奖金为事件，则； （2）若场比赛结束，比赛自然终止， ①小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ②小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡无奖金； 若场比赛结束，比赛意外终止，即有一人赢了场，有一人赢了场， 则赢了场的人，按照比赛继续进行赢得全部奖金的概率为， 所以此人得到的奖金为元，则赢了场的人，得到的奖金为元； ③小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； ④小胡与小张赢得比赛场数分别为，小胡获元； 所以随机变量的可能取值为，，，； 比赛结果共有， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 250 750 1000 数学期望为． 【变式6-1】某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军.如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分.已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为). (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少? (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望. 【解析】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 由于每名选手获得冠亚军的概率都相等，则. （2）依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的期望为. 题型七：几何问题 【典例7-1】如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 【解析】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、， 所以， 第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 所以第二秒灯点在底面上的概率； （2）第秒亮灯点在底面上的概率为， 在底面上的概率为， 所以， 所以，所以是以，公比为的等比数列， 所以，则. 【典例7-2】如图，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．    (1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； (2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望． 【解析】（1）记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面， 结合题意易得，， 是等比数列，首项为，公比为， ， 则， （2）结合题意易得：， 当时，蚂蚁第3次、第5次都在处， 当时，蚂蚁第3次在处或第5次在处， 设蚂蚁第3次在处的概率为， 设蚂蚁第5次在处的概率为， 设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为， 设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，由对称性知，， ，又， 得， ， ， 的分布列为： 0 1 2 的数学期望. 【变式7-1】如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.    (1)求三棱锥的侧面积的最大值； (2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值. 【解析】（1）因为三条侧棱，，两两垂直，且，，，且三棱锥的外接球半径， 则以、、为长、宽、高的长方体的体对角线为外接球的直径，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的侧面积，当且仅当时取等号， 即三棱锥的侧面积的最大值为. （2）依题意的可能取值为、、， 则，， ， 所以. 【变式7-2】（2024·江苏南通·一模）已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. (1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其数学期望． 【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望． （1）从个顶点中随机选取个点构成三角形， 共有种取法，其中的三角形如， 这类三角形共有个 因此. （2）由题意，的可能取值为 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 其中的三角形如，这类三角形共有个； 因此 所以随机变量的概率分布列为： 所求数学期望 . 题型八：彩票问题 【典例8-1】（2024·江西·模拟预测）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，……，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． (1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 【解析】（1）若获得三等奖则可能是出现：①2，4，8中出现3个；②2，4，8中出现2个，1， 7出现1个；③2，4，8中出现1个，1，7出现2个；则获得三等奖的概率； 若获得二等奖则可能是出现：①5、10中出现1个， 1、2、4、7、8出现2个；②5、10中出现2个，1、2、4、7、8出现1个；则获得二等奖的概率； 若获得一等奖则可能是出现：①一个7，3、9中出现1个，4、8出现1个；②一个7，一个6，2、4、8、10 中出现1个，则获得一等奖的概率； 所以随机抽取一张彩票，则这张彩票中奖的概率． 所以已知一张彩票中奖，且是一等奖的概率为. （2）一张彩票的奖金的取值可能为0、2、3、10元， 由题可知不中奖的概率为， ，，. 其分布列为： 0 2 3 10 所以，所以要盈利，则；又， 所以的最小值为2． 【典例8-2】中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票.“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1—33中选择；蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖，一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖.“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级： 一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下同）； 二等奖：6个红色球号码相符； 三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 四等奖：5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 五等奖：4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）. （1）求中三等奖的概率（结果用a表示）； （2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率. 参考数据： 【解析】（1）中三等奖表示6个中奖红色球号码选个，个有奖的蓝色号码选正确， 有种选法； 随机选6个红色球号码和1个蓝色球号有种选法， 所以中三等奖的概率； （2）记小王中了高等奖为事件，小王中二等奖为事件， 可得， 所以小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率小王中二等奖的概率. 【变式8-1】在一种称为“幸运35”的福利彩票中，规定从01，02，…，35这35个号码中任选7个不同号码组成一注，并通过摇奖机从这35个号码中摇出7个不同的号码作为特等奖.与特等奖号码仅6个相同的为一等奖，仅5个相同的为二等奖，仅4个相同的为三等奖，其他的情况不得奖比.为了便于计算，假定每个投注号只有1次中奖机会（只计奖金额最大的奖），该期的每组号码均有人买，且彩票无重复号码比.若每注彩票为2元，特等奖奖金为100万元/注，一等奖奖金为1万元/注，二等奖奖金为100元/注，三等奖奖金为10元/注，试求： (1)奖金额X（元）的概率分布； (2)这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金（不计发售彩票的费用）？ 【解析】（1）的可能取值为. ， ， ， ， 所以的分布列为： （2）可筹集元. 题型九：纳税问题 【典例9-1】（2024·四川南充·一模）自2019年1月1日起，对个人所得税起征点和税率进行调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减去5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表： 个人所得税税率（调整前） 个人所得税税率（调整后） 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … … … … (1)假如李先生某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试分别求出调整前和调整后y关于x的函数表达式； (2)某税务部门在李先生所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 收入 （元） 人数 30 40 10 8 7 5 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求选中的2人收入都在的概率； 【解析】（1）根据个人所得税税率（调整前）可知： ； 根据个人所得税税率（调整后）可知： ； （2）与人数的比例为， 所以中抽取人，记为，中抽取人，记为， 从中任取两个，基本事件为：， ，共个， 其中选中的2人收入都在为，共个， 所以选中的2人收入都在的概率为. 【典例9-2】个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下: 旧个税税率表(个税起征点元) 新个税税率表(个税起征点元) 缴税级数 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点 税率/% 每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率/% 1 不超过元 不超过元 2 部分超过元至元部分 部分超过元至元部分 3 超过元至元的部分 超过元至元的部分 4 超过元至元的部分 超过元至元的部分 5 超过元至元部分 超过元至元部分 ··· ··· ··· ··· 随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题. （1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望; （2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视? 【解析】解:既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元， 月缴个税元; 只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为元， 月缴个税元; 只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为元， 月缴个税元; 既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额元， 月缴个税元. 所以的可能值为， 依题意，上述四类人群的人数之比是， 所以 ， ， ， 所以的分布列为 所以 在旧政策下该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额为元， 其月缴个税为元， 由知在新政策下该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元， 所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税为元. 设经过个月，该收入层级的互联网从业者少缴的个税的总和就超过 则 因为 所以 所以经过个月﹐该收入层级的互联网从业者就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视. 【变式9-1】（2024·河南郑州·三模）依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办法》)，自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除.简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用(统一为3500元)”“依法扣除的其他扣除费用”;自2019年1月1日起，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用(统一为5000元)”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用. 调整前后个人所得税税率表如下: 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … … … … 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表: 收入（元） 人数 10 20 25 20 15 10 （Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少? （Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少? （Ⅲ）先从收入在[9000，11000)及[11000，13000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率. 【解析】（Ⅰ）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入 （元）， 小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为（元）. （Ⅱ）2018年10月1日之前小李的个人所得税 （元）， 2019年1月1日起小李的个人所得税 （元） 2019年1月1日起小李个人所得税少交（元）. （Ⅲ）由频数分布表可知， 收入在和的人数共有人， 其中收入在的占， 收入在的占， 按分层抽样抽取7人，其中中占4人，记为1，2，3，4；中占3人，记为A，B，C， 从7人中选2人共有21种选法如下： ， 其中不在同一收入的人群有，，，，，，，，，，，共12种， 所以两个宣讲员不全是同一收入人群的概率为. 题型十：疾病问题 【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0.9%，若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次． (1)若每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元．问n为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，） (2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏 40岁以上 15 50 40岁及40岁以下 10 15 ①是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？ ②假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性． 附：， 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则． 【解析】（1）要使化验费用的数学期望最小，只需每个人的化验费用期望最小． 设每人的化验费用为Y元，若混合血样呈阴性， 则，若混合血样是阳性，则，所以，， 每位职工的化验费用为： ， 当且仅当，即时取等号， 故时，每位职工化验费用的期望最小． （2）（i）零假设为：“长期潜伏”与年龄无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为“长期潜伏”与年龄无关． （ii）若潜伏期， 由，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的． 【典例10-2】根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效． (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布． (2)在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差． (3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）． 【解析】（1）X的可能取值为， ，，， 故分布列如下： 0 1 2 （2）， ； （3）新药无效的情况有：10人中1人痊愈，10人中0人痊愈， 故， 所以通过试验却认定新药无效为小概率事件，该试验方案合理. 【变式10-1】（2024·高三·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 【解析】（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则 ， 因此， ，， ， 则的分布列为： 的数学期望. （2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为， 记康复的人数为随机变量，则， 设，设， 所以整数的最大值为 题型十一：建议问题 【典例11-1】（2024·高三·广东深圳·期末）在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可知：随机变量， 若，则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 可得． （2）方法1：3个样本需要试验次数为3次； 方法2：以实验次数为随机变量，则的可能取值为1或4， 且， 所以， 因为，所以方法2更优． （3）采用方法2，设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量， 则的可能取值为1或4，且， 由已知得 解之得． 所以的取值范围为． 【典例11-2】研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）． 月次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 某科课后投入时间（分钟） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 高三（1）班某科平均分（分） 65 68 75 72 73 73 73 73．5 73    (1)当时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程； (2)当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：； (3)当时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【解析】（1），， ， 则， 所求经验回归方程为：； （2）设的方程为，，， ∴， 则， 的方程为，故，； （3）当时，的斜率为0.4，这个斜率的意义是：课后每多投入10分钟，平均分就能提高4分； 当时，回归直线的斜率为0.01这个斜率的意义是：课后每多投入10分钟，平均分就能提高0.1分，说明投入几乎没用， 故该学习小组的建议是合理的. 【变式11-1】（2024·吉林·二模）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到 两小区的同日室温平均值如下图所示：    根据室内温度（单位： ），将供热状况分为以下三个等级： 室内温度 供热等级 不达标 达标 舒适 (1)试估计 小区当年（供热期172天）的供热状况为“舒适”的天数； (2)若 两小区供热状况相互独立，记事件 “一天中 小区供热等级优于 小区供热等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率； (3)若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择 中的哪个小区，并简述判断依据. 【解析】（1）估计小区当年（供热期172天）的供热状况为“舒适”的天数为天； （2）由题意，样本空间共有20个样本点，设分别表示，B小区的室内温度，用表示一天中的温度结果， 则，所以， 所以； （3）若从供热状况角度选择生活地区居住，建议选择小区， 因为小区供热等级舒适的频率为，小区供热等级舒适的频率为， 所以建议选择小区. 题型十二：概率与数列递推问题 【典例12-1】（2024·高三·重庆·开学考试）某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ (3)在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 【解析】（1）设“所获奖金不低于元”为事件，“小王所获得的奖金为元”为事件， 则，， 所以 （2）若小王按“①、②、③”的顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，， ，， 因此； 若小王按“③、②、①”顺序猜谜语，他所获奖金的所有可能取值为(元)， ，，，， 因此，， 当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多； 当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多； 当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多． （3）小王第次回答正确的概率只与第次回答是否正确有关， 则，即，于是，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即，则， 所以小王第次回答正确的概率 ． 【典例12-2】（2024·高三·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. （2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【变式12-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. (1)求及的值： (2)求数列的前项和. 【解析】（1）如图：设起始位置为， 移动2次回到起始位置，则；； 所以， 若移动3次回到起始位置， ；； 所以， （2）每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的， 设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，， 所以． 掷骰子次时，共有，，三种情况，故． ，即，， 又， 时，， 又，可得， 由， 可得数列是首项为公比为的等比数列， ，即， 又． 所以的前项和为 题型十三：硬币问题 【典例13-1】甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问： (1)第一局甲胜的概率； (2)第局甲胜的概率． 【解析】（1）； （2）设第局甲胜的概率为，则，又，用待定系数法易知． 【典例13-2】到年全面建成小康社会，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺.农村贫困人口脱贫是全面建成小康社会最艰巨的任务.习近平总书记提出的“精准扶贫”理论体系，为欠发达地区推进扶贫攻坚、实现与全国同步全面建成小康社会提供了重要的理论依据.各地区政府采用多种渠道进行扶贫投资开发，其中一项就是引入风险投资基金.甲、乙两家风险投资公司看中一个扶贫项目，要对其进行投资，甲、乙公司经理决定用掷硬币的方式决定投资金额，已知每次投掷中，硬币出现正面或反面的概率都是.由于两家公司规模不同，每次掷硬币中，若出现正面，则甲公司增加投资万元，乙公司不增加投资；若出现反面，则乙公司增加投资万元，甲公司不增加投资. （1）求掷硬币次后，投资资金总和的分布列与数学期望； （2）求投资资金总和恰好为万元的概率. 【解析】（1）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、、， 则，， ，， ∴随机变量的分布列为： ∴随机变量的数学期望； （2）设投资资金总和恰好为万元的概率为， 则投资资金总和恰好为万元的概率为， ∴()， ∵、，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴ ， ∴投资资金总和恰好为万元的概率是. 【变式13-1】甲和乙每人掷五枚硬币，每个硬币正面朝上或反面朝上的概率相等，且每个结果相互独立，如果甲的硬币正面朝上的数量比乙的多，那么这个游戏甲获胜．如果甲乙两人正面朝上的硬币数量相同，那么这个游戏就是平局． (1)求甲乙两人平局的概率； (2)求甲获胜的概率． 【解析】（1）甲乙两人的硬币正面朝上的数量相同共有等可能的情形， 每种情形发生的概率为， 故甲乙两人平局的概率． （2）注意到甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，所以， 进一步解得． 【变式13-2】（2024·河北·一模）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券． (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率． (2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率． (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 【解析】（1）设第一次抽到正常硬币为事件，抽到双面都印着字的硬币为事件，抽到双面都印着花的硬币为事件， 第一次投掷出正面向上为事件，第二次投掷出正面向上为事件，选择方案一进行第三次投掷并正面向上事件，选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件， 由全概率公式可得，， ， （2）连续两次都是正面的概率， ， 所以； （3）（一）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为元，第三次投掷出正面向上为事件，则 ， ，， ； （二）如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为元，第三次投掷出正面向上为事件， ①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则 ； ②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则 ； 所以，， ，， , 综上（一）（二）可得，，所以选择方案二的收益更高. 题型十四：自主选科问题 【典例14-1】（2024·高三·山西临汾·期中）山西省高考综合改革从2022年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3＋1＋2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物学、思想政治、地理四科中选择两科.相应的，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.现从某中学2022年高一年级所有学生中随机抽取20人进行选科情况调查，得到如下统计表： 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 1 史化生 6 物化政 11 史地政 16 物化地 2 物化地 7 物化生 12 物化地 17 物化政 3 物化地 8 史生地 13 物生地 18 物化地 4 史生地 9 史化地 14 物化地 19 史化地 5 史地政 10 史化政 15 物地政 20 史地政 (1)请创建列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关联. (2)某高校在其人工智能方向专业甲的招生简章中明确要求，考生必须选择物理，且在化学和生物学2门中至少选修1门，方可报名.现从该中学高一新生中随机抽取4人，设具备这所高校专业甲报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下： 选物理 选历史 合计 选化学 9 4 13 不选化学 2 5 7 合计 11 9 20 则， ∴根据小概率值的独立性试验，我们推断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关联； （2）经统计，样本中选修了物理科目，且在化学和生物学2门中至少选修了一门的人数为10，频率为， 用频率估计概率，则， 随机变量可取， ，， ，， ， 分布列如下： 0 1 2 3 4 数学期望为. 【典例14-2】（2024·河北唐山·二模）目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的． (1)A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率； (2)B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门． ①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率； ②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【解析】（1）“选择物理”记作事件，“选择化学”为事件，则 ，，则. （2）对于①，“选择物理”记作事件，“选择化学”记作事件，则 ， 事件与事件相互独立，则； 对于②，随机变量可以取0，1，2，3. ，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 . 【变式14-1】（2024·高三·上海浦东新·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案．新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目．某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 16 16 16 8 2 4 2 女生 20 4 4 20 6 16 10 (1)估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？ (2)从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率； (3)已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望． 【解析】（1）36名学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生人数为4人， 故估计该学校高一年级学生中选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人； （2）由数据可知，16名男生中有8人的选科方案为“物理、化学、生物”， 设恰好有1人选“物理、化学、生物”为事件，则． （3）由数据可知，20名女生中有4人的选科方案为“物理、化学、生物”， 有6人的选科方案为“生物、政治、历史”，有10人的选科方案为“生物、历史、地理”， ，， 的分布列为，故. 【变式14-2】材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分； ①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附：；；. 【解析】（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”； 则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有. 从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门的方案有种， 所以. （2）设此次网络测试的成绩记为. ①由题意可知， 因为，且， 所以； 而， 且， 所以前400名学生成绩的最低分高于， 而考生甲的成绩为270分，所以甲同学能够获得荣誉证书. ②假设考生乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即丙同学的成绩为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假. 题型十五：高尔顿板问题 【典例15-1】如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.    (1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率； (2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中 （i）求的分布列； （ii）很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【解析】（1）根据题意可知要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次， 所以小球落入6号槽的概率为， （2）（i）由题意得的所有取值为1，2，3，4，5，6，7，则 ，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 （ii）因为小球掉入号球槽得到的奖金为金为元，其中，所以有所有取值为0，5，10，15，则 ，， ，， 所以， 因为，所以小明同学能盈利. 【典例15-2】高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数） (2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 附：设随机变量，则的分布列为，． ． 【解析】（1）的取值可能为1，2，3，4，5，6． ，， ． 因为，所以的取值可能为0，5，10，15． ，， ，． 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元， 所以该商品的最低定价约为15元． （2）由（1）得． 进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则． ． 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即． 所以当时，，此时这两项概率均为最大值． 故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大． 【变式15-1】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为、、、的球槽内.例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下.    (1)如图1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入号球槽、号球槽的概率大小； (2)小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少至层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过次碰撞后，最后掉入编号为、、、的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.你觉得小明能盈利吗？请说明理由. 【解析】（1）小球落入号球槽的概率， 小球落入号球槽的概率，则， 据此可得小球落入号球槽的概率小于小球落入号球槽的概率. （2）设小球落入的球槽编号为，则的可能取值为、、、、， 则，， ，， ， 因为， 所以，， 据此可知，小明能盈利. 【变式15-2】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【解析】（1）设这个球掉入号球槽为事件， 而掉入号球槽，需要向左次， 所以， 即这个小球掉入号球槽的概率为. （2）①由题知，的取值为， 所以， ， ， . 则的分布列为： ②由①知，因为， 所以的分布列为： 则. 所以小明同学能盈利. 题型十六：自主招生问题 【典例16-1】（2024·高三·广东揭阳·开学考试）某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为，至少一科考试优秀的概率为，数学考试达到优秀的概率为，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立． (1)求小明语文考试达到优秀的概率； (2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望． 【解析】（1）依题意，设小明语文考试达到优秀的概率为，科学考试达到优秀的概率为，且， 则 解得，则小明语文考试达到优秀的概率为. （2）记小明三科的总得分为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6. ， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P E(X)=0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×=. 【典例16-2】某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的. (1)甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由： (2)求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率. 【解析】（1）记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件 ，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件， 则由题意得，笔试和面试是否“通过”是独立的， 所以, , 因为，即， 所以甲获得录取的可能性大 （2）记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件，则由题意得 所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为. 【变式16-1】某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差. 【解析】（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个， 甲通过自主招生初试的概率 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 乙通过自主招生初试的概率 ，甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. 且 的概率分布列为： 0 5 10 15 20      . 题型十七：顺序排位问题 【典例17-1】陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望. (3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值. 【解析】（1）分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格的事件分别为， 设表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则 ； （2）分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件， 则，，. 设经过两轮烧制后合格品的件数为，则， 由题意，即的可能取值为， 由于；； ，. 所以；；，， 所以随机变量的分布列为 120 300 故随机变量的数学期望， （3）由题意，制作陶器人数的可能值为1，2，3. 于是，，， 则随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 所以， 又，则， 设，， 所以在上单调递增，则， 所以，所以当时，的最大值为. 【典例17-2】（2024·高三·北京·开学考试）乒乓球运动在中国风靡，成为了中国的国球体育项目. 某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区活动. 活动共分3个批次进行，每批次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选. 已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验. (1)求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； (2)第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？说明理由； (3)现在需要2名选手完成某项加赛，比赛方式为2名选手依次参赛，如果前一位选手不能获胜，则再派另一位选手. 若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且. 假设各人能否完成任务相互独立，则当派出选手的人员数目的数学期望达到最小时，直接写出A、两位选手的派遣顺序. 【解析】（1）5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中被抽取到的概率为， 则三次抽取中，“1号选手”恰有一次被抽取到的概率为. （2）第二次抽取到的没有比赛经验的选手人数最有可能是1人. 设表示第二次抽取到的无比赛经验的选手人数，可能的取值有0，1，2， 则有：，， ， （法一）因为， 故第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人. （法二）∵， ∴第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人. （3）按照先A后的顺序所需人数期望最小. 由题意：， 设表示先A后完成任务所需人员数目，则 1 2 ， 设表示先后A完成任务所需人员数目，则 1 2 ， ∵， ∴故按照先A后的顺序所需人数期望最小. 【变式17-1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】（1）由题意的所有可能取值为，，， 所以，， ， 所以的分布列为    （2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下： 由（1）可知， 甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分， 则的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为    ， 所以， 所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题. 【变式17-2】（2024·高三·北京·期中）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题． 题目 A B C 做对的概率 获得的奖金/元 32 64 128 [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和．] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 【解析】（1）甲没有获得奖金为事件M，则； （2）分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立． 由题意，X的可能取值为0，32，96，224． ； ； ； ， 所以甲最终获得的奖金X的分布列为 X 0 32 96 224 P ． （3）按照顺序： ， ， ， 所以甲获得的奖金的分布列为 0 32 160 224 按照顺序： ， ， ， 所以甲获得的奖金的分布列为 0 64 96 224 按照顺序： ， ， ， 所以甲获得的奖金的分布列为 0 64 192 224 按照顺序： ， ， ， 所以甲获得的奖金的分布列为 0 128 160 224 按照顺序： ， ， ， 所以甲获得的奖金的分布列为 0 128 192 224 综上，改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同， 按照A，B，C的顺序获得奖金的期望最大． 题型十八：博彩问题 【典例18-1】公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 【解析】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注， 当时，甲以赢，所以， 当时，甲以赢，所以， 当时，甲以赢，所以， 于是得甲赢得全部赌注的概率为， 所以，甲应分得的赌注为元. （2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢， 当时，乙以赢，， 当时，乙以赢，， 从而得乙赢得全部赌注的概率为， 于是甲赢得全部赌注的概率， 对求导得， 因，即，从而有在上单调递增， 于是得，乙赢的概率最大值为， 所以事件是小概率事件. 【典例18-2】公元年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）规定如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.若，，，，，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件. 【解析】（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢. 由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注. 当时，甲以赢，所以； 当时，甲以赢，所以； 当时，甲以赢，所以. 所以，甲赢的概率为. 所以，甲应分得的赌注为元； （2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢. 当时，乙以赢，； 当时，乙以赢，； 所以乙赢得全部赌注的概率为. 于是甲赢得全部赌注的概率. 求导，. 因为，所以，所以在上单调递增， 于是. 故乙赢的最大概率为，故事件A不一定是小概率事件. 【变式18-1】一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为元． （1）求概率的值； （2）为使收益的数学期望不小于0元，求的最小值． （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！） 【解析】（1）事件“”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”， 则． （2）依题意，的可能值为， 且， 结合（1）知，参加游戏者的收益的数学期望为 （元）． 为使收益的数学期望不小于0元，所以，即． 答：的最小值为110 1．（2024·广西·模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由． 【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3， 则，， ，， ， 所以随机变量的分布列为 16 17 18 19 20 0.09 0.24 0.34 0.24 0.09 （2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 当时，可得 当时，可得 因为，所以当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 2．为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同､编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号､2号､3号箱分别可得3分､4分､5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩. (1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数； (2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中1号､2号､3号箱的概率依次为.已知选手每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况. （i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱？ （ii）假设选手得了23分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率. 【解析】（1）设5次投掷投中1号次，2号次，3号次，未投中次， 则， 解得或或或 不同的方法数. （2）（i）设选手选择1号､2号､3号箱作为目标箱，5次投中的次数依次为， 最终的得分分别为.则 建议选手选择1号箱. （ii）方案一：连续5次选择投掷3号箱 最终获胜的概率为. 方案二：前4次均选择投掷3号箱，第5次投2号箱 最终获胜的概率为 3．机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明新车商业险保费（单位：元）与购车价格（单位：元）近似满足函数，且上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率.佛山市某机动车辆保险公司将上一年的出险次数与下一年的保费倍率的具体关系制作如下表格： 上一年出险次数 0 1 2 3 4 5次以上（含5次） 下一年保费倍率 85% 100% 125% 150% 175% 200% 连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折 王先生于2021年3月份购买了一辆30万元的新车，一直到2022年12月没有出过险，但于2023年买保险前仅出过两次险. (1)王先生在2023年应交商业险保费多少元？ (2)保险公司计划为前来续保的每一位车主提供抽奖的机会，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励100元的奖券，抽到黑球则奖励50元的奖券，第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励50元的奖券，车主所获得的奖券可以抵扣续保费.为了激励车主谨慎驾驶，保险公司规定：上一年没有出险的车主可以抽奖6次，车主每增加一次出险就减少一次抽奖机会.记车主第i次抽奖所得的奖券数额的数学期望为. （i）写出与的递推关系式（其中且）； （ii）若按照保险公司的计划，且王先生不放弃每一次抽奖机会，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为多少？ 【解析】（1）王先生于2021年买新车时需交商业险为：元， 由于2021年3月份至2022年3月份没有出险， 所以2022年3月份王先生需交商业险费为：元， 但在2023年买保险前出过两次险， 故王先生在2023年3月应交商业险费为：元. （2）（i）因为袋中装有6个红球和4个黑球，所以从中任意抽取一个是红球的概率为，是黑球的概率为， 所以， 当时，车主第次抽到奖券数额的期望为，且； （ii）由（i）知，， 当时，，即，而， 因此是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 由于王先生在2023年买保险前出过两次险，故续保时只有次抽奖机会， 所以次抽奖获得奖券数额的期望值之和为， 按照保险公司的计划，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为： 元. 4．保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)： 工种类别 A B C 赔付频率 已知三类工种职工每人每年需交的保费分别为25元､25元､40元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. （1）设A类工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X(元)，求X的数学期望； （2）若该公司全员参加保险，求保险公司该业务所获利润的期望值； （3）现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，若出意外，企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外职工，且企业开展这项工作每年还需另外固定支出12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 【解析】（1）X的分布列为: X 25 P ； （2）设B､C类工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量Y､Z(元), 则Y､Z的分布列分别为: Y 25 P Z 40 P ；        ；    保险公司的利润的期望值为: , 所以保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元. （3）方案1:企业不与保险公司合作,则企业每年赔付支出与固定开支共为: , 方案2:企业与保险公司合作,则企业支出保险金额为: , ,故建议企业选择方案2. 5．（2024·高三·云南德宏·开学考试）在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分． (1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗㙳的是该局比赛结果，樊振东最终以9：11落败，求其以该比分落败的概率； (2)在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望 【解析】（1）在比分为后张本智和先发球的情况下，樊正东以落败的情况分三种： 第一种：后四球樊正东依次为胜败败败，概率为， 第二种：后四球樊正东依次为败胜败败，概率为， 第三种：后四球樊正东依次为败败胜败，概率为， 所以所求事件的概率为：． （2）随机变量的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 数学期望为. 6．（2024·高三·河南安阳·开学考试）乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人，为弘扬国球精神，传承乒乓球文化，强健学生体魄，某中学举行了乒乓球单打比赛，比赛采用7局4胜制，每局比赛11分制，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得比赛.在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每一个球就要交换一个发球权.经过紧张的角逐，甲乙两位选手进入了决赛. (1)若甲赢得每局比赛的概率为，求甲以4:1赢得比赛的概率； (2)若在某一局比赛中，双方战成10:10，且甲获得了下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，求两人打了（，）个球后，甲赢得了比赛的概率. 【解析】（1）甲以4:1赢得比赛，则前4局中甲赢得了3局，第5局甲获胜， 所以甲以4:1赢得比赛概率为. （2）因为，，所以在该局比赛中，甲只可能以12:10或13:11获胜， 故的可能取值为2，4，设甲赢得该局比赛的概率为， ， ， 所以求两人打了（，）个球后甲赢得了该局比赛的概率为 . 7．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； (3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 【解析】（1）因为平面，平面BCD， 所以， 又，，平面ABC， 所以平面， 因为平面ABC， 所以； （2）将面与面沿展开成如图所示的平面图形，连接BD， 由（1）知：∠ACD=90°， 因为平面，平面BCD， 所以AB⊥BC， 因为， 所以∠ACB=45°， 故展开后， 所以彩带的最小长度为此平面图中长. 由余弦定理得：， 所以彩带的最小长度为； （3）6条棱中任选2条，共有种情况， 其中， 所以， 四个面任取两个面，共有种情况， 其中平面平面BCD，平面平面ACD，平面ABD⊥平面BCD， 故， 任取一个面和不在此面上的一条棱，先从四个平面任选一个平面，有种情况， 再从不在此面上的三条棱中选1条，有种情况，故共有种情况， 其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD， 故， 所以. 8．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张奖卷只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖. (1)随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 【解析】（1）若获得三等奖则可能是出现： ①、、； ②、、中出现个，、、、、五个中出现个； ③、中出现个，、中出现个，还有一个； ④、、； ⑤、、中出现个，、、、四个中出现个； 则获得三等奖的概率， 若获得二等奖则可能是出现：①、中出现个，、、、、五个中出现个； ②、中出现个，、、、、五个中出现个； 则获得二等奖的概率， 若获得一等奖则可能是出现：①一个，、中出现个，、中出现个； ②一个，一个，、、、四个中出现个； 则获得一等奖的概率， 所以随机抽取一张彩票，则这张彩票中奖的概率. （2）一张彩票的奖金的取值可能为、、、元，其分布列为： 所以， 所以若盈利，则，又，所以的最小值为. 9．某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意1个．由摇号得出1个7位数（首位可为0）为中奖号，若某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖，若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖，各奖不可兼得．某人买了1张彩票．求： (1)获得一等奖的概率； (2)获得三等奖及以上奖的概率． 【解析】（1）由题意得基本事件其有个. 显然，一等奖号码只有1个，故中一等奖的概率. （2）获得三等奖以上的基本事件个数为， 故中得三等奖以上的概率. 10．（2024·安徽芜湖·模拟预测）一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性． (1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率； (2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门 批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率； （ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理． 参考数据：， 【解析】（1）设“检查结果呈阳性”，“被检查确实患病”， 由题意可知，,, 所以 由条件概率公式，得 ， 所以某人没有患病的概率约为. （2）设通过试验痊愈的人数为变量,则, 所以经试验认定该药无效的概率为：. （ii）由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，概率很小是小概率事件，故试验方案合理. 11．（2024·高三·广西玉林·开学考试）某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产. (1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率； (2)已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信. 【解析】（1）设批次I的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件， 由已知得， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为 . （2）设份血液样本中检测有效的份数为，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，， ， 由切比雪夫不等式，有， 即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信. 12．（2024·高三·上海浦东新·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案．新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目．某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 16 16 16 8 2 4 2 女生 20 4 4 20 6 16 10 (1)估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？ (2)从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率； (3)已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望． 【解析】（1）36名学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生人数为4人， 故估计该学校高一年级学生中选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人； （2）由数据可知，16名男生中有8人的选科方案为“物理、化学、生物”， 设恰好有1人选“物理、化学、生物”为事件，则． （3）由数据可知，20名女生中有4人的选科方案为“物理、化学、生物”， 有6人的选科方案为“生物、政治、历史”，有10人的选科方案为“生物、历史、地理”， ，， 的分布列为，故. 13．材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分； ①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附：；；. 【解析】（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”； 则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有. 从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门的方案有种， 所以. （2）设此次网络测试的成绩记为. ①由题意可知， 因为，且， 所以； 而， 且， 所以前400名学生成绩的最低分高于， 而考生甲的成绩为270分，所以甲同学能够获得荣誉证书. ②假设考生乙所说为真，则， ， 而，所以， 从而， 而， 所以为小概率事件，即丙同学的成绩为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破01 概率与统计的综合问题　 目录 01 方法技巧与总结 2 02 题型归纳与总结 2 题型一：决策问题 2 题型二：道路通行问题. 4 题型三：保险问题 6 题型四：概率最值问题 8 题型五：放回与不放回问题 9 题型六：体育比赛问题 10 题型七：几何问题 12 题型八：彩票问题 14 题型九：纳税问题 15 题型十：疾病问题 18 题型十一：建议问题 20 题型十二：概率与数列递推问题 22 题型十三：硬币问题 24 题型十四：自主选科问题 26 题型十五：高尔顿板问题 28 题型十六：自主招生问题 31 题型十七：顺序排位问题 32 题型十八：博彩问题 34 03 过关测试 36 概率与统计的综合问题，往往涉及数据的收集、处理、分析以及基于这些数据进行决策。以下是一些方法技巧与总结： 1、理解基本概念：首先，要牢固掌握概率与统计的基本概念，如随机事件、概率分布、统计量等，这是解题的基础。 2、数据收集与处理：在实际问题中，要合理设计数据收集方案，确保数据的真实性和可靠性。同时，要善于运用统计图表等工具，对数据进行整理和展示。 3、灵活运用公式：概率与统计中有很多公式和定理，要熟练掌握并灵活运用。在解题时，要根据问题的具体情况，选择合适的公式进行计算。 4、注重逻辑推理：概率与统计问题往往需要进行逻辑推理和判断。在解题时，要保持清晰的思路，逐步推导，得出正确的结论。 综上所述，解决概率与统计的综合问题，需要扎实的基础知识、熟练的计算技巧以及良好的逻辑推理能力。通过不断练习和总结，可以逐渐提高解题水平。 题型一：决策问题 【典例1-1】2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. (1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 6 8 9 10 12 2 3 4 5 6 请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围. 【典例1-2】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 【变式1-1】某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 题型二：道路通行问题. 【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）近年来，汽车智能化自动化方向发展迅速，某地区举办了面向中学生的智能小车大赛，其中初赛为自动循迹小车比赛，要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示，图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路长.点为小车的出发地，最下方五个点都是目标地，规则为：①小车等可能的选择右下，左下或水平路线行进；②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或左下的路线行进. (1)求小车行驶到达目标地的概率； (2)若云槐中学代表队成功晋级，设其参赛小车行驶的距离为，求的分布列和数学期望. 【典例2-2】市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到． (1)求李先生的小孩按时到校的概率； (2)李先生是否有七成把握能够按时上班？ (3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值． 【变式2-1】已知小田开小汽车上班的道路A有5个红绿灯路口（只有红灯和绿灯），小田到达每一个路口遇到红灯的概率都为，遇到绿灯的概率都为． (1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为2min，求小田从出门到办公室的平均时间． (2)小田骑电动车上班的道路B只有3个红绿灯路口（只有红灯和绿灯）． ①若小田到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为，求小田遇到红灯个数的平均值； ②若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4min，在路口遇到红灯的平均等待时间为1min，每两个路口之间的行驶时间为5min，从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？ 题型三：保险问题 【典例3-1】某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） (1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. (2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【典例3-2】（2024·江西上饶·一模）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数2次及以上按2次计算） 出险情况 商业险折扣 若基准保费3000元时对应保费 三年内6赔 1.8 5400 三-年内5赔 1.5 4500 三年内4赔 1.2 3600 三年内3赔 1 3000 三年内2赔 0.8 2400 三年内1赔 0.7 2100 三年内0赔 0.6 1800 (1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险） (2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）．张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望． 【变式3-1】（2024·四川南充·模拟预测）随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表： 上一年的出险次数 次以上（含次） 下一年的保费倍率 连续两年没有出险打折，连续三年没有出险打折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的组数据（其中（万元）表示购车价格，（元）表示商业车险保费）：，，，，，，，．设由这组数据得到的回归直线方程为． （1）求的值． （2）某车主蔡先生购买一辆价值万元的新车． ①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费． ②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到店询价，预计修车费用为元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）． 题型四：概率最值问题 【典例4-1】某群体有4000人，假设携带乙肝病毒的占，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法:随机按照个人进行分组，将各组个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性;如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.设每人血样单独化验一次的费用为10元，个人混合化验一次的费用为元. (1)若，记每人血样化验的费用为元，求的数学期望; (2)若，求当取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并估计化验总费用. 参考公式:. 【典例4-2】（2024·高三·河北张家口·开学考试）某校社团开展知识竞赛活动，比赛有两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下：阶段由某参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至少答对一个，则该队进入阶段，并获得5分奖励.在阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，该队的成绩为，两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为，各次答对与否相互独立. (1)若，甲参加阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率； (2)①设甲参加阶段比赛，求该队最终得分的数学期望（用表示）； ②，且，设乙参加阶段比赛时，该队最终得分的数学期望为，则时，求的最小值. 【变式4-1】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为0.9，现进行了n次打靶射击，其中打中十环的数量为. (1)若，求恰好打中4次十环的概率（结果保留两位有效数字）； (2)要使的值最大，求n的值； (3)设随机变量X的数学期望及方差都存在，则，，，这就是著名的切比雪夫不等式.对于给定的随机变量，其方差如果存在则是唯一确定的数，所以该不等式告诉我们：的概率必然随的变大而缩小．为了至少有90%的把握使命中十环的频率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计射击队员打靶次数n的最小值. 题型五：放回与不放回问题 【典例5-1】一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望与方差. 【典例5-2】（2024·河南·三模）某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．现通过一个小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱子中；接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，否则被分至乙班． (1)求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率； (2)记甲、乙两个兴趣班最终扩招的人数分别为e，f，记，求． 【变式5-1】袋中装有3个大小和质地相同的白球，编号为1、2、3，从袋中依次取出两个球，用、表示第一个及第二个球的编号，在以下两种情况下分别求随机变量、和的期望，并研究、和的关系． (1)有放回地依次取出两个球； (2)不放回的依次取出两个球． 题型六：体育比赛问题 【典例6-1】（2024·上海奉贤·三模）在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球． (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立； 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？ 【典例6-2】为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立. (1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望. 【变式6-1】某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军.如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或3:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分.已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为). (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少? (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望. 题型七：几何问题 【典例7-1】如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 【典例7-2】如图，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．    (1)若蚂蚁爬行5次，求蚂蚁在下底面顶点的概率； (2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望． 【变式7-1】如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.    (1)求三棱锥的侧面积的最大值； (2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值. 【变式7-2】（2024·江苏南通·一模）已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积. (1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其数学期望． 题型八：彩票问题 【典例8-1】（2024·江西·模拟预测）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，……，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． (1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 【典例8-2】中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票.“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，“双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1—33中选择；蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖，一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖.“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级： 一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下同）； 二等奖：6个红色球号码相符； 三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 四等奖：5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 五等奖：4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）. （1）求中三等奖的概率（结果用a表示）； （2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率. 参考数据： 【变式8-1】在一种称为“幸运35”的福利彩票中，规定从01，02，…，35这35个号码中任选7个不同号码组成一注，并通过摇奖机从这35个号码中摇出7个不同的号码作为特等奖.与特等奖号码仅6个相同的为一等奖，仅5个相同的为二等奖，仅4个相同的为三等奖，其他的情况不得奖比.为了便于计算，假定每个投注号只有1次中奖机会（只计奖金额最大的奖），该期的每组号码均有人买，且彩票无重复号码比.若每注彩票为2元，特等奖奖金为100万元/注，一等奖奖金为1万元/注，二等奖奖金为100元/注，三等奖奖金为10元/注，试求： (1)奖金额X（元）的概率分布； (2)这一期彩票售完可以为福利事业筹集多少资金（不计发售彩票的费用）？ 题型九：纳税问题 【典例9-1】（2024·四川南充·一模）自2019年1月1日起，对个人所得税起征点和税率进行调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减去5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表： 个人所得税税率（调整前） 个人所得税税率（调整后） 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … … … … (1)假如李先生某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试分别求出调整前和调整后y关于x的函数表达式； (2)某税务部门在李先生所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 收入 （元） 人数 30 40 10 8 7 5 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求选中的2人收入都在的概率； 【典例9-2】个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括: ①个税起征点为元②每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除; ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下: 旧个税税率表(个税起征点元) 新个税税率表(个税起征点元) 缴税级数 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点 税率/% 每月应纳税所得额(含税）收入个税起征点专项附加扣除 税率/% 1 不超过元 不超过元 2 部分超过元至元部分 部分超过元至元部分 3 超过元至元的部分 超过元至元的部分 4 超过元至元的部分 超过元至元的部分 5 超过元至元部分 超过元至元部分 ··· ··· ··· ··· 随机抽取某市名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是.此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房元/月，子女教育每孩元/月，赡养老人元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题. （1）按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为元，求的分布列和数学期望; （2）根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为元的华为智慧屏巨幕电视? 【变式9-1】（2024·河南郑州·三模）依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办法》)，自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除.简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用(统一为3500元)”“依法扣除的其他扣除费用”;自2019年1月1日起，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用(统一为5000元)”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用. 调整前后个人所得税税率表如下: 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 20 … … … … … … 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表: 收入（元） 人数 10 20 25 20 15 10 （Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少? （Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少? （Ⅲ）先从收入在[9000，11000)及[11000，13000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率. 题型十：疾病问题 【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占0.9%，若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次． (1)若每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元．问n为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，） (2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表： 年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏 40岁以上 15 50 40岁及40岁以下 10 15 ①是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？ ②假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性． 附：， 0.1 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则． 【典例10-2】根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效． (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布． (2)在第（1）题的条件下求随机变量X的期望与方差． (3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P并根据P的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）． 【变式10-1】（2024·高三·江西赣州·期中）某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，） 题型十一：建议问题 【典例11-1】（2024·高三·广东深圳·期末）在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 【典例11-2】研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）． 月次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 某科课后投入时间（分钟） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 高三（1）班某科平均分（分） 65 68 75 72 73 73 73 73．5 73    (1)当时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程； (2)当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：； (3)当时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【变式11-1】（2024·吉林·二模）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到 两小区的同日室温平均值如下图所示：    根据室内温度（单位： ），将供热状况分为以下三个等级： 室内温度 供热等级 不达标 达标 舒适 (1)试估计 小区当年（供热期172天）的供热状况为“舒适”的天数； (2)若 两小区供热状况相互独立，记事件 “一天中 小区供热等级优于 小区供热等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率； (3)若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择 中的哪个小区，并简述判断依据. 题型十二：概率与数列递推问题 【典例12-1】（2024·高三·重庆·开学考试）某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动． 在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表： 谜语 ① ② ③ 猜对的概率 0.8 0.5 获得的奖金（元） 10 20 30 (1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10元的条件下，求小王所获奖金为30元的概率； (2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？ (3)在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B两类问题，每个参赛者回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从B类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A类中随机抽取，规定每位参赛者回答的第一个问题从A类中抽取．已知小王能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n次回答正确的概率． 【典例12-2】（2024·高三·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【变式12-1】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为. (1)求及的值： (2)求数列的前项和. 题型十三：硬币问题 【典例13-1】甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问： (1)第一局甲胜的概率； (2)第局甲胜的概率． 【典例13-2】到年全面建成小康社会，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺.农村贫困人口脱贫是全面建成小康社会最艰巨的任务.习近平总书记提出的“精准扶贫”理论体系，为欠发达地区推进扶贫攻坚、实现与全国同步全面建成小康社会提供了重要的理论依据.各地区政府采用多种渠道进行扶贫投资开发，其中一项就是引入风险投资基金.甲、乙两家风险投资公司看中一个扶贫项目，要对其进行投资，甲、乙公司经理决定用掷硬币的方式决定投资金额，已知每次投掷中，硬币出现正面或反面的概率都是.由于两家公司规模不同，每次掷硬币中，若出现正面，则甲公司增加投资万元，乙公司不增加投资；若出现反面，则乙公司增加投资万元，甲公司不增加投资. （1）求掷硬币次后，投资资金总和的分布列与数学期望； （2）求投资资金总和恰好为万元的概率. 【变式13-1】甲和乙每人掷五枚硬币，每个硬币正面朝上或反面朝上的概率相等，且每个结果相互独立，如果甲的硬币正面朝上的数量比乙的多，那么这个游戏甲获胜．如果甲乙两人正面朝上的硬币数量相同，那么这个游戏就是平局． (1)求甲乙两人平局的概率； (2)求甲获胜的概率． 【变式13-2】（2024·河北·一模）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券． (1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率． (2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率． (3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适． 题型十四：自主选科问题 【典例14-1】（2024·高三·山西临汾·期中）山西省高考综合改革从2022年秋季入学的高一年级学生开始实施，新高考将实行“3＋1＋2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物学、思想政治、地理四科中选择两科.相应的，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.现从某中学2022年高一年级所有学生中随机抽取20人进行选科情况调查，得到如下统计表： 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 1 史化生 6 物化政 11 史地政 16 物化地 2 物化地 7 物化生 12 物化地 17 物化政 3 物化地 8 史生地 13 物生地 18 物化地 4 史生地 9 史化地 14 物化地 19 史化地 5 史地政 10 史化政 15 物地政 20 史地政 (1)请创建列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关联. (2)某高校在其人工智能方向专业甲的招生简章中明确要求，考生必须选择物理，且在化学和生物学2门中至少选修1门，方可报名.现从该中学高一新生中随机抽取4人，设具备这所高校专业甲报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【典例14-2】（2024·河北唐山·二模）目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的． (1)A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率； (2)B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门． ①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率； ②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【变式14-1】（2024·高三·上海浦东新·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案．新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目．某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 16 16 16 8 2 4 2 女生 20 4 4 20 6 16 10 (1)估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？ (2)从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率； (3)已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望． 【变式14-2】材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分； ①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附：；；. 题型十五：高尔顿板问题 【典例15-1】如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.    (1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率； (2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中 （i）求的分布列； （ii）很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【典例15-2】高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数） (2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 附：设随机变量，则的分布列为，． ． 【变式15-1】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为、、、的球槽内.例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下.    (1)如图1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入号球槽、号球槽的概率大小； (2)小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少至层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过次碰撞后，最后掉入编号为、、、的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.你觉得小明能盈利吗？请说明理由. 【变式15-2】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽内．球槽从左到右分别编号为．    (1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入号球槽的概率； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中． ①求的分布列； ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 题型十六：自主招生问题 【典例16-1】（2024·高三·广东揭阳·开学考试）某高中在招高一新生时，有统一考试招生和自主招生两种方式．参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试，若语文达到优秀，则得1分，若数学达到优秀，则得2分，若科学达到优秀，则得3分，若各科未达到优秀，则不得分．已知小明三科考试都达到优秀的概率为，至少一科考试优秀的概率为，数学考试达到优秀的概率为，语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率，且小明各科达到优秀与否相互独立． (1)求小明语文考试达到优秀的概率； (2)求小明三科考试所得总分的分布列和期望． 【典例16-2】某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的. (1)甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由： (2)求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率. 【变式16-1】某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. （1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大； （2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差. 题型十七：顺序排位问题 【典例17-1】陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为，，. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2)经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏的分布列和数学期望. (3)，，三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为，，，且，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按，，的顺序制作陶器，若，，求制作陶器人数的数学期望的最大值. 【典例17-2】（2024·高三·北京·开学考试）乒乓球运动在中国风靡，成为了中国的国球体育项目. 某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区活动. 活动共分3个批次进行，每批次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选. 已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验. (1)求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率； (2)第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？说明理由； (3)现在需要2名选手完成某项加赛，比赛方式为2名选手依次参赛，如果前一位选手不能获胜，则再派另一位选手. 若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且. 假设各人能否完成任务相互独立，则当派出选手的人员数目的数学期望达到最小时，直接写出A、两位选手的派遣顺序. 【变式17-1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分． 已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7． (1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【变式17-2】（2024·高三·北京·期中）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题． 题目 A B C 做对的概率 获得的奖金/元 32 64 128 [注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和．] (1)求甲没有获得奖金的概率； (2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望； (3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 题型十八：博彩问题 【典例18-1】公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件. 【典例18-2】公元年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）规定如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.若，，，，，则甲应分得多少赌注？ （2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于，则称该随机事件为小概率事件. 【变式18-1】一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，倍的奖励（），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为元． （1）求概率的值； （2）为使收益的数学期望不小于0元，求的最小值． （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！） 1．（2024·广西·模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由． 2．为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同､编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号､2号､3号箱分别可得3分､4分､5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩. (1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数； (2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中1号､2号､3号箱的概率依次为.已知选手每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况. （i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱？ （ii）假设选手得了23分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率. 3．机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明新车商业险保费（单位：元）与购车价格（单位：元）近似满足函数，且上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率.佛山市某机动车辆保险公司将上一年的出险次数与下一年的保费倍率的具体关系制作如下表格： 上一年出险次数 0 1 2 3 4 5次以上（含5次） 下一年保费倍率 85% 100% 125% 150% 175% 200% 连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折 王先生于2021年3月份购买了一辆30万元的新车，一直到2022年12月没有出过险，但于2023年买保险前仅出过两次险. (1)王先生在2023年应交商业险保费多少元？ (2)保险公司计划为前来续保的每一位车主提供抽奖的机会，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励100元的奖券，抽到黑球则奖励50元的奖券，第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励50元的奖券，车主所获得的奖券可以抵扣续保费.为了激励车主谨慎驾驶，保险公司规定：上一年没有出险的车主可以抽奖6次，车主每增加一次出险就减少一次抽奖机会.记车主第i次抽奖所得的奖券数额的数学期望为. （i）写出与的递推关系式（其中且）； （ii）若按照保险公司的计划，且王先生不放弃每一次抽奖机会，王先生在2023年续保商业险时，实际支付保费的期望值为多少？ 4．保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)： 工种类别 A B C 赔付频率 已知三类工种职工每人每年需交的保费分别为25元､25元､40元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元. （1）设A类工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X(元)，求X的数学期望； （2）若该公司全员参加保险，求保险公司该业务所获利润的期望值； （3）现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，若出意外，企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外职工，且企业开展这项工作每年还需另外固定支出12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 5．（2024·高三·云南德宏·开学考试）在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分． (1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗㙳的是该局比赛结果，樊振东最终以9：11落败，求其以该比分落败的概率； (2)在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望 6．（2024·高三·河南安阳·开学考试）乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人，为弘扬国球精神，传承乒乓球文化，强健学生体魄，某中学举行了乒乓球单打比赛，比赛采用7局4胜制，每局比赛11分制，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得比赛.在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每一个球就要交换一个发球权.经过紧张的角逐，甲乙两位选手进入了决赛. (1)若甲赢得每局比赛的概率为，求甲以4:1赢得比赛的概率； (2)若在某一局比赛中，双方战成10:10，且甲获得了下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，求两人打了（，）个球后，甲赢得了比赛的概率. 7．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带的最小长度； (3)若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为. 试比较概率、、的大小. 8．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张奖卷只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖. (1)随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 9．某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为0~9这10个数码中的任意1个．由摇号得出1个7位数（首位可为0）为中奖号，若某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖，若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖，各奖不可兼得．某人买了1张彩票．求： (1)获得一等奖的概率； (2)获得三等奖及以上奖的概率． 10．（2024·安徽芜湖·模拟预测）一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性． (1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率； (2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门 批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效． （i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率； （ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理． 参考数据：， 11．（2024·高三·广西玉林·开学考试）某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产. (1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率； (2)已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信. 12．（2024·高三·上海浦东新·期中）2024届起，上海实行高考改革新方案．新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目．某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 16 16 16 8 2 4 2 女生 20 4 4 20 6 16 10 (1)估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？ (2)从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率； (3)已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望． 13．材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“”模式，所谓“”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为、、、、五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分； ①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附：；；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$