第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十一大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 考情透视·目标导航 2 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：两点分布 4 知识点2：n次独立重复试验 4 知识点3：二项分布 5 知识点4：超几何分布 6 知识点5：正态曲线 6 知识点6：正态分布 7 解题方法总结 8 题型一：两点分布 9 题型二：n次独立重复试验 11 题型三：二项分布 13 题型四：超几何分布 15 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 17 题型六：正态密度函数 21 题型七：正态曲线的性质 23 题型八：正态曲线概率的计算 24 题型九：根据正态曲线的对称性求参数 25 题型十：正态分布的实际应用 25 题型十一：标准正态分布的应用 29 04真题练习·命题洞见 32 05课本典例·高考素材 33 06易错分析·答题模板 34 易错点：对二项分布理解不准 34 答题模板：超几何分布的概率问题 35 考点要求 考题统计 考情分析 （1）两点分布 （2）二项分布 （3）超几何分布 （4）正态分布 2024年I卷第9题，6分 2022年II卷第13题，5分 2021年II卷第6题，5分 2018年I卷第18题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点．本节的重点内容是求随机变量的分布列与数学期望．求分布列其实是求概率的过程，首先要明确随机变量的类型，是二项分布、超几何分布或是一般的概率分布．对于一般的概率分布，没有特别的公式，就需要将复杂事件拆分为等价的几个事件，根据概率计算公式求概率，从而得到分布列．对于数学期望与方差，都可用定义运用相应的公式求解，因而关键问题还是求分布列． 复习目标： （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 知识点1：两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【诊断自测】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 知识点2：n次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 【诊断自测】随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有1轮测试结果出现家公司排名不变的概率为（    ）． A． B． C． D． 知识点3：二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【诊断自测】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 知识点4：超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【诊断自测】（2024·高三·上海·单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则 知识点5：正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 【诊断自测】已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 知识点6：正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【诊断自测】（2024·重庆·三模）已知随机变量，则 . 解题方法总结 1、超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 3、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法： （1）根据题目中给出的条件确定与的值． （2）将待求问题向，，这三个区间进行转化； （3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 4、假设检验的思想 （1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设． （2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布． （3）对于小概率事件要有一个正确的理解： 小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性． 题型一：两点分布 【典例1-1】有一个盒子里有1个红球，现将（）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着（）的增加，下列说法正确的是（    ） A．减小，增加 B．增加，减小 C．增加，增加 D．减小，减小 【典例1-2】篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【变式1-1】甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第次投篮的人是甲的概率. (3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求. 【变式1-2】已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评．2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立． (1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求； (2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由． 【变式1-4】某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示： 工种类别 赔付概率 对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元. (1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：. (2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议. 题型二：n次独立重复试验 【典例2-1】（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·湖南·模拟预测）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 （1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率． （2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求 次独立重复试验中事件恰好发生 次的概率时，首先要确定好 和 的值，再准确利用公式求概率． （3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 【变式2-1】（2024·高三·山东烟台·开学考试）甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 【变式2-2】元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 题型三：二项分布 【典例3-1】（2024·高三·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【典例3-2】设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【方法技巧】 1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是： （1）根据题意设出随机变量； （2）分析出随机变量服从二项分布； （3）找到参数，； （4）写出二项分布的分布列； （5）将值代入求解概率． 【变式3-1】某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【变式3-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响. (1)求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率； (2)求甲队总得分X的分布列和数学期望. 【变式3-4】（2024·高三·重庆·开学考试）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； (2)甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【变式3-5】（2024·高三·广东汕头·开学考试）为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”）.经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18-64岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. (1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； (2)若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于，求整数n的最小值． 【变式3-6】泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为 . 题型四：超几何分布 【典例4-1】（2024·高三·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【典例4-2】（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 【方法技巧】 1、随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2、求超几何分布的分布列的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）列出分布列． 【变式4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【变式4-2】为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【变式4-3】（2024·高三·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 【典例5-1】（2024·高三·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【典例5-2】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表． 质量（克） 个数 3 4 7 5 1 (1)从抽取的20件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列： (2)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的期望与方差． 【方法技巧】 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【变式5-1】（2024·山西运城·一模）一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.    (1)若， ①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列； ②求次试验中事件发生的次数的期望； (2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？ 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【变式5-3】（2024·贵州六盘水·三模）某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障， (1)现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望； (2)为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率. 附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布． ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中． ③泊松分布表（局部） 表中列出了的值（如：时，    … 0.5 0.6 0.7 … 0 … 0.606531 0.548812 0.496585 … 1 … 0.303265 0.329287 0.347610 … 2 … 0.075816 0.098786 0.121663 … 3 … 0.012636 0.019757 0.028388 … 4 … 0.001580 0.002964 0.004968 … 5 … 0.000158 0.000356 0.000696 … 6 … 0.000013 0.000036 0.000081 … 7 … 0.000001 0.000003 0.000008 … 【变式5-4】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 题型六：正态密度函数 【典例6-1】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例6-2】某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【方法技巧】 求正态曲线的两个方法 （1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为． （2）待定系数法：求出，便可． 【变式6-1】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式6-2】（2024·高三·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 题型七：正态曲线的性质 【典例7-1】（2024·高三·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为 【典例7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）正态分布在区间和上取值的概率为，，则二者的大小关系为 ． 【变式7-1】随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线 对称． 【变式7-2】（2024·高三·上海·课堂例题）正态密度函数图像也称为钟形曲线，现有以下结论： ①曲线在轴的上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最高点）； ④当无限增大时，曲线无限接近轴； ⑤轴与正态曲线所夹面积恒等于1． 其中所有正确的结论序号为 ． 【变式7-3】老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 题型八：正态曲线概率的计算 【典例8-1】（2024·辽宁·模拟预测）若随机变量，且，则 ． 【典例8-2】（2024·高三·广东·开学考试）已知，则落在区间中的概率为 参考数据：，， 【方法技巧】 1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 【变式8-1】设随机变量服从正态分布，若，则 . 【变式8-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知随机变量，且，则的值为 ． 【变式8-3】已知随机变量服从标准正态分布，若，则 ． 【变式8-4】某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 题型九：根据正态曲线的对称性求参数 【典例9-1】（2024·高三·安徽·开学考试）已知随机变量，若，则实数a的值为 ． 【典例9-2】已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 【方法技巧】 ①； ②； ③若，则． 特别提醒：正态曲线，并非都关于轴对称，只有标准正态分布曲线才关于轴对称． 【变式9-1】已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【变式9-2】（2024·河南信阳·二模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为 . 【变式9-3】（2024·浙江温州·三模）设随机变量服从正态分布，若，则 . 【变式9-4】（2024·广东·一模）随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是 . 题型十：正态分布的实际应用 【典例10-1】（2024·高三·山西运城·开学考试）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则 【典例10-2】面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【变式10-1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 【变式10-2】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【变式10-3】（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【变式10-4】（2024·山西·二模）某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图. (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 参考数据：若，则，，. 题型十一：标准正态分布的应用 【典例11-1】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【典例11-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【变式11-1】（2024·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【变式11-2】（2024·广东深圳·二模）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1． （1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差； （2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值． 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224 ①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率； ②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？ 【变式11-3】（2024·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 3．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（辽宁卷））设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 1．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传. 2．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列. （1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%； （2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%. 3．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001). 4．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率. 5．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 6．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 7．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）； （2）； （3）． 易错点：对二项分布理解不准 易错分析： 二项分布理解不准的常见易错点包括：对随机变量“”的意义理解错误，如错误地将“”理解为12次独立重复试验中恰好有10次成功；分不清问题是否为独立重复试验，如错误地将超几何分布问题当作二项分布处理。这些错误源于对二项分布定义和性质理解不透彻。 【易错题1】在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望是（    ） A． B． C． D． 【易错题2】已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 答题模板：超几何分布的概率问题 1、模板解决思路 解决超几何分布的概率问题，首先需要明确问题的背景，即在不放回抽样的条件下，从有限的总体中抽取样本。其次，要确定总体的容量、样本容量以及总体中具有成功标识的元素的数量。接着，根据超几何分布的概率公式，计算出在抽取的样本中，具有成功标识的元素恰好出现某个特定次数的概率。最后，将计算得到的概率值与题目要求进行比较，从而得出最终的答案。在整个解题过程中，要注意区分超几何分布与二项分布的区别，确保应用正确的概率公式。 2、模板解决步骤 第一步：明确总体容量、样本容量及成功元素数。 第二步：应用超几何分布公式，即的计算公式，代入数值求解。 第三步：检查概率值是否在合理范围，确保计算无误，解读结果。 【经典例题1】一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为 ,则事件A恰好发生一次的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目录 01 考情透视·目标导航 2 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：两点分布 4 知识点2：n次独立重复试验 4 知识点3：二项分布 5 知识点4：超几何分布 6 知识点5：正态曲线 7 知识点6：正态分布 8 解题方法总结 9 题型一：两点分布 10 题型二：n次独立重复试验 15 题型三：二项分布 19 题型四：超几何分布 25 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 29 题型六：正态密度函数 37 题型七：正态曲线的性质 39 题型八：正态曲线概率的计算 42 题型九：根据正态曲线的对称性求参数 44 题型十：正态分布的实际应用 46 题型十一：标准正态分布的应用 52 04真题练习·命题洞见 57 05课本典例·高考素材 59 06易错分析·答题模板 62 易错点：对二项分布理解不准 62 答题模板：超几何分布的概率问题 63 考点要求 考题统计 考情分析 （1）两点分布 （2）二项分布 （3）超几何分布 （4）正态分布 2024年I卷第9题，6分 2022年II卷第13题，5分 2021年II卷第6题，5分 2018年I卷第18题，12分 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点．本节的重点内容是求随机变量的分布列与数学期望．求分布列其实是求概率的过程，首先要明确随机变量的类型，是二项分布、超几何分布或是一般的概率分布．对于一般的概率分布，没有特别的公式，就需要将复杂事件拆分为等价的几个事件，根据概率计算公式求概率，从而得到分布列．对于数学期望与方差，都可用定义运用相应的公式求解，因而关键问题还是求分布列． 复习目标： （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． （2）借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 知识点1：两点分布 1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为； （2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛． 2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，． 【诊断自测】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【解析】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 知识点2：n次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 【诊断自测】随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有1轮测试结果出现家公司排名不变的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在一轮测试5家快递公式进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为， 其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为， 所以，这3轮测试中恰好有1轮测试结果都出现2家公式排名不变的概率为： . 故选：C. 知识点3：二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 【诊断自测】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C 知识点4：超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 【诊断自测】（2024·高三·上海·单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则 【答案】 【解析】由题意得. 故答案为： 知识点5：正态曲线 1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2、正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 甲 乙 【诊断自测】已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【解析】， . 故选：B. 知识点6：正态分布 1、定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2、原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【诊断自测】（2024·重庆·三模）已知随机变量，则 . 【答案】0.12 【解析】因为均值为2，故. 故答案为：. 解题方法总结 1、超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 3、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法： （1）根据题目中给出的条件确定与的值． （2）将待求问题向，，这三个区间进行转化； （3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 4、假设检验的思想 （1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设． （2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布． （3）对于小概率事件要有一个正确的理解： 小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性． 题型一：两点分布 【典例1-1】有一个盒子里有1个红球，现将（）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着（）的增加，下列说法正确的是（    ） A．减小，增加 B．增加，减小 C．增加，增加 D．减小，减小 【答案】D 【解析】取到红球个数服从两点分布，其中， 所以，显然随着n的增大而减小. ， 记， ， 当时，，故在上单调递减， 则当时，随着n的增大而减小. 故选：D. 【典例1-2】篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【解析】（1）依题意，的分布列为 0 1 当时，取最大值，且最大值为. （2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则 那么 则运动员甲投5次篮得分为4分概率为． 【变式1-1】甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第次投篮的人是甲的概率. (3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求. 【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为， 由题意得； （2）由题意设为第次投篮的是甲， 则， ， 又，则是首项为，公比为0.4的等比数列， ，即， 第次投篮的人是甲的概率为； （3）由（2）得， 由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且， ， 当时，， 综上所述，，． 【变式1-2】已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量满足,,其中. 则随机变量的分布列为: 所以 随机变量, 所以当时,,当时, 所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1): 则 当即,解得.所以A、B错误. 恒成立. 所以C错误,D正确 故选:D 【变式1-3】为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评．2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立． (1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求； (2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由． 【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ． （2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500． ，， 所以， 令，，． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减，所以的最大值为． 所以实施此方案，最高费用为（万元）． 所以若以此方案实施，不会超过预算． 【变式1-4】某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示： 工种类别 赔付概率 对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元. (1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：. (2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议. 【解析】（1）设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为 ， ， . 所以 ， 整理得. （2）方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为 （元）. 方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为 （元）. 因为，所以建议单位选择方案二. 题型二：n次独立重复试验 【典例2-1】（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况， 其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球， 恰好2人获奖的概率. 故选：A. 【典例2-2】（2024·湖南·模拟预测）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率. 而已知，故，所以. 从而甲选手投掷一次得1分的概率为. 故选：B. 【方法技巧】 （1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率． （2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求 次独立重复试验中事件恰好发生 次的概率时，首先要确定好 和 的值，再准确利用公式求概率． （3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 【变式2-1】（2024·高三·山东烟台·开学考试）甲､乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】甲以获胜的概率，甲以获胜的概率为， 由题意，，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为次， 结合独立重复实验的概率计算公式，可得： 当两次摘完时，可得概率为； 当三次摘完时，可得概率为； 当四次摘完时，可得概率为，则. 故选：D. 【变式2-3】（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】B 【解析】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 故选：B 题型三：二项分布 【典例3-1】（2024·高三·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18 【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 【典例3-2】设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ． 【答案】 【解析】因为随机变量X服从二项分布， 所以， 解得或（舍去）， 又因为随机变量Y服从二项分布， 所以 ． 故答案为: . 【方法技巧】 1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是： （1）根据题意设出随机变量； （2）分析出随机变量服从二项分布； （3）找到参数，； （4）写出二项分布的分布列； （5）将值代入求解概率． 【变式3-1】某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【解析】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【解析】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障， 所以主办方至少要为该通道预留100张票. （2）若小林额外找个人帮他一起抢票， 则抢到票的概率为， 可得， 令，解得；令，解得；令，解得； 即， 所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票. 【变式3-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两班代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为，乙队3人回答正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响. (1)求甲队总得分为20分且乙队总得分为10分的概率； (2)求甲队总得分X的分布列和数学期望. 【解析】（1）由题设，甲队得20分，即2人答对1人答错，概率为， 乙队得10分，即1人答对2人答错，概率为， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. （2）由题意可知，甲队总得分X的可能值为， ，， ，， 甲队总得分X的分布列如下： 0 10 20 30 所以 【变式3-4】（2024·高三·重庆·开学考试）现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； (2)甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【解析】（1）依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P （3）不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币； 记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【变式3-5】（2024·高三·广东汕头·开学考试）为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”）.经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18-64岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. (1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； (2)若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于，求整数n的最小值． 【解析】（1）依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人， 因抽取的市民只有 “是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，故这是个重伯努利概型. 故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为； （2）依题意，可列出随机变量的分布列： 2 3 4 5 于是， 化简得，， 即（*） 不妨记 则 由①-②，可得，， 即， 故得，，代入（*）整理得，. 设， 由可知，是递减数列， 又，而，故整数n的最小值为7. 【变式3-6】泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为 . 【答案】 【解析】依题意，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，则， 于是， 所以次品率小于的概率约为. 故答案为: . 题型四：超几何分布 【典例4-1】（2024·高三·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 所以女生人数的期望. 【典例4-2】（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 【答案】 /0.8 【解析】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 【方法技巧】 1、随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2、求超几何分布的分布列的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）列出分布列． 【变式4-1】（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【解析】（1）由题意得的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以，， 所以. 【变式4-2】为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【解析】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 【变式4-3】（2024·高三·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【解析】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 【典例5-1】（2024·高三·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【解析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 【典例5-2】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表． 质量（克） 个数 3 4 7 5 1 (1)从抽取的20件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列： (2)从该流水线上任取5件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的期望与方差． 【解析】（1）重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件， X的取值可能为0，1，2，X服从超几何分布， ，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P （2）由质量超过505克的产品的频率为， 故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为， 从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验， 即，则，． 【方法技巧】 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 【变式5-1】（2024·山西运城·一模）一袋中有个均匀硬币，其中有个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余个硬币的两面均为面值.每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复次试验.    (1)若， ①求次试验中摸出普通硬币个数的分布列； ②求次试验中事件发生的次数的期望； (2)设次试验中事件恰好发生次的概率为，当取何值时，最大？ 【解析】（1）当时， ①由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ②由题意可知，一次试验中事件发生的概率为， 所以，，则. （2）一次试验中，事件发生的概率为， 所以，次试验中事件恰好发生次的概率， 令，其中，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 所以，当时，函数取最大值， 因为且时，， 故当时，取最大值. 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【解析】（1）果径的频率为， 果径的频率为. 故果径的中位数在，不妨设为， 则，解得， 所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为. （2）果径的频率之比为， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. （3）依题意知，这批果实中一级果的概率， 每个果实相互独立，则， 则， 令，解得， 故当时，， 即； 当时，， 即， 所以，即一级果的个数最有可能为30个. 【变式5-3】（2024·贵州六盘水·三模）某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障， (1)现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望； (2)为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率. 附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布． ②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中． ③泊松分布表（局部） 表中列出了的值（如：时，    … 0.5 0.6 0.7 … 0 … 0.606531 0.548812 0.496585 … 1 … 0.303265 0.329287 0.347610 … 2 … 0.075816 0.098786 0.121663 … 3 … 0.012636 0.019757 0.028388 … 4 … 0.001580 0.002964 0.004968 … 5 … 0.000158 0.000356 0.000696 … 6 … 0.000013 0.000036 0.000081 … 7 … 0.000001 0.000003 0.000008 … 【解析】（1）（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 所以ξ的期望为； （2）依题题意，得，则， 所以， 因为，所以， 于是， 所以时的概率估计值为． 【变式5-4】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 【解析】（1）由题意，所以， 所以这100个水果中礼品果的个数为， 采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. （2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为， 则， 所以， 要使最大，则且， 解得，因为， 所以，所以当最大时，或. 题型六：正态密度函数 【典例6-1】设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 【典例6-2】某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（    ） A．甲学科总体的均值最小 B．乙学科总体的方差及均值都居中 C．丙学科总体的方差最大 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 【答案】C 【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 故选:C. 【方法技巧】 求正态曲线的两个方法 （1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为． （2）待定系数法：求出，便可． 【变式6-1】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 【变式6-2】（2024·高三·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 【变式6-3】（2024·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 题型七：正态曲线的性质 【典例7-1】（2024·高三·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为 【答案】1 【解析】由于正态总体的数据落在区间内的概率和落在区间内的概率相等， 则正态分布曲线的对称轴为：， ∴正态分布的均值. 故答案为：1. 【典例7-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）正态分布在区间和上取值的概率为，，则二者的大小关系为 ． 【答案】相等. 【解析】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以，即. 故答案为：相等. 【变式7-1】随机变量X服从正态分布的密度函数，的图像关于直线 对称． 【答案】 【解析】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数，的图像关于直线对称． 故答案为： 【变式7-2】（2024·高三·上海·课堂例题）正态密度函数图像也称为钟形曲线，现有以下结论： ①曲线在轴的上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最高点）； ④当无限增大时，曲线无限接近轴； ⑤轴与正态曲线所夹面积恒等于1． 其中所有正确的结论序号为 ． 【答案】①②③④⑤ 【解析】①：因为， 所以曲线在轴的上方，与轴不相交，因此本序号说法正确； ②：根据复合函数的单调性的性质可知： 当时，函数单调递减，此时函数单调递减， 当时，函数单调递增，此时函数单调递增， 因此曲线是单峰的， ，， 于是有，所以曲线关于关于直线对称，因此本序号说法正确； ③：由上可知：当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以当曲线在处达到峰值（最高点），因此本序号说法正确； ④：因为，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当无限增大时，曲线无限接近轴，因此本序号说法正确； ⑤：根据在频率直方图中，所有小矩形面积之和为1，所以轴与正态曲线所夹面积恒等于1，因此本序号说法正确， 故答案为：①②③④⑤ 【变式7-3】老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【解析】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 题型八：正态曲线概率的计算 【典例8-1】（2024·辽宁·模拟预测）若随机变量，且，则 ． 【答案】0.1/ 【解析】因为，且，则， 所以． 故答案为：0.1 【典例8-2】（2024·高三·广东·开学考试）已知，则落在区间中的概率为 参考数据：，， 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 即落在区间中的概率为． 故答案为：． 【方法技巧】 1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 【变式8-1】设随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】0.2 【解析】随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有， 由，则. 故答案为：0.2 【变式8-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知随机变量，且，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】由随机变量，且，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 【变式8-3】已知随机变量服从标准正态分布，若，则 ． 【答案】/ 【解析】随机变量服从标准正态分布， 若，所以， 则. 故答案为：. 【变式8-4】某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作.现有200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为 . 【答案】75 【解析】依题意，元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为， 一台这样的电器使用寿命超过1000小时，是元件1使用寿命超过1000小时， 并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时， 因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为， 显然200台这样的电器，使用寿命超过1000小时的台数，， 所以200台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75. 故答案为：75 题型九：根据正态曲线的对称性求参数 【典例9-1】（2024·高三·安徽·开学考试）已知随机变量，若，则实数a的值为 ． 【答案】2 【解析】由题意得，，解得． 故答案为：2 【典例9-2】已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意得，， 故答案为： 【方法技巧】 ①； ②； ③若，则． 特别提醒：正态曲线，并非都关于轴对称，只有标准正态分布曲线才关于轴对称． 【变式9-1】已知随机变量，且，则函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由随机变量，且，得，解得， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故答案为： 【变式9-2】（2024·河南信阳·二模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为 . 【答案】3 【解析】近似服从正态分布，， 故，解得. 故答案为：3 【变式9-3】（2024·浙江温州·三模）设随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】 【解析】因为且， 所以，解得. 故答案为： 【变式9-4】（2024·广东·一模）随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是 . 【答案】88 【解析】随机变量，又，则， 因此，则， 所以随机变量的第80百分位数是88. 故答案为：88 题型十：正态分布的实际应用 【典例10-1】（2024·高三·山西运城·开学考试）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 (1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望． （附：若随机变量，则 【解析】（1）因为物理原始成绩， 则， 所以物理原始成绩在的人数为（人） （2）随机抽取1人，其成绩在区间的概率为， 所以随机抽取三人，则可取0，1，2，3，且， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望 【典例10-2】面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. (1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； (2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【解析】（1）因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. （2）由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 【变式10-1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立. (1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为，求小李成功竞聘的概率； (2)统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍五人取整） 附：若随机变量，则 【解析】（1）设：第次通过第一关测试，：第次通过第二关测试，：一次性通过第三关测试，因为各关通过与否相互独立， 所以 ， . （2）由题意可知，， 则， ， ， 所以得分在442分以上的竞聘者约有228人. 【变式10-2】（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【解析】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为 . 故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差. （2）由（1）知可用来估计，可用来估计. 故. . ， 故. 又， 所以. 故这20000名考生中成绩在的人数服从二项分布，约为. 【变式10-3】（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【解析】（1） ， 同理． 所以. （2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为， 则， 所以 又，所以． 即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布， 所以． ． 故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 【变式10-4】（2024·山西·二模）某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图. (1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）. (2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望. (3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）. 参考数据：若，则，，. 【解析】（1）有图可得，解得， ； （2）的可能取值为、、、、、、， ， ， ， ， ， ， ， 则其分布列为： ； （3），，则, 又，故， ，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人. 题型十一：标准正态分布的应用 【典例11-1】（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【典例11-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 【变式11-1】（2024·河南开封·模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为， 由且，可得， 由，可得， 估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分. （2）若，则，， 由题意可知， ，. 【变式11-2】（2024·广东深圳·二模）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1． （1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差； （2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值． 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224 ①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率； ②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？ 【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布， 则， ， （2）①由于（1）中二项分布的n值增大， 故可以认为随机变量X服从二项分布， 由（1）可得，， 可得，则， 则， 由标准正态分布性质可得，， 故， 故， 在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为； ②查表可得，，则， 即， 又， 故座位数至少要1016个， ， 故阅览室座位至少需要添加22个． 【变式11-3】（2024·安徽·模拟预测）无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． (1)从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率． (2)从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率． (3)从该校任选n名学生，其中得分为5的学生人数为X，若，利用下面所给的两个结论，求正整数n的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【解析】（1）由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为， 故从该校任选2名学生得分不相同的概率为. （2）因为. 所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （3）易知，设， 根据结论一，知. 再根据结论二，知 由条件知， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为11. 1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 3．（2005年普通高等学校招生考试数学试题（辽宁卷））设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法， 恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中， 由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D 4．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 1．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传. 【解析】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%， 则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为： ， 所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件， 在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度， 就可以怀疑药厂是虚假宣传； 换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件， 在一次试验中可能发生，所以从这个角度看， 也可以不怀疑药厂的宣传. 2．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列. （1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%； （2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%. 【解析】（1）由题意，可取0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列如下：                                                   （2）可取0，1，2，3， ， ， ， . 所以的分布列如下：                                                   3．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001). 【解析】记中奖为事件， 概率为， 所以中奖的概率为. 4．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率. 【解析】（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为••． （2）至少有8次击中目标的概率为••••． 5．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则. （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是. 6．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 【解析】由题意可知，可设误差为，则的，, 故合格率约为95.45%. 7．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）； （2）； （3）． 【解析】由题可得:身高X作为变量符合均值为的正态分布 (1) (2) (3). 易错点：对二项分布理解不准 易错分析： 二项分布理解不准的常见易错点包括：对随机变量“”的意义理解错误，如错误地将“”理解为12次独立重复试验中恰好有10次成功；分不清问题是否为独立重复试验，如错误地将超几何分布问题当作二项分布处理。这些错误源于对二项分布定义和性质理解不透彻。 【易错题1】在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数的期望是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p， 由题意知，事件A一次也没发生的概率为，则，解得． 事件A发生的次数服从二项分布，故． 故选:A． 【易错题2】已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 答题模板：超几何分布的概率问题 1、模板解决思路 解决超几何分布的概率问题，首先需要明确问题的背景，即在不放回抽样的条件下，从有限的总体中抽取样本。其次，要确定总体的容量、样本容量以及总体中具有成功标识的元素的数量。接着，根据超几何分布的概率公式，计算出在抽取的样本中，具有成功标识的元素恰好出现某个特定次数的概率。最后，将计算得到的概率值与题目要求进行比较，从而得出最终的答案。在整个解题过程中，要注意区分超几何分布与二项分布的区别，确保应用正确的概率公式。 2、模板解决步骤 第一步：明确总体容量、样本容量及成功元素数。 第二步：应用超几何分布公式，即的计算公式，代入数值求解。 第三步：检查概率值是否在合理范围，确保计算无误，解读结果。 【经典例题1】一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， 故选：B 【经典例题2】设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为 ,则事件A恰好发生一次的概率为 . 【答案】 【解析】分析：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），由此能求出事件A恰好发生一次的概率． 假设事件A在每次试验中发生说明试验成功， 设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p）， 则有1﹣（1﹣p）3=，得p=， 则事件A恰好发生一次的概率为. 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $$