专题09 几何压轴四种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（人教版2024）

专题09几何压轴四种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 2 类型二、双角平分线模型-分类讨论 3 类型三、角度综合运算-分类讨论 5 类型四、角的折叠综合问题 7 压轴能力测评（7题） 8 1.线段双中点模型 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解： 速记口诀：一半一半又一 2.双角平分线模型 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这 个角的平分线。 已知 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB= ∠AOB 1、 双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。 模型一：两角有公共部分（作和） 已知 OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC= ∠AOC,∠CON= ∠BOC ∴∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 模型二：两角有公共部分（作差） 已知 OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠CON= ∠AOC- ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半. 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 【典例1】A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【变式1-3】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 类型二、双角平分线模型-分类讨论 【典例2】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【变式2-1】如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 【变式2-2】一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，． 如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒． (1)当与重合时，直接写出的值； (2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值； ②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值． 类型三、角度综合运算-分类讨论 【典例3】以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【变式3-1】已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【变式3-2】图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【变式3-3】某数学活动小组在做角的拓展练习时，经历了如下过程：          如图，点为直线上一点，． (1)如图1，______°． (2)小明把一个三角板的直角顶点与图1中的点O重合，并在直线上方旋转． ①如图2，当平分时，求的度数． ②拓展延伸：在三角板绕点O在直线上方旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 类型四、角的折叠问题 【典例4】利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【变式4-1】如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图①，在一张长方形纸中，点在上，并且，分别以，为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 ． 1．平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点落在处，为折痕，将对折，使得落在直线上，得折痕，若恰好平分，则 3．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 4.【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 5.如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 6．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 7．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09几何压轴四种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 1 类型二、双角平分线模型-分类讨论 5 类型三、角度综合运算-分类讨论 11 类型四、角的折叠综合问题 17 压轴能力测评（7题） 20 1.线段双中点模型 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解： 速记口诀：一半一半又一 2.双角平分线模型 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这 个角的平分线。 已知 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB= ∠AOB 1、 双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。 模型一：两角有公共部分（作和） 已知 OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC= ∠AOC,∠CON= ∠BOC ∴∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 模型二：两角有公共部分（作差） 已知 OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠CON= ∠AOC- ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半. 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 【典例1】A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 【变式1-1】已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 【变式1-2】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 【变式1-3】已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 类型二、双角平分线模型-分类讨论 【典例2】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 【变式2-1】如图，已知，射线在内部，射线逆时针旋转得到，是的角平分线． (1)如图，若是的角平分线，且时，求． (2)如图，若是的角平分线，则 ．（用含有的代数式表示） (3)在（1）的条件下，若射线从OE出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若射线、同时开始旋转直至重合后停止运动，多少时间后得到，请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，角的旋转定义的理解，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键． （1）证明，求解，结合，可得，求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）证明，，结合，从而可得答案； （3）如图，分两种情况讨论，当在内部时，当在外部时，由题意可得：，，再利用建立方程可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 平分， ， （2）解：平分， ， 平分， ， （3）解：如图，当在内部时， 由题意可得，，， ， ， ， 解得：； 当在外部时， ，， ， ， ， 解得：， 综上，当或时， 【变式2-2】一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，． 如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒． (1)当与重合时，直接写出的值； (2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值； ②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值． 【答案】(1)15秒 (2)①图见详解，的值为21秒；②的值为33或45秒 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据已知角的度数和平角的定义直接求度数即可； （2）①根据求解即可；②根据题意分两种情况得出的度数，求解即可． 【详解】（1）解：由题知， （秒）； （2）①如图所示： ∵正好平分 ∴ ， ∴ ， 的值为21； ②当在内部时， ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 当在外部时， ∴ ∵平分 ∴ ∴转动的角度为：， 解得， 当时．的值为33或45（秒）． 类型三、角度综合运算-分类讨论 【典例3】以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处． (1)如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________； (2)如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据即可作答； （2）由，得，根据恰好平分，有，即可得，即可得，问题得解； （3）由，设，则，分两种情况：第一种在内，第二种在内，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：； （2）平分，理由如下： 直线上一点， ， ， ， 恰好平分， ， ， ， ， ， 平分； （3）， 设，则． 分两种情况： ①如图，在内， ， ， ， ， ， ； ②如图，在内， ， ， ， 解得， ； 综上或． 【变式3-1】已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 【变式3-2】图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 【变式3-3】某数学活动小组在做角的拓展练习时，经历了如下过程：          如图，点为直线上一点，． (1)如图1，______°． (2)小明把一个三角板的直角顶点与图1中的点O重合，并在直线上方旋转． ①如图2，当平分时，求的度数． ②拓展延伸：在三角板绕点O在直线上方旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)60° (2)①的度数为、②当直角三角板的边在的外部时：；当直角三角板的边在的内部时： 【分析】本题主要考查余角、补角及角平分线的定义，解决本题的关键是牢记这些知识点并灵活运用，在最后一问一定要根据的位置进行分类讨论． （1）根据补角的定义即可求得； （2）①先求出的度数，再根据角平分线定义求出，最后根据平角的定义即可求得答案； ②根据在的左右两侧进行分类讨论． 【详解】（1）解：（1）， ． 故答案为：60． （2）①， ， 平分， ， ， ． ②若在的左侧时（图， ， ， ， ， ， ； 若在的右侧时（备用图）， ，， ， ， ； 综上所述：或． 类型四、角的折叠问题 【典例4】利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合平角求出即可得到答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， 平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：根据折叠得， 平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 【变式4-2】将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠对称的关系，角的加减，求出的值． 【详解】解：由题意可知：，， ∵， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的计算，折叠对称，解题的关键是熟练掌握角的计算，图形的折叠对称的性质． 【变式4-3】如图①，在一张长方形纸中，点在上，并且，分别以，为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为 ． 【答案】38° 【分析】由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′=180°-120°+16°=76°，进而可得答案． 【详解】由折叠可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′， ∵∠AEB=60°， ∴∠AEA′=2∠AEB=120°， ∵∠A′ED′=16°， ∴∠DED′=180°-120°+16°=76°， ∴∠CED=×76°=38°． 故答案为：38°． 【点睛】本题考查角的计算，根据折叠的性质得到BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′是解题关键． 1．平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 2．如图，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点落在处，为折痕，将对折，使得落在直线上，得折痕，若恰好平分，则 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了角的计算，由翻折的性质可以得到：，，然后根据角平分线的定义得到，从而可以求出，再根据三角形内角和定理可以求出，从而求得．合理运用翻折的性质以及角平分线的定义是本题解题的关键． 【详解】解：由翻折的性质可知：，， 恰好平分， ， ， 又， ， 又， ， ． 故答案为：． 3．如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 4.【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 5.如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 6．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的度数为度或度． 【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算． （1）计算求得，，即可证明平分； （2）设，计算求得，，根据平分，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 解得，即； （3）解：当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 综上，的度数为度或度． 7．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$