综合•融通(一) 匀变速直线运动的两种速度公式和位移差公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中物理必修第一册（人教版2019）

匀变速直线运动的两种速度公式和位移差公式(融会课—主题串知综合应用) 综合·融通(一) 解答匀变速直线运动问题，只掌握前面学习的三个基本公式还远远不够，还应掌握平均速度公式、位移中点的瞬时速度公式和位移差公式Δx＝aT2，并会灵活应用它们解决相关问题。通过本节课的学习要熟练掌握这些规律和方法。 1 主题(一)　 匀变速直线运动的平均速度公式　　 2 主题(二)　位移中点的瞬时速度公式 3 主题(三)　位移差公式的应用 4 课时跟踪检测 CONTENTS 目录 主题(一)　 匀变速直线运动的平均速度公式　　 知能融会通 [典例]　某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上车，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。 [答案]　5 m/s 1.超音速巡航是指飞机在不开启后燃器的情况下能 够持续在1.5 倍音速以上进行超过30分钟的超音速飞行。 超音速巡航是第五代战斗机的主要技术特征之一，某第五代战机在一次直线加速飞行中，速度由270 m/s提升至510 m/s，耗时一分钟，假设加速过程为匀加速，则该过程飞行的距离为(　 ) A．16 200 m B．23 400 m C．30 600 m D．46 800 m 题点全练清 √ 2．小物块以一定初速度滑上光滑固定斜面，沿斜面向上依次有A、B、C三点，物块在AB间的平均速度为BC间平均速度的4倍，到达C点时速度为0，则AC∶BC为(　 ) A．3∶1 B．7∶1 C．5∶1 D．9∶1 √ 主题(二)　位移中点的瞬时速度公式 知能融会通 题点全练清 √ √ 2．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求： (1)火车的加速度大小a； (2)火车中点经过此路标时的速度大小v； (3)整列火车通过此路标所用的时间t。 主题(三)　位移差公式的应用 (一)位移差公式Δx＝aT2 1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2。 多维度理解 [例1]　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。 [答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 1．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　 ) A．物体的加速度为20 m/s2 B．物体的加速度为25 m/s2 C．CD＝4 m D．CD＝5 m 针对训练 √ √ 2．纸带上提供的数据为奇数段 若第一段位移较小，读数误差较大，可以舍去第一段；也可以先舍去中间的一段的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解，例如已知连续相等时间段的五段位移。 [例2]　某小组用打点计时器研究小车的匀变速直线运动，该打点计时器电源的频率为50 Hz，在打好的纸带上每5个点标记一个计数点，标记结果如图所示。A、B、C、D为连续选择的计数点，其位置分别为20.0 mm、34.0 mm、53.0 mm和77.0 mm。求： (1)打B点时小车的速度大小； [答案]　0.165 m/s (2)小车运动的加速度大小。 [答案]　0.5 m/s2 [思维建模] 处理纸带数据的方法 处理纸带数据时，通常对位移、速度、加速度逐一处理： (1)可用“位移差”法判断物体的运动情况； (2)可利用匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度求打下纸带上某点时物体的瞬时速度； (3)可用逐差法求加速度，以便充分利用测量数据，减小误差。　　 [针对训练] 2．(2024·天津高一质检)如图甲所示，调整长木板和滑轮，使长木板水平放置且细线平行于长木板；在托盘中放入适当的砝码，接通电源，释放物块，多次改变托盘中砝码的质量，实验中得到如图乙所示的一条纸带，已知交变电流的频率为50 Hz，两计数点间还有四个点没有画出，根据纸带可求出物块的加速度大小约为(　 ) A．2.02 m/s2 B．1.90 m/s2 C．2.00 m/s2 D．2.13 m/s2 √ 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (选择题1～10小题，每小题5分。本检测卷满分70分) 1.若有轨电车进站的过程可近似视为匀减速直线 运动，电车车头依次经过A、B、C三个位置，已知 AB段长度为5 m，BC段长度为4 m，且通过AB段和 BC段所用时间均为0.5 s，则电车加速度大小为(　 ) A．7 m/s2 B．8 m/s2 C．4 m/s2 D．11 m/s2 √ 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2．如图，某滑雪爱好者从倾角一定的雪道上A点静止滑下，滑到水平雪道上C点时速度刚好为零，滑雪爱好者经过倾斜雪道的最低点B点时速度大小不变。设滑雪爱好者在倾斜雪道上做匀加速直线运动，在水平雪道上做匀减速直线运动，从A到C运动的路程为60 m，时间为30 s，则该滑雪爱好者经过B点时的速度大小为(　 ) A．5 m/s B．4 m/s C．3 m/s D．2 m/s 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3．城市主干道路旁的路灯杆间的水平间距为s，一辆长度为L的纯电动汽车在主干道上做匀加速直线运动，从车尾经过某一路灯杆A开始计时，经过t时间车头到达相邻的路灯杆B，已知车头在经过路灯杆B时的速度大小是车尾经过路灯杆A时的3倍。下列说法正确的是(　 ) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 4．(2024·贵州毕节高一检测)如图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，x1＝1.05 m，x2＝0.75 m，x3＝0.45 m，x4＝0.15 m，由此可以判定(　 ) A．足球做匀变速直线运动 B．足球的加速度大小为20 m/s2 C．足球的初速度大小为15 m/s D．整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 5．(2024·吉林高一模拟)具有完全自主知识 产权的“复兴号”动车组以安全快捷、平稳舒适、 高品质的运营服务成为中国高铁的一张亮丽名 片。若共有8节车厢的“复兴号”动车组从高铁 站开出时，做初速度为零的匀加速运动，车头经过路边一保持不动的工作人员时速度大小为6 m/s，车尾经过该工作人员时速度大小为8 m/s。每节车厢的长度相等，则前4节车厢经过工作人员的时间与后4节车厢经过工作人员的时间之比为(相邻车厢间隙不计)(　 ) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ 7．(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h 的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则(　 ) A．猎豹的加速度大小为5 m/s2 B．猎豹的加速度大小为10 m/s2 C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：由位移差公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度大小a＝5 m/s2，故A正确，B错误；猎豹的最大速度v＝108 km/h＝30 m/s，由v＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 8．(多选)如图所示，一名消防员在演训中，沿着长为15 m的竖立在地面上的钢管向下滑。他从钢管顶端由静止开始先匀加速再匀减速下滑，滑到地面时速度恰好为零。将消防员视作质点，已知他下滑的总时间为3 s，下滑过程中加速过程的加速度大小是减速过程加速度大小的2倍，下列说法正确的是(　 ) A．消防员加速过程与减速过程中速度变化量相同 B．消防员下滑过程中的最大速度为10 m/s C．消防员加速过程的加速度大小为5 m/s2 D．消防员加速过程与减速过程的平均速度相同 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 9．(多选)某次实验需要利用位移传感器和与之相连的计算机来研究小车做匀变速直线运动的相关规律。如图(a)所示，t＝0时刻，小车以初速度v0做匀加速直线运动，计算机显示其位置坐标—时间(x-t)图像如图(b)所示，则(　 ) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 A．小车2 s末的瞬时速度大小为0.11 m/s B．小车的加速度大小为0.04 m/s2 C．小车的初速度v0＝0.02 m/s D．小车t＝0时刻的位置坐标无法求出 解析：由匀变速运动的连续相等时间内的位移差为定值得Δx＝aT2，得(0.50 m－0.34 m)－(0.34 m－0.22 m)＝aT2，解得Δx＝0.04 m，a＝0.04 m/s2，故B正确； 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 10．(多选)如图所示，滑块A、B、C先后以相同的速度v0从斜面底端冲上斜面，当滑块A到达斜面顶端时速度恰好为零，此时滑块B正处于斜面中点，滑块C刚好从斜面底端出发。已知斜面长度为L，三个滑块上滑过程中均做匀减速直线运动且加速度大小相等。下列说法正确的是(　 ) 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 11．(6分)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出。则在打B点时，小车的速度为________ m/s，并可求得小车的加速度大小为________ m/s2。 2 3 4 0.26 　0.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 12．(14分)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。试求： (1)小球的加速度大小； 答案： 5 m/s2　 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 (2)拍摄时小球B的速度大小； 答案：1.75 m/s　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 (3)拍摄时sCD的距离。 答案：0.25 m 解析：由于连续相等时间内位移差恒定，所以 xCD－xBC＝xBC－xAB 所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m。 1．表述：匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 2．表达式：＝v＝。 3．推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v 由x＝v0t＋at2得平均速度＝＝v0＋at ① 由v＝v0＋at知，当t′＝时有v＝v0＋a· ② 由①②得＝v 又v＝v＋a· ③ 由②③解得v＝ 综上所述有＝v＝。 特别提醒：公式＝v＝ 只适用于匀变速直线运动，＝ 适用于所有运动。 [解析]　法一：基本公式法 设最大速度为vmax， 由题意得x＝x1＋x2＝a1t12＋vmaxt2－a2t22， t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2， 解得vmax＝＝＝5 m/s。 法二：平均速度法 由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半， 即＝＝，由x＝t得vmax＝＝5 m/s。 解析：该过程飞行的距离为x＝t＝×60 m＝23 400 m，故选B。 解析：设小物块在A点的速度为vA，在B点的速度为vB，可得∶＝4∶1，解得vA∶vB＝3∶1。根据v2＝2ax，可得x＝，则xAC∶xBC＝9∶1，故选D。 1．表述：匀变速直线运动中，任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初速度v0和末速度v平方和一半的平方根。 2．表达式：v＝。 3．推导：如图所示，前一半位移v2－v02＝2a·，后一半位移v2－v2＝2a·，所以有v2＝·(v02＋v2)，即有v＝ 。 4．对位移中点的瞬时速度公式的理解 (1)如果物体从A到B做匀减速直线运动，初速度为v0，加速度为a，末速度为vt，位移为x，那么结论v＝仍然成立。 (2)物体做匀变速直线运动，在t0时间内通过的位移为x，它在位移中点位置的速度为v1，在中间时刻的速度为v2，因v1＝，v2＝，v12－v22＝＞0，故不管是匀加速直线运动，还是匀减速直线运动，均有v1＞v2。还可运用如图所示的图像来说明。 1．(2024·西安高一检测)(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB中间时刻的速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有(　 ) A．物体经过AB位移中点的速度大小为 B．物体经过AB位移中点的速度大小为 C．若为匀减速直线运动，则v3＜ D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5 解析：由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，中间时刻的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，故D正确，C错误。 答案： 解析：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。 由匀加速直线运动的规律得v22－v12＝2al，即a＝。 答案：　 解析：对于前一半位移，有v2－v12＝2a· 对于后一半位移，有v22－v2＝2a· 所以有v2－v12＝v22－v2，故v＝。 解析：火车的平均速度＝ 故所有时间t＝＝。 答案： 2．推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v1T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2。 同理，对于不相邻的任意相等时间间隔T内的两段位移：xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。 3．应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 推论只适用于匀变速直线运动，如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。 [解析]　法一：平均速度公式法 连续两段时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s， 2＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝1，vE＝2。由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝，vB＝，又vB＝，联立以上各式，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。 法二：逐差相等公式法 由Δx＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 解析：由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差恒定，即Δx＝aT2，可得: a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。 (二)逐差法求纸带的加速度 1．纸带上提供的数据为偶数段 (1)若已知连续相等时间内的两段位移 由x2－x1＝aT2，得a＝。 (2)若已知连续相等时间内的四段位移 可以简化成两大段AC、CE研究 xⅠ＝x1＋x2 xⅡ＝x3＋x4 tAC＝tCE＝2T a＝＝。 (3)若已知连续相等时间内的六段位移 可以简化成两大段AD、DG研究 xⅠ＝x1＋x2＋x3 xⅡ＝x4＋x5＋x6 a＝＝。 xⅠ＝x1＋x2，xⅡ＝x4＋x5 a＝＝。 [解析]　(1)打点计时器的打点周期为T＝＝0.02 s，相邻两计数点之间的时间间隔t＝5T＝0.1 s。 在匀变速直线运动中，中间时刻速度等于平均速度，所以打B点时小车的速度为vB＝＝×10－3 m/s＝0.165 m/s。 [解析]　根据逐差法求解加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0．5 m/s2。 解析：交变电流的频率为50 Hz，两计数点间还有四个点没有画出，则两计数点间的时间间隔为T＝5×＝0.1 s，利用逐差法可得a＝＝×10－2 m/s2≈2.00 m/s2，故选C。 解析：根据Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2，则电车加速度大小为4 m/s2，方向与电车运动方向相反，C正确。 解析：设滑雪爱好者经过B点时的速度大小为vB，则有xAB＝t1，xBC＝t2，又xAB＋xBC＝60 m，t1＋t2＝30 s，联立解得vB＝4 m/s，故选B。 A．车尾在经过路灯杆A时的速度大小为 B．车头在经过路灯杆B时的速度大小为 C．车在该过程中的加速度大小为 D．车在该过程中的加速度大小为 解析：设车尾在经过路灯杆A时的速度为v，s－L＝t，解得v＝，车尾在经过路灯杆A时的速度大小为，车头在经过路灯杆B时的速度大小为，A、B错误；车在该过程中的加速度大小为a＝，解得a＝，C正确，D错误。 解析：连续相等时间内的位移差为x1－x2＝x2－x3＝x3－x4＝0.3 m，所以足球做匀变速直线运动，故A正确；由Δx＝at2，可得足球的加速度大小为a＝＝ m/s2＝30 m/s2，故B错误；题图中第二个球的速度v2＝＝ m/s＝9 m/s，则球的初速度v1＝v2＋at＝9 m/s＋30×0.1 m/s＝12 m/s，故C错误；整个过程中足球的平均速度大小为＝＝ m/s＝6 m/s，故D错误。 A． B． C． D． 解析：前4节车厢刚通过该工作人员时，动车组的速度大小为v1＝＝5 m/s，设一节车厢长度为L， 前4节车厢经过工作人员的时间t1＝，后4节车厢经过工作人员的时间t2＝， 则＝＝，故A、B、C错误，D正确。 6．一辆汽车在平直的公路上从A点开始做初速度为零的匀加速直线运动，一段时间后再做匀速直线运动到B点。如果全程的平均速度是最大速度的，则匀加速运动的时间与全程的时间之比为(　 ) A． B． C． D． 解析：设匀加速直线运动的时间为t1，全程的时间为t2，最大速度为v，全程的位移x＝t1＋v(t2－t1)，全程的平均速度＝＝＝，解得＝，故选C。 解析：消防员加速过程与减速过程中速度变化量大小相等、方向相反，故A错误；设消防员下滑过程中的最大速度为v，根据匀变速直线运动的规律可知，消防员加速过程与减速过程的平均速度相同，均为，全过程的平均速度为＝，根据位移—时间关系可得h＝t，解得消防员下滑过程中的最大速度v＝＝ m/s＝10 m/s，故B、D正确； 下滑过程中加速过程的加速度大小是减速过程加速度大小的2倍，则a加＝2a减，由v＝a加t加＝a减t减，可得t加＝t减，又t加＋t减＝3 s，所以t加＝1 s，所以消防员加速过程的加速度大小为a加＝＝10 m/s2，故C错误。 设t＝0时刻的位置坐标为x0，则Δx＝(0.22 m－0.14 m)－(0.14 m－x0)，解得x0＝0.10 m，D错误；由匀变速直线运动的某段的平均速度等于时间中点的速度，则2 s末的速度v2＝＝ m/s＝0.10 m/s，由a＝，解得v0＝v2－at2＝0.10 m/s－0.04×2 m/s＝0.02 m/s，故A错误，C正确。 A．滑块B的速度大小为 B．滑块上滑的加速度大小为 C．滑块A上滑时间后，滑块B才开始上滑 D．滑块B上滑时间后，滑块C才开始上滑 解析：根据匀变速直线运动位移速度关系可得－2aL＝0－v02，解得滑块上滑的加速度大小为a＝，B正确；设此时滑块B的速度大小为vB，由vB＝，解得vB＝v0，A错误； 滑块A滑动的时间为tA＝＝，滑块B滑动的时间为tB＝＝，则有Δt＝tA－tB＝，可知滑块A上滑时间后，滑块B才开始上滑；滑块B上滑时间后，滑块C才开始上滑，故C正确，D错误。 解析：由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB＝＝ m/s＝0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可知加速度a＝＝×10－3 m/s2＝0.4 m/s2。 解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。 由位移差公式Δx＝aT2可知，小球的加速度为 a＝＝＝ m/s2＝5 m/s2。　 解析：由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即 vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s。 $$