期中模拟卷（范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

高一数学上学期期中模拟卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，可得. 故选：A. 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 故为，. 故选：A. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 5．已知，，，下列错误的选项是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得，所以，即， 同理可得，则，故A正确； 由可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即，，故B正确； 由可得， 当且仅当时，即时等号成立，所以，故C错误； 由，，可得，不等式两边同时加上， 可得，又，所以，故D正确； 故选：C 6．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 7．若，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】， 当且仅当，时取到最小值. 故选：B 8．已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 故， 由可得 当时，， 当时，， 因此对任意的都有为奇函数， 且当时，单调递减，且，故在上单调递减， 故由得， 故对任意的成立， 故，解得或. 故选：B 9．对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象不关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以的图象不是关于原点对称，故A正确； 对于B：由取整函数的定义知，，所以， 函数的值域为，故B正确： 对于C：由取整函数的定义知，， 所以，故C正确； 对于D：由得，解得， 结合取整函数的定义可得，故D错误. 故选：D. 10．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若，，而，故整数集不是“紧密集合”，所以①错； 根据“紧密集合”的定义，实数集是“紧密集合”，所以②正确； 因为集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，所以③正确； 因为集合是“紧密集合”，但，故④错. 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 12．若函数的单调递增区间是，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】函数的单调递增区间是， 由题意得，解得． 故答案为： 13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【详解】由题意得“，使得等式成立”是真命题， 故， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 14．（1）函数的单调递增区间为 ． （2）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数， 当时，，可得函数在单调递增； 当时，，可得函数在单调递增， 综上可得，函数的递增区间为； 由对任意的实数且，都有， 可得函数为定义域上的递减函数， 又由函数，则满足， 解得，即实数a的取值范围为. 故答案为：；. 15．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是 . 【答案】①② 【详解】①，，所以①正确. ②，因为，所以②正确. ③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，故③错误； ④当时，， 所以，公共点有无数个，所以④错误. 故答案为：①② 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．求下列不等式的解集（直接写结果即可不需要过程） (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为，解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 17．已知集合，. (1)若“命题”是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题可知， 因为“命题”是真命题，所以， 又因为，所以，解得. （2）由（1）可知，， 因为是的充分不必要条件，所以⫋， ①当时，，成立， ②当时，，解得，经验证等号成立，所以， 综上，的取值范围为. 18．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 19．某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【详解】（1）依题意， 又， 所以， 即； （2）当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 20．已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 【详解】（1）因为函数在上单调递增， ∴当，即时，满足函数在单增，所以； 当时，若在上单调递增，则需满足，解得， 综上：. ∴所求实数的取值范围为. （2）当时，由得，不符合题意； 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得； 综上：∴实数的取值范围为. （3）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减， 此时． 综上，. 21．已知集合 （，且），若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A. B具有性质P. 条件（1）: ，且，B都至少含有两个元素： 条件（2）：对任意不相等的，都有；对任意不相等的，，都有. (1)当时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B; (2)若集合A， B具有性质P， 且，，求证：. 【详解】（1）当时，， 则集合A可以为，，， 则所有的集合为，，. （2）证明：记“对任意不相等的，都有”为条件①， 记“对任意不相等的，，都有”为条件②． 由条件②得． 由，和条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，即． 由条件①得，即． 由条件①得，即． 由条件②得，与矛盾， 所以，即. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学上学期期中模拟卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，下列错误的选项是（   ） A．且 B． C． D． 6．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7．若，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象不关于原点对称 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 10．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域为 ． 12．若函数的单调递增区间是，则实数a的值为 ． 13．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 . 14．（1）函数的单调递增区间为 ． （2）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围为 ． 15．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是 . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．求下列不等式的解集（直接写结果即可不需要过程） (1) (2) (3) (4) 17．已知集合，. (1)若“命题”是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 19．某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 20．已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 21．已知集合 （，且），若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A. B具有性质P. 条件（1）: ，且，B都至少含有两个元素： 条件（2）：对任意不相等的，都有；对任意不相等的，，都有. (1)当时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B; (2)若集合A， B具有性质P， 且，，求证：. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$