专题04 期中解答题必刷真题【25道 培优】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题04 期中解答题必刷真题 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，于点，点在上，且，是的中点，连接并延长，在的延长线上有一点，连接，且.    (1)求证： (2)求证： 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）完成下列各题 (1)如图1，，点在上，且，则的度数为______； (2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点． ①求证：垂直平分线段； ②若的面积为8，，，求的长． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在四边形中，，，，，，．如果点P由B点出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿方向向点B匀速运动，它们的速度均为，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：     (1)设的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，？ 4．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 5．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，中，，是边上的中线，以为边向外作等边，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)在（）的条件下，若，求的值． 6．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：， (1)若与关于y轴对称，请写出点的坐标（直接写答案）： ； ； ； (2)的面积为 ； (3)在y轴上画出点P，使最小． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图1，点A、D在在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，，，，． (1)求证：； (2)如图2，点E为上一点，且，证明：； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 8．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 9．（22-23八年级下·广东惠州·期中）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，已知点的坐标为，且． (1)求的长度； (2)如图2，以为一边作等边三角形，过点作，交的垂直平分线于点，交轴于点，连接．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于．求证：为的中点． 11．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)试求何时是直角三角形？ (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 12．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 14．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 16．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 17．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，，点P为线段上一动点（不包括点O），交x轴于点D，当P点运动时： (1)求证：； (2)求证：； (3)下列两个结论：①的值不变；②的值不变，选择正确的结论求其值． 18．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有． (1)如图1，若，则和的位置关系是______； (2)如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式； (3)在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数． 19．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，求的长． 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 21．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，四边形中，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)判断之间的数量关系，并证明； (3)若，，求和的面积之和． 22．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 23．（19-20七年级下·广东佛山·期末）如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与全等，此时吗？请说明理由． (2)将图（）中的“，”为改“”后得到如图（），其他条件不变．设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值． (3)在（）成立的条件下且、两点的运动速度相同时，______．（直接写出结果） 24．（23-24八年级上·广东东莞·期中）在四边形中，，，分别平分和． (1)若，求的度数； (2)证明：． 25．（17-18八年级上·广东·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)如图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 期中解答题必刷真题 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，于点，点在上，且，是的中点，连接并延长，在的延长线上有一点，连接，且.    (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）根据题中条件通过即可证明； （2）延长到点G，使得，连接，根据条件证明，从而得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ （2）证明：延长到点G，使得，连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 是中， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）完成下列各题 (1)如图1，，点在上，且，则的度数为______； (2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点． ①求证：垂直平分线段； ②若的面积为8，，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析，的长为2 【分析】（1）先设出的度数，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可； （2）①先证明，再证明，可得，从而可得结论；②由的面积的面积，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线段． ②∵的面积为8，，，， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为2． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练的利用角平分线的性质解题是关键． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在四边形中，，，，，，．如果点P由B点出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿方向向点B匀速运动，它们的速度均为，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：     (1)设的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质． （1）当P、Q两点同时停止运动时，点P和点C重合，得出，进而得出，令点C到的距离为，根据三角形面积公式，即可解答； （2）根据等边三角形的判定定理“含有60度角的等腰三角形是等边三角形”，列出方程求解即可； （3）根据“含有30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当P、Q两点同时停止运动时，点P和点C重合， 此时， ∴， ∴， 令点C到的距离为h， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，为等边三角形， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 4．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关的知识 （1）根据角平分线的定义求的度数，利用垂线和三角形内角和定理求解即可； （2）利用角平分线和垂线的性质准备条件，根据证明，利用全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 5．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，中，，是边上的中线，以为边向外作等边，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)在（）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据等腰三角形三线合一的性质即可求证； （）先由，求出，再根据是等腰三角形即可求出即可求出； （）在上取一点，使得，即可得出是等边三角形，易证，，则，由（）知，即可解答； 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）∵，是边上的中线， ∴； （2）∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）在上取一点，使得， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：， (1)若与关于y轴对称，请写出点的坐标（直接写答案）： ； ； ； (2)的面积为 ； (3)在y轴上画出点P，使最小． 【答案】(1) (2)6.5 (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的对称变换、三角形的三边关系，理解掌握点的坐标的对称变换是解题关键． （1）根据点关于y轴对称的性质“横坐标变为相反数，纵坐标不变”即可得； （2）三角形面积矩形面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）由题意可得y轴是线段的垂直平分线，则，因此；又根据三角形的三边关系得，所以当三点共线时，最小，且最小值为． 【详解】（1）解：根据点关于y轴对称的性质得：， 故答案为：； （2）如图可知， ， 则， 故答案为：6.5； （3）解：由题意可得y轴是线段的垂直平分线，则， 因此， 由三角形的三边关系得， 故当三点共线时，最小，且最小值为， 连接，与y轴的交点即为所求点P（如图所示）． 7．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图1，点A、D在在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，，，，． (1)求证：； (2)如图2，点E为上一点，且，证明：； (3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质得到，再利用角平分线的定义得到，进而证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）过D作于M，先根据角平分线的性质得到，再证明，得到，由已知得到，进而求得，再根据线段垂直平分线的性质得到结论； （3）在x轴负半轴取，分别证明和，得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴，即； （2）证明：如图2，过D作于M，则， ∵平分，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，又， ∴，又， ∴垂直平分， ∴； （3）解：， 证明：如图3，在x轴负半轴取，则， ∵平分，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（23-24八年级下·广东江门·期中）已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为或时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵在中，，， ， ∴要使是等边三角形，则有， 由题意得：，，则， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时对应的值为； （3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ， 由题意得：，，则， 是直角三角形， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得：， 综上所述，当为或时，是直角三角形． 9．（22-23八年级下·广东惠州·期中）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，已知点的坐标为，且． (1)求的长度； (2)如图2，以为一边作等边三角形，过点作，交的垂直平分线于点，交轴于点，连接．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于．求证：为的中点． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形直接求出； （2）先判断出是等边三角形，再用是等边三角形，得出，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，进而求出，即可判断出，进而利用勾股定理求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：点B的坐标为， ， 在中，， ； （2）如图（2）， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （3）在图（2）中， 是等边三角形，是的垂直平分线， ， 在中，， ， 是等边三角形， ， 如图（3），过点D作交于N， 在中，， ， ， 解得：（负数舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ∴点F是的中点． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解本题的关键． 11．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． (1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)试求何时是直角三角形？ (3)如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1) (2)当为或时； (3)不变，． 【分析】（）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； （3）不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 12．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且，延长至点，使，点为轴正半轴上一动点，点在上，且，交于点． (1)求证： (2)求证：定值 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是点的坐标与图形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质， （1）先求出，再由三角形外角的性质得到，，据此可证明 （2）在轴上作点，使，连接，则为等边三角形，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，再根据等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， 由三角形的外角的性质可得， ， ； （2）证明：在轴上作点，使，连接， ，， ∴ ∴， 又∵， ∴垂直平分， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ， ， 为定值． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：由（1）知：， ∵， ∴， ∴的周长为． 答：的周长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 14．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等边三角形得到，进而由等边三角形的判定即可求证； （）首先推导出，然后利用即可证明； （）证明，可得，，进而得到，可得为等边三角形，即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知在中，，，D为的中点，设点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q在线段上由C点向A点运动． (1)若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后与是否全等？并说明理由； (2)若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有与全等？ (3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿的三边逆时针运动，经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)全等，见解析 (2) (3)秒，点P与点Q在上第一次相遇 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由题意列出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为的中点， ， 又，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）解：点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与不是对应边， 即， ，且， 则， 点P，点Q运动的时间， ， （3）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得， 解得， 点P运动， ， 点P与点Q在上第一次相遇． 16．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 17．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，已知，，，点P为线段上一动点（不包括点O），交x轴于点D，当P点运动时： (1)求证：； (2)求证：； (3)下列两个结论：①的值不变；②的值不变，选择正确的结论求其值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的值不变，是8 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出是解此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，根据即可求出； （2）过作轴于，轴于，则，求出，根据推出即可； （3）求出，，根据全等得，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明：轴轴，， ， ， ， ； （2）证明：过作轴于，轴于，      则， ， ， 在和中， ， ∴， ； （3）的值不变， ，，， ，， ，   ， ， 的值不变，是8． ，点P是动点， 的值会变． 18．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有． (1)如图1，若，则和的位置关系是______； (2)如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式； (3)在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，结合题意判定，根据全等三角形的性质得出，即可判定； （2）根据全等三角形的性质及题意得到，再利用三角形内角和定理及三角形外角性质即可得解； （3）根据三角形外角性质、平行线的性质及题意即可得解． 【详解】（1）证明：，过程如下 ， ， 在和中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， 由（2）得，， ， ． 19．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）先由求得，再根据全等三角形的对应边相等证明，则． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是4． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键． 20．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，四边形中，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)判断之间的数量关系，并证明； (3)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，即可得出结论； （）证明得到，再根据（）所得即可得出结论； （）根据，求出梯形与的面积即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴平分； （2）解：，证明如下： 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 22．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 23．（19-20七年级下·广东佛山·期末）如图（），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与全等，此时吗？请说明理由． (2)将图（）中的“，”为改“”后得到如图（），其他条件不变．设点的运动速度为，当点、运动到某处时，有与全等，求出相应的、的值． (3)在（）成立的条件下且、两点的运动速度相同时，______．（直接写出结果） 【答案】(1)垂直，理由见解析； (2)，或，； (3)． 【分析】（1）利用证得≌，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由≌，分两种情况：，，，，建立方程组求得答案即可； （3）根据题意得、两点的运动速度为，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【详解】（1）时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2）存在的值，使得与全等， 若，如图(2)①， 则，，可得：，， 解得：，； 若，如图(2)②， 则，，可得：， 解得：，； （3）∵、两点的运动速度相同， ∴、两点的运动速度为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵ ∴，， ∴． 故答案为：． 24．（23-24八年级上·广东东莞·期中）在四边形中，，，分别平分和． (1)若，求的度数； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，四边形内角和． （1）根据角平分线的定义可求的度数，根据四边形内角和为可求的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）根据与互补，得出与互余，根据，得出与互余，进而得到，并得出结论． 【详解】（1）解：∵、分别平分和，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分交于点E，平分交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 25．（17-18八年级上·广东·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)如图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3， 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$