精品解析：黑龙江省哈尔滨市风华中学校2024-2025学年八年级上学期9月测试数学试卷

9月数学测试卷 一、选择题（每题3分，共27分） 1. 下列图案中，不是轴对称的图形有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、 ，故选项不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； D、 ，故选项符合题意； 故选：． 3. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称； B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C. 等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形； D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形和轴对称图形的关系、等腰三角形的对称轴、线段的对称轴分别进行判断即可． 【详解】解：A、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某直线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意； B、如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，故选项正确，符合题意； C、等腰三角形是关于底边中线所在直线，即底边的垂直平分线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意； D、线段是关于经过该线段中点且与线段垂直的直线，即线段的垂直平分线成轴对称的图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形和轴对称图形的关系、等腰三角形的对称轴、线段的对称轴等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4. 下列判断正确的是（ ） A. 点与点关于x轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于x轴对称 D. 点与点关于y轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x，y轴对称的点的坐标规律逐项判断即可． 【详解】解：A.点与点关于y轴对称，错误； B.点与点关于原点对称，错误； C.点与点关于x轴对称，正确； D.点与点关于x轴对称，错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了关于x，y轴对称的点的坐标规律，两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 5. （n取正整数）的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，需要注意是偶数，所以计算结果是正数． 根据幂的乘方的性质：底数不变，指数相乘；计算即可． 【详解】解：（n取正整数）， 故选：D． 6. 在中，，，则的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则，，故，继而即可求解面积． 【详解】解：过点作于点， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，继而得到，，即可得解．掌握等角对等边是解题的关键． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段的长为． 故选：C． 8. 如图所示，为等边三角形，于R，于S，则四个结论正确的是　　 点P在的平分线上； ②； ③； ． A. 全部正确 B. 仅和正确 C. 仅正确 D. 仅和正确 【答案】A 【解析】 【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故（2）正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边对的中位线，有，故（3）正确，又可推出，故（4）正确． 【详解】∵于R，于S ∴ ∵ ∴ ∴，故（2）正确， ∴是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确； ∴是边上的高和中线，即点P是的中点， ∵， ∴点Q是的中点， ∴是边对的中位线， ∴，故（3）正确； ∵ ∴，故（4）正确； ∴全部正确． 故选A． 【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质求解． 9. 已知：，分别以、为边等边和等边，、交于点，则下列结论中：①；②；③平分；④．（ ） A. 全部正确； B. 仅①②③正确； C. 仅①②④正确； D. 仅①和②正确 【答案】C 【解析】 【分析】证明，即可判定①正确；由推出，再利用三角形的外角性质，即可判定②正确；过分别作，，证明，由角平分线的判定定理，即可判定④正确；假设平分，推出，得到，与已知相矛盾，可判定③错误． 【详解】解：和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ；故①正确； ， ， ， ；故②正确； 如图，过分别作，，分别交、于点、， ， ， ，，， ， 点在的角平分线上， 平分， ， ， 且， ， 同理， ，故④正确； 假设平分， ， ， ， ，， ， ， ， ，故③错误． 正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共27分） 10. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 在中，，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 12. 若，，则___________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法的逆运算即可得出答案． 【详解】解：∵， 故答案为：28． 13. 已知等腰三角形两个内角度数比是，则其顶角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分两种情况：①顶角与底角的比是；②顶角与底角的比是，分别表示出顶角和底角，再根据“三角形的内角和为”建立方程求解即可．掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键． 【详解】解：①顶角与底角的比是， 设等腰三角形的三个角分别为、、， ∴， 解得：， ∴此时顶角的度数为； ②顶角与底角的比是， 设等腰三角形的三个角分别为、、， ∴， 解得：， ∴， ∴此时顶角的度数为； 综上所述，其顶角的度数是或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，，垂直平分于E，交于D，且，则___________． 【答案】##44度 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 设，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 则， 解得，， 则， 故答案为：． 15. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键熟练掌握各种运算的特点． 将原式化为，继而得到即可求解． 【详解】解： ． 16. 如图，和均为等边三角形，，则___________． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，根据等边三角形的性质，，，证明，得，设，根据三角形内角和即可求解．熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵和均为等边三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为___________． 【答案】##12厘米 【解析】 【分析】如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、，根据两点之间线段最短，周长的最小值等于的长，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得． 【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、， ∴，，，，， ∴， 当点与点重合、点与点重合时，即、、、四点共线取“”，此时周长取得最小值，最小值为的长， ∵，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点．确定周长的最小值是解题的关键， 18. 已知，如图，为等边三角形，D、G为边上两点，，连接、，，过点D作，交延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，证明，则，在中，，则，故，那么，继而． 【详解】解，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识点，解决本题的关键在于． 三、解答题：（共计66分） 19. 计算： （1） （2）+ 【答案】（1）2x4 （2）6a8 【解析】 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后合并同类项计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，然后合并同类项计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】题目主要考查整式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 20. 如图，△ABC的三个顶点坐标为A（－4，4），B（－3，1），C(－1，2)． （1）将△ABC向右平移5个单位，得到△A1B1C1，画出图形，并直接写出A1的坐标； （2）作出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标． 【答案】 （1）如图，△A1B1C1为所求，点A1的坐标是（1,4） （2）如图，△A2B2C2为所求， 点C2的坐标是（4,-2） 【解析】 【分析】（1）把各顶点坐标向右平移5个单位，再依次连接即可，再根据直角坐标系写出A1的坐标； （2）画出△A1B1C1各顶点关于x轴对称的对应点，再依次连接即可，再根据直角坐标系写出C2的坐标. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查作图－平移与轴对称，解题的关键是根据平移与轴对称的性质找到对应点位置. 21. 已知n为整数，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴原式； 【小问2详解】 解：∵， ∴原式． 22. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥AB分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F． （1）求证：CE＝CF； （2）若BD＝CE，AB＝8，求线段DF的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°， ∵DE∥AB ∴∠DEC=∠EDC=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠CEF=90°－∠DEC＝30°，∠F=90°-∠EDC=30°， ∴∠F=∠CEF ∴CE＝CF （2）12 【解析】 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形得到∠ABC=∠A=∠ACB=60°，根据DE∥AB得到∠DEC=∠EDC=60°，故∠CEF=30°，∠F=90°-∠EDC=30°，则∠F=∠CEF，问题得证； （2）先证明△DCE为等边三角形，根据BD＝CE=CD，故BD=BC，CF=CE=CD=BC=AB，故可求解. 【详解】（1）略 （2）∵∠DEC=∠EDC=60° ∴△DCE为等边三角形， ∵BD＝CE=CD， ∴BD=BC， ∴CF=CE=CD=BC=AB=6， ∴DF=CF+DC=12. 【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定定理与性质定理. 23. 如图，点D、E在的边上，． 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点E在的垂直平分线上，，直接写出图中所有等腰三角形（不包括）． 【答案】（1） 证明：∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠ADB=∠AEC， ∵BD=CE， ∴△ABD≌△ACE， ∴； （2）△ABC、△ACE、△ABD、△ABE、△ACD 【解析】 【分析】（1）证明△ABD≌△ACE，即可得到结论； （2）根据等腰三角形的定义依次判断． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵△ABD≌△ACE， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵点E在的垂直平分线上， ∴AE=CE， ∴△ACE是等腰三角形， ∴∠CAE= ∵，∠B=∠C， ∴∠B=∠BAD=， ∴△ABD是等腰三角形， ∵∠BAC=180°-∠B-∠C=108°， ∴∠BAE=∠CAD=72°， ∵∠ADE=∠AED=72°， ∴△ABE、△ACD都是等腰三角形 故等腰三角形有：△ABC、△ACE、△ABD、△ABE、△ACD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段 垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定及性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键． 24. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； （2）理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，过点作，交的延长线为， 和均为等腰直角三角形， ，，，． ． 在和中， ， ． ，， ，， ， 与为偏等积三角形； （3）修建小路的总造价为元． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）过点作，交的延长线为，先证明，则，，依据三角形的面积公式可知，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论； （3）过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为，由题意可得，由可证得，则米，根据的面积为1500平方米，可得米，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1中， 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为， ， ，四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，， ， ， 米， 的面积为1500平方米， ， 米， （米）， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点都在坐标轴上，，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，，点在上，连接，若，，求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，以为腰作等腰直角，线段与线段交于点．求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，即可得解； （2）过点作于点，设，则，证明平分，得，证明平分，得，推出，得，在中根据勾股定理得，即可得解； （3）过点作轴于点，作轴于点，根据勾股定理得，，根据等腰直角三角形推出 ，，∴，证明，得，最后根据，求出，可得结论． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 过点作于点，设，则， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∵，，，， ∴，， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点．掌握等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月数学测试卷 一、选择题（每题3分，共27分） 1. 下列图案中，不是轴对称的图形有（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称； B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形； C. 等腰三角形是关于一边中线成轴对称的图形； D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4. 下列判断正确的是（ ） A. 点与点关于x轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于x轴对称 D. 点与点关于y轴对称 5. （n取正整数）的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 0.5 7. 如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，为等边三角形，于R，于S，则四个结论正确的是　　 点P在的平分线上； ②； ③； ． A. 全部正确 B. 仅和正确 C. 仅正确 D. 仅和正确 9. 已知：，分别以、为边等边和等边，、交于点，则下列结论中：①；②；③平分；④．（ ） A. 全部正确； B. 仅①②③正确； C. 仅①②④正确； D. 仅①和②正确 二、填空题（每题3分，共27分） 10. ___________． 11. 在中，，，，则___________． 12. 若，，则___________． 13. 已知等腰三角形两个内角度数比是，则其顶角的度数是___________． 14. 如图，在中，，垂直平分于E，交于D，且，则___________． 15. 计算的结果是___________． 16. 如图，和均为等边三角形，，则___________． 17. 如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为___________． 18. 已知，如图，为等边三角形，D、G为边上两点，，连接、，，过点D作，交延长线于点E，F为延长线上一点，连接，且，若，，则___________． 三、解答题：（共计66分） 19. 计算： （1） （2）+ 20. 如图，△ABC的三个顶点坐标为A（－4，4），B（－3，1），C(－1，2)． （1）将△ABC向右平移5个单位，得到△A1B1C1，画出图形，并直接写出A1的坐标； （2）作出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标． 21. 已知n为整数，且． （1）求的值； （2）求的值． 22. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥AB分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF⊥DE，交线段BC的延长线于点F． （1）求证：CE＝CF； （2）若BD＝CE，AB＝8，求线段DF的长． 23. 如图，点D、E在的边上，． 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点E在的垂直平分线上，，直接写出图中所有等腰三角形（不包括）． 24. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； （2）理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 25. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点都在坐标轴上，，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，，点在上，连接，若，，求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，以为腰作等腰直角，线段与线段交于点．求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $