特训06 期中解答压轴题 （江苏精选，四大模块，十一大题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训06 期中解答压轴题 （四大模块，十一大题型） 目录： 模块1：全等三角形（题型1：截长补短法） 模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法） 模块1：全等三角形（题型3：情景探究题） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题） 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线） 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题） 模块1：全等三角形（题型1：截长补短法） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______； (2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法） 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 模块1：全等三角形（题型3：情景探究题） 4．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明） 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接． (1)如图1，当点分别在边和上时，连接， ①判断的形状，并说明理由； ②写出、和的关系，并说明理由； (2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由； (3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法） 6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知为等腰三角形，，点P在线段上（不与B、C重合），以为腰作等腰直角，如图1，过Q作于E． (1)求证：； (2)连接交于M，探究线段与线段之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2．过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点D．连接．当点P在线段上运动时（不与B、C重合）．式子的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说明理由． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题） 8．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线） 10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，          (1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长． 13．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．    (1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； (2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q． 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题） 14．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验． 【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作． 如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______． 【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接， （1）请完成小明的证明过程； （2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______． 【思维拓展】 如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______． 15．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】 三角形纸片，，，点是底边上一点． 【换作探究】 (1)如图，若，，连接，求的长度； (2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长； (3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长． 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题） 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．     D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （3）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （4）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）解决问题常常需要最近联想，迁移经验，例如研究直角三角形边的关系时需要想到…… 【经验积累】 （1）如图①，中，，，则与的数量关系为_____．    【问题解决】用问题（1）中结论解决以下问题    （2）如图②，中，，，，求的长； （3）如图③，中，，，，，求长； 【拓展提升】 （4）如图④，中，，，，，，则______．    19．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题） 20．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期中解答压轴题 （四大模块，十一大题型） 目录： 模块1：全等三角形（题型1：截长补短法） 模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法） 模块1：全等三角形（题型3：情景探究题） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法） 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题） 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线） 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题） 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题） 模块1：全等三角形（题型1：截长补短法） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______； (2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质和线段的和差关系进行求解即可； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，推出，，，可求得；二是点在线段上，设，则，推出，得到，，所以，即可． 【解析】（1）解：，， ， ，， ， 又，， ， ，， ， ∴， ∴， ∵ ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在线段的延长线上时，连接交直线于，过点作，交的延长线于， ， ， 设，则，， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点作， 同理可得：， 设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式，线段的和差关系，难度较大，属于压轴题，解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)仍成立，理由见解析 (3)210海里 (4)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则． （4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【解析】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，延长、交于点，如图3，   ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合（2）中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． （4）解：结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，   ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 模块1：全等三角形（题型2：倍长中线法） 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【解析】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 模块1：全等三角形（题型3：情景探究题） 4．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）是，理由见解析 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点为中点时，与面积相等，但此时与不全等，所以，与是偏等积三角形，则，于是得到答案； （2）先由与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，则，而是正整数，则； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点，交的延长线于点，可证明，得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形． 【解析】解：（1）如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当，与面积相等， ，， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为：． （2）如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3． （3）与是偏等积三角形， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点，交的延长线于点，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【点睛】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型4：传统几何解答证明） 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接． (1)如图1，当点分别在边和上时，连接， ①判断的形状，并说明理由； ②写出、和的关系，并说明理由； (2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由； (3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______． 【答案】(1)①是等腰直角三角形，理由见解析；，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)5或17 【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造全等三角形成为解题的关键． （1）①如图：连接，再证明可得即可判断的形状； ②根据，再结合图形即可解答； （2）如图：连接，即同（1）可证明，根据的性质结合图形即可解答； （3）根据（1），（2）中的结论，代入相关数据求解即可． 【解析】（1）解：①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． ②，理由如下： ∵ ， ∴， 根据图中所示，， ∵为边的中点， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， 根据图中所示可得：， ∵为边的中点， ∴， ∴． （3）解：①如（1）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； ②如（2）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴ 故答案为：5或17． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型5：截长补短法） 6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在中，，，，点D为外一点，且在右侧，上方，，连接，作，交于点F， (1)图1中与相等的角是________； (2)如图2，延长与射线相交于点E， ①求的度数； ②过点F作的平行线，交于点G，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质． （1）先证明，在和中，，，即可解答； （2）①由（1）证明是等腰直角三角形，即可解答； ②过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M，证得，进而证得是等腰直角三角形，，即可解答． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设、交于点Q， 在和中，，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点B作交的延长线于N，连接，过点B作交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知为等腰三角形，，点P在线段上（不与B、C重合），以为腰作等腰直角，如图1，过Q作于E． (1)求证：； (2)连接交于M，探究线段与线段之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2．过点Q作交的延长线于点F，过点P作交于点D．连接．当点P在线段上运动时（不与B、C重合）．式子的值会变化吗？若不变，求出该值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见解答过程 (3)式子的值不会变化， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识． （1）根据题意得到，，，进而得到，即可证明 ； （2）根据得到，，进而证明，得到，即可证明，从而证明； （3）作交于点，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到． 【解析】（1）证明：∵△为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角△，于． ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：；理由如下： ∵， ，， ∵， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ， ； （3）解：式子的值不会变化，， 理由如下： 如图所示：作交于点， ∵，，， ，， ， ∵为等腰直角三角形， ， 在△和△中， ， ， ，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， ． 模块2：全等三角形、等腰三角形综合（题型6：定值问题） 8．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知中，，，为边上一点，点在延长线上，连接． (1)如图1，已知，，当时，求的面积； (2)如图2，过点作的垂线，分别交于点，过点作交于，连接，求的度数； (3)如图3，当点在上运动，且始终为时，过点作，垂足为，则的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若发生改变，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不发生改变，2 【分析】（1）由，，可得，由，可得，计算求解即可； （2）由，可得，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，证明，则，进而可得是等腰直角三角形，； （3）如图，作交于点，同理（2）可证，，则，是等腰直角三角形，是的中点，，由，进而可求得，然后作答即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，作交于点， 同理（2）可证，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ∴的值不发生改变，值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中线与面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)①10；②或 (2)的度数不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】 （1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案； （2）由，得，，则，所以的度数不变． （3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以． 【解析】（1）解：①如图（1），连接， ，， ， ， ， 线段的最大值为10， 故答案为：10． ②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ； 如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：或． （2）的度数不变， 理由：，，，且与重合， ， ，， ， ， 的度数不变． （3）， 证明：如图（3），在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型7：角平分线中作垂线） 10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1)①见解析；②1 (2)①；② (3)2或6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【解析】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 模块3：全等三角形、等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线综合（题型8：截长补短法） 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化． 数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，则___________． (3)如图3，小慧在的延长线上取一点，连接交延长线于点，延长到，连接交延长于点，测量发现，探究线段与的数量关系； 【答案】(1)，证明见解析； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证； （2）设，则，根据折叠的性质，，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，列出方程，即可求解； （3）延长至，连接，使得，证明，即可得证． 【解析】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴， ∴， 故答案为：； （3），证明如下， 如图所示，延长至，连接，使得 ∵ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，          (1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及垂直平分线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质及各角之间的关系即可证明； （2）在上截取，连接，根据各角之间的关系及等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长至点M，使，证明，可得，，可由得出结果． 【解析】（1）解：，理由如下： 如图1，过点D作于点G，于点H，    ∵的垂直平分线与角平分线的交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接，    由（1）知， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）知，如图3，延长至点M，使，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定与性质；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 13．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．    (1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； (2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q． 【答案】(1)， (2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解． 【解析】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接，   ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． ∵等边的周长为L， ∴， 的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型9：折叠问题） 14．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验． 【初步感知】数学课上，同学们用纸片进行折纸操作． 如图①，在中，，，．将沿着翻折，使点A落在AB边上的处，且，则______，______． 【方法探索】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 小明遇到这样一个问题：如图②，在中，，，平分，求证：．小明的思路如下：如图③，将沿翻折，使点落在边上的处，连接， （1）请完成小明的证明过程； （2）如图④，是边上的高线，其他条件不变，请你用刚刚获得的方法探索、、之间的数量关系，并直接写出它们之间的数量关系______． 【思维拓展】 如图⑤，在中，，，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上：再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，则线段的长为______． 【答案】[初步感知]，； [方法探索]（1）见证明：（2）． [思维拓展]． 【分析】[初步感知]根据轴对称的性质即可求得，，进一步即可求得，； [方法探索]（1）由，，得，由翻折得，，，则，所以，于是； （2）按照（1）的解题思路求得即可； [思维拓展]由和关于对称，和关于对称，可以推出是等腰直角三角形，由勾股定理，三角形面积公式可求出，长，从而可以解决问题． 【解析】[初步感知] 解：将沿着翻折，使点落在边上的处，且，则，， ，， 故答案为：，； [方法探索] （1）证明：如图③，将 沿翻折，使点落在边上的处， 由翻折得，，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图④， 由翻折得，，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 思维拓展 解：由题意可知：和关于对称，和关于对称， ，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘． 【纸片规格】 三角形纸片，，，点是底边上一点． 【换作探究】 (1)如图，若，，连接，求的长度； (2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长； (3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）作于，求得，从而得出，，进而得出，进一步得出结果； （2）当时，连接，作于，依次得出，，，，，，从而，进一步得出结果；当时，设交于点交于，可推出，，从而，进一步得出结果；当时，可推出，从而，进一步得出结果； （3）可推出和及是直角三角形，且，，，进一步得出结果． 【解析】（1）解：如图1， 作于， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：如图2， 当时，连接，作于， 由翻折得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：，， ； 如图3， 当时，设交于点交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图4， 当时， ， ， ， ， ， 综上所述：或或； （3）解：如图5， ∵，， ，， ， ， ， 将沿所在直线翻折得到， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型10：情景探究题） 16．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． (1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程． (2)探索延伸： 如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． (3)能力提高： 如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)24 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形． （）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可． 【解析】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、． ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴ ∴，， ∴． 故答案为：24． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是____________． A．    B．    C．     D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （3）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （4）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）A（2）（3）（4） 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连接，证明，得到，根据勾股定理解答． 【解析】问题情境： 解：（1）在和中， ， ， 故选：A； （2）由（1）得：， ， 在中，，即， ， 故答案为：； （3）解：延长到M，使，连接，如图②所示： ， ， 是中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：线段之间的等量关系为：．理由如下： 延长到点G，使，连接，如图③所示： ， ， ∵D是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）解决问题常常需要最近联想，迁移经验，例如研究直角三角形边的关系时需要想到…… 【经验积累】 （1）如图①，中，，，则与的数量关系为_____．    【问题解决】用问题（1）中结论解决以下问题    （2）如图②，中，，，，求的长； （3）如图③，中，，，，，求长； 【拓展提升】 （4）如图④，中，，，，，，则______．    【答案】（1）；（2）；（3）；（4）10 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理，则，再利用勾股定理可得出答案； （3）设，含角的直角三角形的性质得，由，，可知，进而可知，结合，求出即可得出答案； （4）过点作，使得，得等腰直角，证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的外角的性质得，求得，延长交于，证出，由勾股定理可得出答案． 【解析】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）过点A作于D，则，    中，∵，， ∴ 则： 中， ∴ （3）设， ∵， ，则， ∴则， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴．    （4）如图所示，过点C作，使得，得等腰直角，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 三角形的外角的性质可得： ， 延长交于，，    则，在中，，， ∴，则， ∵， ∴， 中，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，勾股定理，熟记直角三角形的性质及三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1)3 (2)2或3 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论. 【解析】（1）如图中，在上截取， 中，， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 模块4：勾股定理在前两章的应用（题型11：三点共线的最值问题） 20．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，等边中，于点，为线段上一动点不与、重合，连接、，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于，连接． ①直接写出的度数为______； ②求证：是的垂直平分线． (3)动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当到达点时，立即以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时运动停止．为使能最短时间到达处，若，运动所需的总时间为，直接写出的最小值是多少，并标出此时的位置，用表示． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）由“”可证，可得结论； （2）①由等边三角形的性质可得垂直平分，，通过证明垂直平分，可得，由直角三角形的性质可求解； ②由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，可得结论； （3）由题意可得，即当、、三点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【解析】（1）证明：为等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转 得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）①解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 又， ， ， 故答案为：； ②解：为等边三角形，， 垂直平分，， ， ， ， ，， 垂直平分； （3）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值为，即的最小值为的长，此时，与的交点即为的位置， 此时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$