特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 2．如图，已知平分，．求证：． 3．如图，点、在上，，，．求证：． 4．如图，四边形的对角线相交于点E，，．求证：． 5．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 6．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 7．如图，已知，，，请你判断与的关系，并说明理由． 8．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．    9．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 10．如图，，求证：． 11．已知：如图，是的高，是上一点．，，求证：    (1) (2) 12．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 13．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 14．在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 15．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 16．（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 17．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 18．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 19．如图，在四边形中，，，点E在上，且满足，求证：． 20．如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 21．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 22．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 23．学习《利用三角形全等测距离》后，“数学实践活动”小组同学就“测量水潭两侧，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： 测量方案： （1）如图，在地面上找能够直接到达，两点的点， （2）沿着向前走到点处，使得， （3）沿着向前走到点处，使得， （4）测出、两点之间的距离． 测试数据：米． 问题解决：“数学实践活动”小组同学根据测量方案得到米．你同意“数学实践活动”小组同学的结论吗？请说明理由． 24．如图，在中，O为中点，，直线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为、．    (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 26．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 27．根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 28．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：； (2)试判：与的关系？并说明理由． 29．（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    30．（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 31．（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 32．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 全等三角形 解答题（含基础+重点+压轴） 一、解答题 1．如图，点D在上，点E在上，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 2．如图，已知平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据平分，可得，再根据边角边可证明． 【解析】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 3．如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质．由平行线的性质得出，证明．由全等三角形的性质得出． 【解析】证明：， ， 在和中， ， ． ， ， ． 4．如图，四边形的对角线相交于点E，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明，即可证明． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行性的性质及全等三角形的判定，根据题意得出，，，再由全等三角形的判定即可证明． 【解析】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，点，在线段上，，，，试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定： （1）利用证明即可； （2）根据，推出，即可得出结论． 【解析】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 即． 因为． 所以 （2）由（1）知； 所以． 因为， 所以． 所以． 7．如图，已知，，，请你判断与的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，从而可得结论； 【解析】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴，，， ∴， ∴． 8．如图，，是上两点，且，，点，，在同一直线上，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，即可得到，进而得到． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． 9．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等证明与应用．由证得，再根据全等三角形的性质得出结论． 【解析】证明：连接， 在与中， ， ， ． 10．如图，，求证：． 【答案】见解答 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可． 【解析】证明： 在和中， ， ∴． 11．已知：如图，是的高，是上一点．，，求证：    (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）由（1）可知，得出，再根据，得出，从而得出，即可证出． 【解析】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交上一点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    12．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【解析】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 13．如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．首先推导出，然后利用证得． 【解析】证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ． 14．在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求；    （2）∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 15．如图，点为和的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）根据题意添加的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到证明． 【解析】（1）解：添加的条件是． （2）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 16．（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分三角形的面积作图即可； （2）连接交于点Q，证明，得，再证明，然后根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据面积法求出的面积，再由三角形面积公式求出的长即可． 【解析】解：（1）如图①，设的中点为R， 则点O为所求作的点．理由如下： ∵点R为的中点， ∴， ∴和等底同高， ∴和的面积相等， 即平分的面积． （2）如图②，连接交于点Q， 则点Q为所求的点．理由如下： 由图②可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图③，为高， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 17．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【解析】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 18．已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键． 【解析】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ． （2）解：∵， ， ， ， 的周长是． 19．如图，在四边形中，，，点E在上，且满足，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据得，利用证明，即可得；掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 20．如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据，得到，由“”可证，可得． 【解析】证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 21．已知：如图，在中，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【解析】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2）． 证明如下：由（1）知， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 22．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到； （2）由全等三角形的性质得到，，又，即可证明，得到，于是． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由推出，，由证明，得到． 【解析】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ∴， ， ． 23．学习《利用三角形全等测距离》后，“数学实践活动”小组同学就“测量水潭两侧，两点间距离”这一问题，设计了如下方案： 测量方案： （1）如图，在地面上找能够直接到达，两点的点， （2）沿着向前走到点处，使得， （3）沿着向前走到点处，使得， （4）测出、两点之间的距离． 测试数据：米． 问题解决：“数学实践活动”小组同学根据测量方案得到米．你同意“数学实践活动”小组同学的结论吗？请说明理由． 【答案】同意，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．证明即可得米． 【解析】解，同意．理由如下： 在和中． 所以， 所以米． 因此水潭两侧，两点间距离就是线段的长12米． 24．如图，在中，O为中点，，直线交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为中点，可得，再由平行线的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可． 【解析】（1）证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 25．如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为、．    (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件结合图形灵活选用恰当的方法证明三角形全等是解题的关键． （1）利用已知得出，进而利用得出即可； （2）由，可得出，继而利用线段的和差即可得到结论． 【解析】（1）∵，， 又， ，， ，， ， 在和中， ， ∴； （2）．理由如下： 由（1）得： ∴，， ， ． 26．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)求证：； (2)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)t的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由证明，得，即可得出结论； （2）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出t即可． 【解析】（1）证明∶ 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解∶ 由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 27．根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：．    证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【解析】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以， 所以， 在与中 所以； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 28．如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：； (2)试判：与的关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）易证，又，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先证，得出，，再由，，则，即可得出结论 【解析】（1）证明：，， ， ，， ， ； （2）解：与的关系为：，，理由如下： ， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ． 29．（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解析】解：（1）∵直线m，直线m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 30．（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． 31．（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【解析】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 32．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$