3.3.2 第2课时 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）  

一元二次不等式的应用 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法. 2.能解决简单的一元二次不等式恒成立问题. 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. CONTENTS 目录 1 2 题型(一)　简单分式不等式的解法 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 课时跟踪检测 3 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 4 题型(一) 简单分式不等式的解法 01 　常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分,整理成一边为0的形式,再等价转化为整式不等式求解(设f(x)=ax+b,g(x)=cx+d),即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0;(2)<0⇔f(x)·g(x)<0; (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0; (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. [例1]　解下列不等式: (1)<0; 解：<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3,∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)≤1. 解：∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4, ∴原不等式的解集为. 　|思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 1.解下列不等式: (1)≥0; 解：不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤-1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. 针对训练 (2)<3. 解：不等式<3可改写为-3<0,即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 题型(二) 一元二次不等式 恒成立问题 02 (1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有 ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于 [例2]　对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围. 解：若m=0,显然-1<0恒成立; 若m≠0,则解得-4<m<0. 综上,m的取值范围为(-4,0]. 1.在本例中,是否存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解：不存在.理由:显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈∅,所以不存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0. 变式拓展 2.在本例中,把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围. 解：由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,因为x∈{x|2≤x≤3}, 所以x2-x>0,所以m(x2-x)<1可化为m<,因为x2-x=≤6, 所以,所以m<.即m的取值范围是. |思|维|建|模| 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑两个方面:x2的系数和对应方程的判别式的符号. (2)转化为二次函数的最值问题:分离参数后,求相应二次函数的最值,使参数大于(小于)这个最值. 2.已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4. (1)若对任意实数x,不等式恒成立,求实数m的取值范围; 解：若对任意实数x,不等式恒成立,即x2+mx-4x-m+4>0恒成立. 则关于x的方程x2+mx-4x-m+4=0的判别式Δ=(m-4)2-4(-m+4)<0, 即m2-4m<0,解得0<m<4,所以实数m的取值范围为(0,4). 针对训练 (2)若对于0≤m≤4,不等式恒成立,求实数x的取值范围. 解：不等式x2+mx>4x+m-4, 可看成关于m的一次不等式m(x-1)+x2-4x+4>0,又0≤m≤4, 所以 解得x≠2且x≠0,所以实数x的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞). 题型(三) 一元二次不等式的 实际应用 03 [例3]　某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; 解：由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]× 1 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当即解不等式,得0<x<, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围是. |思|维|建|模| 　　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式. 针对训练 3.如图所示,某学校要在长为8 m,宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种植花卉,花卉带的宽度相同,均为x m,中间种植草坪. (1)若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是多少? 解：由题意,中间草坪的长为8-2x>0,宽为6-2x>0,且x>0,中间草坪的面积为(8-2x)(6-2x),矩形土地的面积为6×8=48. 因为中间草坪的面积为矩形土地面积的一半, 所以解得x=1. 所以若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是1. (2)为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x的取值范围是多少? 解：因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半, 所以解得0<x<1. 所以花卉带的宽度x的取值范围是(0,1). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.不等式<0的解集为(　 ) A.{x|-1<x<2或2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2} 解析：原不等式⇔所以-1<x<3且x≠2. √ A级——达标评价 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0,4] D.[0,4] 解析：当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得0<a≤4,所以0≤a≤4. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(　 ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1) 解析：原命题是假命题,则其否定是真命题,即∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-1<a<3.故选B. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 (　 ) A. 　 B. C. 　 D. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立.所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<=2.所以x2-x+1<2,解得<x<.故实数x的取值范围是. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.“-3<m<1”是“关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0恒成立”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当m=1时,不等式(m-1)2x+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立,当m≠1时,则 解得-3<m<1,故m的取值范围为-3<m≤1. 故“-3<m<1”是“-3<m≤1”的充分且不必要条件. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析：由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6. [-2,6] 16 7.不等式≥5的解集是　　　　.  解析：原不等式⇔-5≥0⇔≤0⇔解得0<x≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为　　 　　.  解析：z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}. {t|10≤t≤15,t∈N} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1). (1)求a,b的值; 解：∵不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}(b>1), ∴1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a>0. ∴解得 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x>0,y>0,且满足=1时,有2x+y≥k2+k+2恒成立,求k的取值范围. 解：由(1)知且=1,∴=1. ∴2x+y=(2x+y)=4+≥8,当且仅当,即时,等号成立. ∴(2x+y)min=8.依题意,当x>0,y>0时,2x+y≥k2+k+2恒成立, ∴(2x+y)min≥k2+k+2,即8≥k2+k+2.∴k2+k-6≤0, 解得-3≤k≤2.∴k的取值范围为[-3,2]. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(8分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时. [注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)] 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式; 解：设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 解：依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%),且0.55≤x≤0.75,整理得解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m有解,则实数m的取值范围是(　 ) A.(-1,4) B.(-4,1) C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,+∞) √ B级——重点培优 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为x>0,y>0且4x+y=xy,所以=1.所以x+=2+≥2+2=4,当且仅当,即y=4x=8时,等号成立.所以m2+3m>4,即(m+4)(m-1)>0,解得m<-4或m>1.所以m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足 (　 ) A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若关于x的不等式x2-2x-3a-6≥2a2在[-3,5]内有解,则实数a的取值范围为　 　　　.  解析：因为x2-2x-3a-6≥2a2在[-3,5]内有解,即2a2+3a+6≤(x2-2x)max,其中x∈[-3,5].设y=x2-2x(-3≤x≤5),则当x=-3或x=5时,ymax=15,所以2a2+3a+6≤15,解得-3≤a≤,所以a的取值范围为. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.  解析：由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20. 20 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围; 解：(1)由已知得,200≥3 000, 整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0, 又因为1≤x≤10,可解得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10]. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 解：(2)设利润为y元,y=·100=9×104 =9×104,所以当x=6时,ymax=457 500元,即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 3 4 2 15 16.(10分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}. (1)求实数k的值; 解：由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根, 所以由根与系数的关系得 解得k=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围. 解：由(1)知,k=2,原不等式可化为x2-4x+9-m2+4m≥0, 所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4, 因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4, 即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,故实数m的取值范围为[-1,5]. 16 $$