第2章 2.1 第1课时 函数概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

2.1 函数概念 函数概念 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.了解构成函数的要素,会判断两函数是否为同一个函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数概念 逐点清(二)　同一个函数 逐点清(三)　求函数的定义域 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数概念 01 多维理解 函数的定义及相关概念 定义 给定实数集R中的两个__________A和B,如果存在一个对应关系 f,使对于集合A中的_______数x,在集合B中都有__________的数y和它对应,那么就把__________称为定义在集合A上的一个函数 记法 ________,x∈A 定义域 _______称为函数的定义域,x称为_______ 值域 集合__________称为函数的值域,与x值对应的y值称为________ 非空数集 每一个 唯一确定 对应关系f y=f(x) 集合A 自变量 {f(x)|x∈A} 函数值 |微|点|助|解| 　对函数概念的理解 (1)定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一定是非空实数集B,而是集合B的子集; (2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应; (3)从对应的角度看,函数只有两种:一对一,多对一.一对多不是函数; (4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系; (5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)定义域与对应关系确定后,函数值域也就确定了. (　 ) (2)函数的定义域是无限集,则值域也是无限集. (　 ) (3)若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素. (　 ) (4)对于f(x)=5,x∈R,f(x)不随着x的变化而变化,所以f(0)=5也成立. (　 ) 微点练明 √ × √ √ 2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 (　 ) A.大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份) B.圆的周长与半径 C.正n边形的内角和与边数 D.月份与年 解析:因为月份对应的年份不确定,不符合函数的关系,故月份与年两个变量之间的关系不是函数关系. √ 3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是 (　 ) A.{y|-1≤y≤1} B.R C.{y|2≤y≤3} D.{-1,0,1} 解析:函数值只有-1,0,1,故值域为{-1,0,1}. x x<2 2≤x≤3 x>3 y -1 0 1 √ 4.(多选)下列函数的定义域是R的是 (　 ) A.y=x+1 B.y=x2 C.y= D.y=2x 解析:A中为一次函数,B中为二次函数,D中为正比例函数,定义域都为R;C中为反比例函数,定义域是{x|x≠0},不是R. √ √ √ 5.下列表示y关于x的函数的是 (　 ) A.y=+ B.y2=4x C.y= D.　 x 1 2 3 4 y 0 0 -6 11 √ 解析:对于A,由解得x∈∅,所以y不是x的函数;对于B,当x>0时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;对于C,当x=1时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;对于D,满足y是x的函数. 逐点清(二)　同一个函数 02 多维理解 同一个函数的概念 前提条件 (1)定义域______;(2)对应关系__________ 结论 这两个函数是同一个函数 相同 完全一致 |微|点|助|解| 　 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都分别对应相同,也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. 微点练明 1.下列各组函数表示相同函数的是 (　 ) A.f(x)=和g(x)=()2 B.f(x)=1和g(x)=x0 C.f(x)=|x|和g(x)= D.f(x)=x+1和g(x)= √ 解析:对于A,函数f(x)=的定义域为R,函数g(x)=()2的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于B,函数f(x)=1的定义域为R,函数g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于C,函数f(x)=|x|=与g(x)=的定义域和对应关系都相同,所以表示相同的函数;对于D,函数f(x)=x+1的定义域为R,函数g(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数. 2.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.f(x)=,g(x)=x-1 B.f(x)=,g(x)= C.f(x)=·,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x+3 √ 解析:对于A,定义域不同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数;对于B,对应关系不同,f(x)=,g(x)=,不是同一个函数;对于C,定义域、对应关系都相同,是同一个函数;对于D,对应关系不同, f(x)=|x+3|,g(x)=x+3,不是同一个函数. 逐点清(三)　求函数的定义域 03 [典例]　(1)函数y=的定义域为(　 ) A.(-∞,3] B.[0,3] C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3] 解析:由题设,得 解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2, 故x∈[0,2)∪(2,3]. √ (2)函数f(x)= -的定义域是　　 　　.  解析:由题意,得 解得x≥-1且x≠0. 故x∈[-1,0)∪(0,+∞). [-1,0)∪(0,+∞) |思|维|建|模|　已知解析式求函数的定义域的步骤 1.函数f(x)=-(x-3)0的定义域为(　 ) A.[2,+∞) 　B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) 　D.[3,+∞) 解析:由得x>2,且x≠3. 针对训练 √ 2.函数f(x)=-的定义域为　　　　.  解析:由题设,得解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1,+∞). [1,+∞) 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.下列说法正确的是 (　 ) A.函数的定义域可以是空集 B.函数的定义域和值域确定后,对应关系也就确定了 C.函数的定义域、值域都是非空的数集 D.函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:由函数定义知,定义域和值域都是非空的数集,故A错误,C正确;函数的定义域和值域确定后,可以有不同的对应关系,如y=|x|,y=x2,故B错误;函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.(多选)下列图形是函数图象的是 (　 ) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B、C、D均符合函数定义. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是 (　 ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 解析:根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.函数f(x)=的定义域为(　 ) A. B. C. D. 解析:要使f(x)有意义,只需满足即x≤且x≠0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形能表示以A为定义域,B为值域的函数的是 (　 ) 解析:A中值域为{y|0≤{1,2},故错误,故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.任给u∈[-2,0],对应关系f使方程u2+v=0的解v与u对应,则v=f(u)是函数的一个充分条件是 (　 ) A.v∈[-4,4] B.v∈(-4,2] C.v∈[-2,2] D.v∈[-4,-2] 解析:根据函数的定义,对任意u∈[-2,0],按v=-u2,在v的范围中必有唯一的值与之对应.因为u2∈[0,4],则-u2∈[-4,0],所以v的范围要包含[-4,0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对于A,前者定义域为R,后者定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;对于B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;对于C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;对于D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:根据对应关系为y=3x+1,知3×1+1=4,3×2+1=7,可得3×k+1=10.所以k=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点 (　 ) A.至少有1个 B.至多有1个 C.仅有1个 D.可能有无数多个 解析:当x在定义域内时,因为在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值f(x)与之对应,所以函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点;当x不在定义域内时,函数值f(x)不存在,函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.故函数 y=f(x)的图象与直线x=2 023至多有一个交点. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(多选)下列函数中,定义域为{x|x>1}的是 (　 ) A.y= 　　B.y= C.y=+(3x-3)0 　　D.y=(2x-2)0 解析:A选项,依题可知x-1≠0,且2x-2≥0,所以x>1,故A正确;B选项,依题可知x-1≥0,所以x≥1,故B错误;C选项,依题可知x-1≥0,且3x-3≠0,所以x>1,故C正确;D选项,依题可知2x-2≠0,所以x≠1,故D错误. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是(　 ) A.(-12,0) B.(-12,0] C. D. 解析:∵f(x)=的定义域为R,∴只需分母不为0即可,即ax2+ax-3≠0恒成立,①当a=0时,-3≠0恒成立,满足题意;②当a≠0时,Δ=a2-4a×(-3)<0,解得-12<a<0,综上可得-12<a≤0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.函数f(x)=的定义域是　　　　.  [0,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)求下列函数的定义域: (1)y=3-x; 解:函数y=3-x的定义域为R. (2)y=; 解:由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1. 又x+2>0,即x>-2,所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)y=; 解:要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x≤5,且x≠±3,所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)y=. 解:要使函数有意义, 则即 解得-1≤x<1.所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)对于三角形,你可能想到哪些量?如果一个三角形的周长不变,那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系?如果是函数关系,请写出函数关系式.你还能举出其他的函数例子吗? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:能想到三角形的边长和三个角的度数.内切圆半径与面积之间是函数关系,设三角形三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,三角形面积为S,则S=(a+b+c)r.设三角形周长为l,则l=a+b+c,故S=lr.另外对于一个三角形,若它的面积为定值,则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系,关系式如下:l=或r=. $$