第1章 板块综合 集合的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

板块综合　集合的综合问题 (阶段小结课—习题讲评式教学) 建构知识体系 融通学科素养 1.浸润的核心素养 关于集合概念,突出了对逻辑推理,数学运算和数学抽象等核心素养的考查;关于集合间的基本关系,体现了对数据分析和直观想象的核心素养的考查;关于集合的交、并、补集的考查,突出了数学建模,直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.渗透的数学思想 (1)数形结合思想:在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时,一般要借助数轴或Venn图求解,体现了数形结合的思想. (2)分类讨论思想:涉及集合包含关系或含参数的集合问题时,常常对集合是否为空集进行讨论,体现了分类讨论的思想. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合交、并、补混合运算 题型(二)　集合中的参数问题 题型(三)　Venn图的应用 4 题型(四)　集合中新定义问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　集合交、并、补混合运算 01 [例1]　(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)= (　 ) A.{x|x=3k,k∈Z}　　 B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.∅ √ 解析:法一　M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以∁U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A. 法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A. [例2]　已知全集U={x∈Z|-5<x≤4},A⊆U,B⊆U,且(∁UA)∩B={-2,3}, (∁UB)∩A={-4,4},A∩B=∅,求集合(∁UA)∩(∁UB). 解:全集U={x∈Z|-5<x≤4}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},A∩B=∅,则(∁UA)∩B=B={-2,3},(∁UB)∩A=A={-4,4},所以(∁UA)∩(∁UB)={-3,-1,0,1,2}. |思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 1.设全集U=R,集合A={x|4-x2≥0},B={x|x≤-1},则如图所示阴影部分表示的集合为 (　 ) A.(-1,2] B.[-1,2] C.[-2,-1) D.(-∞,-1] 解析:A={x|-2≤x≤2},∁UB={x|x>-1},易知阴影部分为集合A∩(∁UB)= (-1,2]. 针对训练 √ 2.(多选)已知集合M,N的关系如图所示,则下列结论正确的是 (　 ) A.M∩(∁RN)=∅ B.M∪(∁RN)=R C.(∁RM)∪(∁RN)=∁RM D.(∁RM)∩(∁RN)=∁RM √ √ 解析:由题图可知,M∩(∁RN)=∁MN≠∅,A错误;M∪(∁RN)=R,B正确; (∁RM)∪(∁RN)=∁R=∁RN,C错误; (∁RM)∩(∁RN)=∁R=∁RM,D正确. 题型(二)　集合中的参数问题 02 [例3]　集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 解:①当B=∅时,B⊆A,此时m+1>2m-1,解得m<2,②当B≠∅时,为使B⊆A,m需满足解得2≤m≤3,综上所述实数m的取值范围为{m|m≤3}. 变式拓展 1.若本例条件“B⊆A”变为“A∩B≠∅”,求实数m的取值范围. 解:先求A∩B=∅时,实数m的取值范围,再求其补集,当B=∅时,易知m<2, 当B≠∅时,为使A∩B=∅,m需满足或 解得m>4,综上知,当m<2或m>4时,A∩B=∅,所以若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}. 2.若本例条件变为“已知集合A=[2a+1,3a-5],B=[3,22]”.求能使A∩B=A成立的实数a的取值范围. 解:由A∩B=A,可知A⊆B,则解得6<a≤9,故实数a的取值范围为{a|6<a≤9}. 3.若本例条件“集合A={x|-2≤x≤5}”变为“A={x|x≤3或x>5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:若2m-1<m+1,即m<2时,B=∅,满足B⊆A. 若2m-1≥m+1,即m≥2时,要使B⊆A,只需或解得m=2或m>4. 综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2或m>4}. |思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 ①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答 针对训练 3.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或x>16},若A⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 解:因为A⊆(A∩B),而(A∩B)⊆A,所以A∩B=A,即A⊆B.当A=∅满足条件,此时2a+1>3a-5,即a<6.当A≠∅时,如图所示, 则或由解得a∈∅;由解得a>. 综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是. 题型(三)　Venn图的应用 03 [例4]　学校开运动会,某班45人,参加100 m跑的同学20人,参加200 m跑的同学20人,参加400 m跑的同学17人,既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人,既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人,既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人,都不参加的同学11人,则同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有 (　 ) A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 √ 解析:设同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有x人,作出Venn图如图所示, ∴3+x+2+x+2+x+10-x+7-x+8-x+x+11=45,解得x=2. |思|维|建|模| 　　解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上,有时适当的变通会让我们更好的解决问题.对于某些应用题,若能构造Venn图求解,可使问题变得简单明了,通过图示先将无形的东西转化成有形,再将有形的东西转化成方程去求解,使复杂的问题简单化. 针对训练 4.某社团有若干名社员,他们至少参加了A,B,C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人,参加B活动的有60人,参加C活动的有50人,数据如图所示,则图中a=　　　,b=　　　　,c=　　　　.  9 8　 10 解析:由题意得解得 题型(四)　集合中新定义问题 04 [例5]　设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 √ 解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示: 所以A·B中的元素共有10个.故选B. y x -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) |思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 针对训练 5.(多选)若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若{x,y}⊆A,则xy,x+y∈A,且当x≠0时,∈A,则称集合A是“紧密集合”.以下说法正确的是(　 ) A.整数集是“紧密集合” B.实数集是“紧密集合” C.“紧密集合”可以是有限集 D.若集合A是“紧密集合”,且x,y∈A,则x-y∈A √ √ 解析:A选项,若x=2,y=1,而∉Z,故整数集不是“紧密集合”,A错误;B选项,根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;C选项,集合 {-1,0,1}是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;D选项,集合A={-1,0,1}是“紧密集合”,当x=1,y=-1时,x-y=2∉A,D错误.故选B、C. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 √ A级——达标评价 1.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM=(　 ) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 解析:由题意知,∁UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5},故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 √ 2.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由题意知集合M一定含有元素a1,a2,并且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 3.已知(∁RA)∩B=∅,则下列选项中一定成立的是 (　 ) A.A∩B=A B.A∩B=B C.A∪B=B D.A∪B=R 解析:作出Venn图如图所示,则B⊆A,所以A∩B=B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 4.已知集合M={x|2x+1<3},N={x|x<a},若M∩N=N,则实数a的取值范围为 (　 ) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,1) 解析:M={x|2x+1<3}={x|x<1},因为M∩N=N,所以N为M的子集,所以a≤1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 5.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3}, B={0,1,2},则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0,4} C.{0,6} D.{0,4,6} 解析:因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时,z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以∁(A*B)A={0,4,6}.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 6.已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)等于 (　 ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅ 解析:因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以∁UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(∁UB)={3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 7.设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪(∁UB)=　　.  解析:∵U=R,B={x|x>1},∴∁UB={x|x≤1}. 又∵A={x|x>0},∴A∪(∁UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R. R 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　 　　　.  解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. {x|-3≤x<0或x>3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 9.(8分)已知全集U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10},B={x|-5≤x<5}. (1)求∁UA; 解:由U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10}, 得∁UA={-10≤x<-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)求(∁UB)∩A; 解:因为U={x|-10≤x≤10},B={x|-5≤x<5}, 所以∁UB={x|-10≤x<-5或5≤x≤10}, 所以(∁UB)∩A={x|5≤x≤10}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (3)求∁U(A∪B). 解:因为A∪B={x|-5≤x≤10}, 所以∁U(A∪B)={x|-10≤x<-5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 10.(8分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2<x<5}. (1)求A∩B与(∁RA)∪B; 解:由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∩B={x|2<x<3}.又由∁RA={x|x≤1或x≥3},得(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)设集合P={x|a<x<a+2},若P⊆(A∪B),求实数a的取值范围. 解:由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∪B={x|1<x<5}. 由集合P={x|a<x<a+2}且P⊆(A∪B),可得解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为[1,3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 B级——重点培优 11.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁UA)≠∅,则(　 ) A.k<0或k>3 B.2<k<3 C.0<k<3 D.-1<k<3 解析:∵A={x|x≤1或x≥3},∴∁UA={x|1<x<3}.若B∩(∁UA)=∅,则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3,∴若B∩(∁UA)≠∅,则0<k<3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 12.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人寒假参加体育训练,其中足球队25人,排球队22人,游泳队24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,则三项都参加的有(教材阅读与思考改编) (　 ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析:设集合A={参加足球队的学生},集合B={参加排球队的学生},集合C={参加游泳队的学生},则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24, card(A∩B)=12,card(B∩C)=8,card(A∩C)=9.设三项都参加的有x人,即card(A∩B∩C)=x,card(A∪B∪C)=46,所以由card(A∪B∪C)=card(A) +card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4,故三项都参加的有4人. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 13.若集合A具有以下性质:(1)0∈A,1∈A;(2)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.则称集合A是“好集”,给出下列说法:①集合B={-1,0,1}是“好集”;②有理数集Q是“好集”;③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.其中,正确说法的个数是(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析:对于①,当x=1,y=-1时,x-y=2,故集合B不满足第2个条件,集合B不是“好集”;对于②,有理数集Q满足0∈Q,1∈Q,且满足第2个条件,即x∈Q,y∈Q时,x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,故有理数集Q是“好集”;对于③,由“好集”的定义知,x,y∈A,0∈A,∴0-y=-y∈A,∴x-(-y)=x+y∈A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A (∁RB),则a的取值范围是　 .  解析:由题意得∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅.因为A (∁RB),所以分A=∅和A≠∅两种情况讨论.若A=∅,此时有2a-2≥a,所以a≥2;若A≠∅,则有或所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. {a|a≤1或a≥2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U的子集.若∁U(A∪B)⊆C,问这样的实数a是否存在?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:因为∁U(A∪B)⊆C,所以应分两种情况. ①若∁U(A∪B)=∅,则A∪B=R, 因此a+2≤-a-1,即a≤-. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②若∁U(A∪B)≠∅,则a+2>-a-1,即a>-. 又A∪B={x|x≤-a-1或x>a+2}, 所以∁U(A∪B)={x|-a-1<x≤a+2}, 又∁U(A∪B)⊆C,所以a+2<0或-a-1≥4, 即a<-2或a≤-5. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 又a>-,故此时a不存在.综上,存在这样的实数a,且a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明; 解:因为4∈A1,2∈A1,4+2=6∉A1,所以A1不是闭集合.任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z,则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以x+y∈B,同理,x-y∈B,故B为闭集合. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由; 解:结论:不一定. 不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5∉C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若集合C,D为闭集合,且C R,D R,证明:(C∪D) R. 解:证明:不妨假设C∪D=R,则由C R,可得存在a∈R且a∉C,故a∈D.同理,存在b∈R且b∉D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a∉C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b∉D矛盾, 综上,C∪D=R不成立,故(C∪D) R. 16 $$