第1章 4.2 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

4.2 一元二次不等式及其解法 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 (一)一元二次不等式的概念 概念 一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx +c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式 一元二次不等式的解 使一元二次不等式成立的___________叫作这个一元二次不等式的解 一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的_____________叫作这个一元二次不等式的解集 未知数的值 值组成的集合 续表 |微|点|助|解| 　 对一元二次不等式的理解 (1)一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种情况,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式. (2)一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.　 (3)理解一元二次不等式的概念时,还需了解下列概念: ①如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式; ②将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形. (二)一元二次不等式的求解方法 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=_______ 没有实数根 一元二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 - ax2+bx+c>0(a>0)的解集 __________________________________________ __________________________________________________________ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 (x1,x2) _________ _______ (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ ∅ ∅ 续表 |微|点|助|解| 　 (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集; (2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)不等式ax2+x-1<0是一元二次不等式. (　 ) (2)不等式x2-5y<0是一元二次不等式. (　 ) (3)不等式-x2-2x+3>0是一元二次不等式. ( 　 ) × × √ 2.不等式3x2-2x+1>0的解集为 (　 ) A. B. C.∅ D.R 解析:因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R. √ 3.若关于x的不等式-x2+4x>2mx的解集为{x|0<x<2},则实数m的值为 (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 解析:根据题意x=0和x=2是方程-x2+4x=2mx的实数根,所以-4+8=4m,解得m=1. 故选B. √ 4.二次函数y=x2-4的零点是　　　 .  2和-2 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; 解:原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, 所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得,原不等式的解集为R. 图1 (2)-x2+6x-9≥0; 解:原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0, 函数y=(x-3)2的图象如图2所示, 根据图象可得,原不等式的解集为{3}. 图2 (3)x2-2x-3>0. 解:方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线, 与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 图3 |思|维|建|模|　解一元二次不等式的一般方法和步骤 针对训练 1. 解不等式-2<x2-3x≤10. 解:原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0,即(x-5)(x+2)≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax. 解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为; 当-2<a<0时,不等式的解集为; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为. |思|维|建|模|　 解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数,应讨论是小于0,还是大于0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算 针对训练 2.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0. 解:原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论a+1与2(a-1)的大小. ①当a+1>2(a-1),即a<3时,不等式的解为x>a+1或x<2(a-1). ②当a+1=2(a-1),即a=3时,不等式的解为x≠4. ③当a+1<2(a-1),即a>3时,不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1. 综上,当a<3时,不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}, 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠4}, 当a>3时,不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}. 题型(三)　三个“二次”之间的关系 [例3]　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知=-5,=6. 由a<0知c<0,=-, 故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0, 即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. 变式拓展 若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 解:由根与系数的关系知=-5,=6且a<0. ∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0, 即x2-x+<0, 即x2+x+<0,解得-<x<-, 故不等式cx2-bx+a>0的解集为 . |思|维|建|模| 应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换. 3.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是 (　 ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x>-12} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 针对训练 √ √ 解析:因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a>0,A正确;方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-3,x2=4,由根与系数的关系得即b=-a,c=-12a,bx+c>0等价于-ax-12a>0,所以x<-12,B错误;不等式cx2-bx+a<0等价于-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1>0,解得x<-或x>,C正确;因为b=-a,c=-12a,所以a+b+c=-12a<0,D错误. 4.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},则实数n的值为　 .  解析:∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,∴m=-3.∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0<x<2.故不等式的解集为{x|0<x<2},∴n=2. 2 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式 ax2+bx+c>0的解集是(　 ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} 解析:由二次函数图象知ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N= (　 ) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析:因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.不等式4+3x-x2<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<4} 　B.{x|x>4或x<-1} C.{x|x>1或x<-4} 　D.{x|-4<x<1} 解析:不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}. 故选B. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<-n或x>m} 　　B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} 　　D.{x|-m<x<n} 解析:方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,因为m+n>0,所以m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略),得不等式的解集是{x|-n<x<m}. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D. 解析:因为不等式ax2+5x-2>0的解集为,所以,2为方程ax2+5x-2=0的两根,所以根据根与系数的关系可得×2=-,所以a=-2. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.不等式x2-4x+4>0的解集是　　 　　.  解析:原不等式可化为(x-2)2>0,所以x≠2. {x|x≠2} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若0<a<1,则不等式(a-x)>0的解集是　　 　　.  解析:原不等式等价于(x-a)<0,由0<a<1,得a<,所以a<x<. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3) >0的解集是　　　 　.  解析:因为关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1},所以不等式ax<b的解集是{x|x>1},所以a=b<0,所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,所以该不等式的解集是{x|-1<x<3}. {x|-1<x<3} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)解下列不等式: (1)2+3x-2x2>0; 解:原不等式可化为2x2-3x-2<0, 所以(2x+1)(x-2)<0,解得-<x<2, 故原不等式的解集是. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)x(3-x)≤x(x+2)-1; 解:原不等式可化为2x2-x-1≥0, 所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1, 故原不等式的解集为. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)x2-2x+3>0. 解:因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0, 所以原不等式的解集是R. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为∅; ③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时,不等式的解集为∅;当a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a=(　 ) A. B. C. D. 解析:由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得a=,故选A. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 (　 ) A. 　　　B.R C. 　　　D.∅ 解析:因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D,故选A. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　 ) A.(0,2) 　　　B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 　　　D.(-1,2) 解析:根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是(-2,1). √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为,则m的取值范围是　　 .  解析:∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2,且解得m<0,∴m的取值范围是(-∞,0). (-∞,0) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是 _____________ _______________. 解析:因为不等式(x+4)(x-6)>0的解集为{x|x>6或x<-4},解集中只有-5在集合A中,所以符合题意. (x+4)(x-6)>0 (答案不唯一) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a,c的值; 解:由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和, 由根与系数的关系,得 解得a=-6,c=-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 解:由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0, 解得≤x≤1, 所以不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0的解集为. 16 $$