第4章 板块综合 指、对函数图象与性质的综合（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

板块综合　指、对函数图象与性质的综合 (阶段小结课—习题讲评式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用,重点提升数学运算素养. (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养. (3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用,重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图,图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质,为研究函数的性质提供了形象的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种:一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时,要确定它的单调性需要讨论;二是含参数的不等式、方程,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需要分类讨论. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 指数、对数函数的图象及应用 题型(二) 解不等式、比较大小 题型(三) 指数、对数函数的创新问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　指数、对数函数的 图象及应用 01 [例1]　(1)华罗庚是享誉世界的数学大师,其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”,“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的大致图象如图所示,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 (　　) √ 解析:由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得0<a<1,0<b<1,根据指数函数y=a-x(0<a<1)的图象与性质,结合图象变换向下移动b个单位长度,可得函数g(x)=a-x-b的图象只有选项C符合.故选C. (2)若关于x的不等式4x-logax≤在x∈恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.　 B.　 C.　 D. √ 解析:由题意知关于x的不等式4x-≤logax在x∈恒成立,所以当x∈时,函数y=4x-的图象不在y=logax的图象的上方. 由图可知解得≤a<1.故选A. 　　|思|维|建|模| 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.　 针对训练 1.已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是(　　) √ 解析:函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B; 若0<a<1,则f(x)=ax是减函数,此时g(x)=loga是减函数,C、D都不满足; 若a>1,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足. 2.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　 　.  解析:根据指数函数和对数函数的图象,画出f(x)的图象如图所示,数形结合可知,要满足题意,只需a∈(0,1]. (0,1] 题型(二) 解不等式、比较大小 02 [例2]　(1)已知a=0.20.3,2b=0.3,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b √ 解析:因为y=0.2x在R上单调递减,所以0<0.20.3<0.20=1.所以0<a<1.又2b=0.3且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以b=log20.3<log21=0.所以b<0.又y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,所以log0.30.2>log0.30.3=1.所以c>1.综上可知,c>a>b.故选B. (2)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) √ 解析:由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,得a2x-2ax-2>1,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)·(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0<a<1,所以x<loga3.故选C. 　　|思|维|建|模| 　　方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决. 针对训练 3.若0<x<y<1,则 (　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 解析:对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0<x<y<1,故3x<3y,A错误; 对于B,根据底数a对对数函数y=logax的影响:当0<a<1时,在x∈(1,+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1,所以logx3>logy3,B错误; √ 对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x<log4y,C正确; 对于D,函数y=在R上单调递减,故>,D错误. 4.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是　　 　　.  解析:因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1. (-∞,1] 题型(三)　指数、对数函数的 创新问题 03 [例3]　设函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是增函数;②存在[m,n]⊆D(n>m),使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=loga(a2x+t)(a>0,a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. √ 解析:依题意,函数g(x)=loga(a2x+t)的定义域为R,令u=a2x+t,显然u>0,函数y=logau在(0,+∞)上单调性与u=a2x+t在R上单调性相同,则函数g(x)在R上单调递增,显然t≥0,而当t=0时,函数g(x)=2x不满足条件②,因此t>0,由于函数g(x)在[m,n]上的值域为[m,n],则即 于是m,n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等实根,令z=ax,则方程z2-z+t=0有两个不等的正实根,因此解得0<t<,所以t的取值范围是.故选A. 　　|思|维|建|模| (1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则. (2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,该类问题中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围. 针对训练 5.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是(　　) A.{1} B.{0,1} C.{-1,0} D.{-1,0,1} √ 解析:∵f(x)=-=,f(-x)===-f(x),∴f(x)为奇函数.易知f(x)=-=-, ∵1+ex>1,∴0<<1, 则-<-<. ∴当f(x)∈时,[f(x)]=-1,[f(-x)]=0;当f(x)∈时,[f(x)]=0, [f(-x)]=-1;当f(x)=0时,[f(x)]=[f(-x)]=0. ∴函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　) √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的,过定点(1,1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的,过定点(0,2).故只有C项中的图象符合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知a=40.6,b=log38,c=ln 2,则 (　　) A.c<a<b 　 B.a<c<b C.b<c<a 　 D.c<b<a 解析:因为a=40.6>40.5=2,所以a>2.因为log33<log38<log39,所以1<b<2.因为ln 1<ln 2<ln e,所以0<c<1.所以c<b<a. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0]　 B.[-1,0]　 C.[-1,1]　 D.[0,+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若函数f(x)在R上单调递增,则需满足 解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 解析:f(x)≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数,设a=f(log32), b=f(log53),c=-f,则有(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=e-0-me0=0, 解得m=1.所以f(x)=e-x-ex,所以f(x)在R上单调递减.又因为log323< log39=,log533>log525=,所以b<c<a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=1,=2,=2,=2,=2,…, =2(n∈N+).写出满足上述条件的一个函数:__________________. 解析:例如f(x)=2x,则f(0)=1,且==2,所以f(x)=2x符合题意. f(x)=2x(答案不唯一) 7.甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或x=log2,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=1,则原方程所有根的和是　　 　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设t=2x,由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0,则t2+ct+b=0.对于甲,由于甲写错常数b,则常数c是正确的,由根与系数的关系可得-c=2-2+=,即c=-;对于乙,由于乙写错了常数c,则常数b是正确的,由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0,解得t=或t=4,即2x=或2x=4,解得x=-1或x=2.所以原方程所有根的和是-1+2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的单调递增区间为　　　　　.  解析:由已知,得f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4. (4,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知函数y=g(x)为偶函数,函数y=h(x)为奇函数,g(x)+h(x)=3x对任意实数x恒成立. (1)计算g(log32),h的值; 解:由g(x)+h(x)=3x得g(-x)+h(-x)=3-x, 因为y=g(x)为偶函数,y=h(x)为奇函数,则g(x)-h(x)=3-x, 即解得g(x)=,h(x)=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以g(log32)===, h=h==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)试探究g(2x)与h(x)的关系,并证明你的结论. 解:由(1)可知g(x)=,h(x)=, 探究结果:g(2x)=2h2(x)+1. 证明如下:因为g(2x)=,h2(x)==, 所以g(2x)=2h2(x)+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)设函数f(x)=log2(2x)·log2. (1)解方程f(x)+6=0; 解:f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4.由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0,解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域. 解:由≤43x-2得≤26x-4, 即x2+x≤6x-4, 解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}. 又f(x)=(log2x)2-3log2x-4, 令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知a,b∈R,那么log2a>log2b是<的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为a>0,b>0,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log2a> log2b⇒a>b>0,又y=在R上单调递减,所以<⇔a>b, a,b∈R,所以log2a>log2b⇒a>b>0,则<成立.当b<a<0时,不能得出log2a>log2b成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知a,b,c为正实数,满足a+a2=b+4b=c+log2c=4,则实数a,b,c之间的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 解析:由题意a=4-a2>0,解得1<a=<2,b=4-4b>0,解得0<b<1,设f(x)=x+log2x-4,则f(x)在定义域内单调递增,又f(2)=-1<0=f(c)= c+log2c-4,所以c>2,综上所述,实数a,b,c之间的大小关系为c>a>b. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则(　　) A.a+b=0 B.f(x)=-1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(-∞,0]上单调递增 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:函数f(x)=a+b的图象过原点,则a+b=0,即a+b=0,函数的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,故y=1是图象的一条渐近线,则b=1,a=-1, f(x)=+1,A正确,B错误; 函数f(x)=+1,定义域为R,f(-x)=+1=-+1=f(x),f(x)是偶函数,C正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当x∈(-∞,0]时,f(x)=+1=-3x+1,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减, D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数,记作[x],是指不超过实数x的最大整数,例如[6.8]=6,[-4.1]=-5,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.若函数f(x)=log2(-x2+x+2),则当x∈[0,1]时,[f(x)]的值域为 (　　) A. B. C.{1} D.{2} √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由-x2+x+2>0,得(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,则f(x)的定义域为{x|-1<x<2},当x∈[0,1]时,令t=-x2+x+2,函数t=-x2+x+2在上单调递增,在上单调递减,又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的值域为,所以[f(x)]的值域为{1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(16分)我们知道当a>0时,am+n=am·an对一切m,n∈R恒成立,某同学在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式21+1=21+21,带着好奇,他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究. (1)当m=2时,求n的值; 解:当m=2时,22+n=22+2n,即3·2n=4, 所以n=log2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当m≤0时,求证:n是不存在的; 解:证明:设t=2m,因为m≤0,所以t=2m∈(0,1].又t·2n=t+2n, 当m=0时,t=1,t·2n=t+2n不成立; 当m≠0时,t<1,由t·2n=t+2n可得2n=. 因为2n>0,t>0,t-1<0,所以2n=不成立.综上所述,当m≤0时, n是不存在的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求证:只有一对正整数对(m,n)使得等式成立. 解:证明:由2m+n=2m+2n可得2n=. 当m,n均为正整数时,等号左侧为2的指数幂,故右侧也是2的指数幂, 所以2m-1=1,即m=1时符合题意,此时n=1. 所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立. $$