4.6 函数的应用(二)（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.6 函数的应用(二) (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 本节课的重点和难点是掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用,能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 常见的函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 二次函数模型 y=__________ (a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 y=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 分段函数模型 y= ax2+bx+c |微|点|助|解| (1)建立函数模型应把握的三个关口 ①事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口. ②文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系. ③数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题. (2)有关增长(衰减)率问题 ①初始值为a,增长率为x,增长n次后的表达式是a(1+x)n. ②熟练应用公式a(1+x)n,特别是增长(衰减)次数,审清如年初、年底等字眼. 基础落实训练 1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,则该工厂这一年中的月平均增长率是 (　　) A.-1 B. C.-1 D. 解析:设月平均增长率为x,1月份产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=,故x=-1. √ 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 解析:由题图知,该函数可能是y=log2t.故选D. √ 3.据报道,青海湖的湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2022年的湖水量为m,从2022年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系式为　　 　　.  解析:设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,解得q%=0.,即x年后的湖水量为0.·m. y=0.·m 4.为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,若植树的棵数每年的增长率均为a,则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是　　 　　,若计划3年后全年植树12.5万棵,则a=　　　　.  解析:经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x. 由题意可知6.4(1+a)3=12.5,所以(1+a)3=,所以1+a=,故a==25%. y=6.4(1+a)x 25% 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　指数型函数模型 [例1]　一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a. (1)求p%的值; 解:由题意得a(1-p%)10=,即(1-p%)10=,解得p%=1-. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解:设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即=,得=,解得m=5. 故到今年为止,已砍伐了5年. (3)今后最多还能砍伐多少年? 解:从今年开始,n年后森林面积为a·(1-p%)n, 令a(1-p%)n≥a,即(1-p%)n≥,≥,得≤,解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 　　|思|维|建|模|　指数型函数模型问题的求解策略 (1)对于平均增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知条件中给定的值对应求解. (2)函数y=c·akx(a,c,k为常数)是一个应用广泛的函数模型,它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用,解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法,即根据题意确定相关的系数. 针对训练 1.一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式; 解:最初的质量为500 g. 经过1年,w=500(1-10%)=500×0.9; 经过2年,w=500×0.92; 由此推知,t年后,w=500×0.9t. (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位,参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48). 解:由题意得500×0.9t=250, 即0.9t=0.5,两边取以10为底的对数, 得lg 0.9t=lg 0.5, 即tlg 0.9=lg 0.5, ∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. 题型(二)　对数型函数模型 [例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3 ,单位是m/s,θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少? 解:由v=log3可知, 当θ=900时,v=log3=log39=1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1 m/s. (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍. 解:由v2-v1=1,即log3-log3=1,得=9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍. 变式拓展 若本例条件不变:(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时,它的游速是多少? 解:将θ=8 100代入函数解析式, 得v=log381=×4=2(m/s), 所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是2 m/s. (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解:令v=0,得log3=0, 即=1,则θ=100, 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100. 　　|思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 基本 类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解 求解 策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义 针对训练 2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg,其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词,100分钟背出了30个单词.问:小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(精确到个位) 解:由题意,得两式相除, 得=,即1-=, 解得b=40.所以k=, 即y=·lg. 当y=200时,解得x=37.5≈38(个), 所以小丁200分钟约能背出38个单词. 题型(三)　幂函数模型 [例3]　果园A占地约3 000亩,拟选用果树B进行种植,在相同种植条件下,果树B每亩最多可种植40棵,种植成本y(万元)与果树数量x(百棵)之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据以上表格中的数据判断:y=ax+b与y=c+d哪一个更适合作为y与x的函数模型; 解:①若选择y=ax+b作为y与x的函数模型,将(1,1),(4,4.4)的坐标分别代入, 得解得所以y=x-,当x=9时,y=≈10.07, 当x=16时,y=18,与表格中的7.8和11.2相差较大,所以y=ax+b不适合作为y与x的函数模型. ②若选择y=c+d作为y与x的函数模型,将(1,1),(4,4.4)的坐标分别代入, 得解得所以y=-, 当x=9时,y==7.8, 当x=16时,y==11.2,与表格中的7.8和11.2相符合,所以y=c+d更适合作为y与x的函数模型. (2)已知该果园的年利润z(万元)与x,y的关系为z=2y-0.1x,则果树数量x为多少时年利润最大? 解:由题可知,该果园最多种植120 000棵该品种果树,所以确定x的取值范围为[0,1 200], 当y=-时,z=2y-0.1x=--x=-(x-68+48),令=t (0≤t≤20),则z=-·(t2-68t+48),经计算,当t=34时,z=-(t2-68t+48) 取得最大值,最大值为110.8(万元),即果树数量x=1 156时(每亩约38棵),利润最大. 　　|思|维|建|模| 幂函数模型的常见题型及解法 常见题型:一是给出含参数的函数关系式;二是根据题意直接列出相应的关系式.幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化,因为在y=(1+a)b中,如果a是已知的,b是待求的,那么此问题是指数函数问题;如果b是已知的,a是待求的,那么此问题是幂函数问题. 针对训练 3.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比,其关系如图1所示;B产品的利润y(万元)与投资额x(万元)的算术平方根成正比,其关系如图2所示. (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数; 解:设投资额为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元, 由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,由题图可知f(1)=,所以k1=,又g(4)=,所以k2=,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元(精确到1万元)? 解:设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元,设企业的利润为y万元, y=f(x)+g(10-x)=x+(0≤x≤10),令=t,则y=+t= -+(0≤t≤),所以当t=时,ymax=,此时x=10-= =3.75,所以当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得最大利润为万元,约为4万元. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 解析:分裂一次后由2个变成2×2=22个,分裂两次后变成4×2=23个,…,分裂x次后变成y=2x+1个. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.有一组实验数据如下表所示: √ t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是 (　　) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它,散点图如图所示. 由散点图可知,图象不是直线,排除选项D; 图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A; 当t=3时,2t-2=23-2=6,排除选项B.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2,则这6年间平均每年的增长率是 (　　) A.600元 B.50% C.-1 D.+1 解析:设6年间平均年增长率为x,则有12 000(1+x)6=48 000, 解得x=-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa,在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa,则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据:0.890.6≈0.93) (　　) A.9.4×104 Pa B.9.4×106 Pa C.9×103 Pa D.9×105 Pa √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意得1.01×105=ce0=c,0.90×105=ce1 000k,因此e1 000k=≈ 0.89,因此当x=600时,y=1.01×105e600k=1.01×105·(e1 000k)0.6=1.01× 105×0.890.6≈9.4×104.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车, 80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20, ∴<,当x=3时,=>;当x=4时,=<;结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt, 其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为　　　 　.  解析:因为N=N0e-λt,所以=e-λt,两边取以e为底的对数,所以t=-ln. t=-ln 7.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示繁殖后细菌总个数,则k=　　　　,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为　　　　.  解析:由题意知,当t=时,y=2,即2=,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 2ln 2 1 024 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为　　　　.  解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a =e-75k·a,所以t=75. 75 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(12分)我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量. (1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位? 解:由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题中公式, 可得0=5log2,解得O=10. 所以当燕子静止时的耗氧量是10个单位. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时,它的飞行速度是多少? 解:将耗氧量O=40代入题中公式, 得v=5log2=5log24=10(m/s). 所以当一只燕子的耗氧量是40个单位时,它的飞行速度是10 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 10.已知一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　　) A.lg B.lg C. D. 解析:由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5. 所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值, p是实际声压.下表为不同声源的声压级: √ 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60], 所以≥,所以p1≥p2,故A正确; 由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确; 假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误; 因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg 中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=　　　　(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477).  解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)= -144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 36.72 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品,已知该企业日加工处理量x(吨)最少为70吨,最多为120吨,日加工处理总成本y(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由题意可知,每吨厨余垃圾平均加工成本为=++40,x∈[70,120], ++40≥2+40=2×40+40=120. 当且仅当=,即x=80时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低, 因为120>100,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种方案. 方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; 方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为40x元. 如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个方案进行补贴?为什么? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:若该企业采用补贴方案一,设该企业每日获利为y1, y1=100x-+2 300 =-x2+60x-900=-(x-60)2+900. 因为x∈[70,120],所以当x=70吨时,企业获得最大利润,为850元. 若该企业采用补贴方案二,设该企业每日获利为y2, y2=100x+40x-=-x2+100x-3 200=-(x-100)2+1 800. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为x∈[70,120],所以当x=100吨时,企业获得最大利润,为1 800元. 结论:选择方案一,当日加工处理量为70吨时,可以获得最大利润850元; 选择方案二,当日加工处理量为100吨时,获得最大利润1 800元. 所以选择方案二进行补贴. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,要求如下:(1)函数的图象接近图示; (2)每天运动时间为 0分钟时,当天得分为0分;(3)每天运动时间为30分钟时,当天得分为3分;(4)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:对于模型①,当k>0时,匀速增长; 对于模型②,当k>0时,先慢后快增长; 对于模型③,当k>0时,先快后慢增长. 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型, 故选y=klog2+n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式; 解:将(0,0),(30,3)代入解析式得 即 解得k=3,n=-3,即y=3log2-3. 当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6, 满足每天得分最高不超过6分的条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以函数的解析式为 y= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分,求每天至少运动多少分钟(结果保留整数). 解:由y=3log2-3≥4.5, log2≥2.5=log2, 得+2≥=4≈5.657,得x≥54.855. 所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟. $$