4.5 增长速度的比较（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.5 增长速度的比较 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合现实情境中的具体问题,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式:=. (2)实质:_________的改变量与_________的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的_______. 函数值 自变量 快慢 (4)平均变化率的几何意义: 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的_____,如图所示. 斜率 |微|点|助|解| 　　Δx是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为正,也可以为负. 2.三种常见函数模型的增长差异 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0,+∞) 上的增减性 __________ __________ __________ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过____________的增长速度;总存在一个x0,当x>x0时,恒有___________ 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有______________ y=kx(k>0) logax<kx ax>kx>logax 续表 基础落实训练 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为 (　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=2.12+1-(22+1)=0.41. √ 2.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 (　　) A.x0+Δx B.1+Δx C.2+Δx D.2 解析:由题意,可得平均变化率==2. √ 3.某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表: 时间t 50 120 150 种植成本Q 2 600 500 2 600 由表知,体现Q与t数据关系的最佳函数模型是 (　　) A.Q=at+b B.Q=at2+bt+c C.Q=at D.Q=alogbt √ 解析:由提供的数据知,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数;而A、C、D对应的函数,在a≠0时,均为单调函数,这与表格提供的数据不吻合.故选B. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　平均变化率的计算与比较 [例1]　计算函数y=log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并以此说明函数值变化的规律. 解:因为=,所以y=log3x在区间[1,2]上的平均变化率为=log32.在区间[2,3]上的平均变化率为=log3, 因为函数y=log3x在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数. 又log32>log3,所以函数值y增加的速度越来越慢. 　　|思|维|建|模|　平均变化率的大小比较方法 (1)先求平均变化率=. (2)对平均变化率化简后比较大小,在区间长度不变的条件下,平均变化率变大,说明函数增长变化也越快. 针对训练 1.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是 (　　) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析:因为k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx,又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定. √ 题型(二)　函数增长速度的比较 [例2]　已知a>1,则下列命题正确的是 (　　) A.∃x0,∀x>x0,有ax>xa>logax成立 B.∃x0,∀x>x0,有ax>logax>xa成立 C.∃x0,∀x>x0,有xa>ax>logax成立 D.∃x0,∀x>x0,有xa>logax>ax成立 解析:因为a>1,所以函数y=ax,y=xa,y=logax均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数. 所以∃x0,∀x>x0,有ax>xa>logax成立. √ 　　|思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是“直线上升”,其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓,可称为“对数增长”. 针对训练 2.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 (　　) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 √ 解析:根据已知所给的关系图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A. 3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表,则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (　　) x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 √ 解析:由表可知,y2随着x的增大而迅速的增大,是指数函数型变化,y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数函数型变化,y1相对于y2的变化要慢一些,是幂函数型的变化,故选C. 题型(三)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例3]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; 解:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 024),g(2 024)的大小. 解:因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2 024>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 024)>g(2 024).又g(2 024)>g(6), 所以f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6). 　　|思|维|建|模|　比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数,其中当x较大时,指数型函数增长速度最快,一次函数增长速度其次,对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象,观察图象并借助计算器,便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 针对训练 4.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数; 解:由函数图象特征及变化趋势, 知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 解:当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的,f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a的值为(　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 解析:根据平均变化率的定义,可知==a=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是 (　　) A.y=50 B.y=1 000x C.y=50x2 D.y=ex 解析:指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,而且a越大,增长速度越快,故选D. √ 则体现这组数据的最佳函数模型是 (　　) A.y= B.y=log2x C.y=·2x D.y=x2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.有一组实验数据如表: √ x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:通过所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长的速度越来越快,A、B中的函数增长速度越来越慢,不正确; 对于C,当x=6时,y≈21.33; 对于D,当x=6时,y=18误差偏大.故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.下列函数图象中,估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　　) √ 解析:由于函数y=lg x在定义域内单调递增,且是上凸的,又b>0,所以当x>0时,y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.下面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　) A.f(x)的衰减速度逐渐变慢,g(x)的衰减速度逐渐变快,h(x)的衰减速度逐渐变慢 B.f(x)的衰减速度逐渐变快,g(x)的衰减速度逐渐变慢,h(x)的衰减速度逐渐变快 C.f(x)的衰减速度逐渐变慢,g(x)的衰减速度逐渐变慢,h(x)的衰减速度逐渐变慢 D.f(x)的衰减速度逐渐变快,g(x)的衰减速度逐渐变快,h(x)的衰减速度逐渐变快 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的图象以及性质知函数f(x),g(x),h(x)的衰减速度均逐渐变慢,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.某人投资x元,获利y元,有以下三种方案.甲:y=0.2x,乙:y=log2x+100,丙:y=1.005x,则投资500元,1 000元,1 500元时,应分别选择　 　 　 　方案.  解析:根据题意,列出当x=500,1 000,1 500时,对应的函数值如表所示: x 500 1 000 1 500 甲:y=0.2x 100 200 300 乙:y=log2x+100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55 丙:y=1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1 774.57 乙、甲、丙 根据表中数据可知, 当投资500,1 000,1 500时,应分别选择乙、甲、丙方案. 7.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间上,平均变化率最大的一个区间是　　　 　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 [x3,x4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4] 上的平均变化率分别为,,,结合题图可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率中,在x=　　　　附近的平均变化率最大.  解析:在x=1附近的平均变化率为 ===2+Δx; 在x=2附近的平均变化率为 ===4+Δx; 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在x=3附近的平均变化率为 ===6+Δx. 对任意Δx有2+Δx<4+Δx<6+Δx,所以在x=3附近的平均变化率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况,哪段时间体温变化较快? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:当时间x从0 min变到20 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.025(℃/ min); 当时间x从20 min变到30 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.05(℃/min). 这里负号表示体温下降,显然,绝对值越大,下降的越快.又因为|-0.025|< |-0.05|,故体温从20 min到30 min这段时间下降的比0 min到20 min这段时间要快. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)已知函数f(x)=x+1,g(x)=2x-2, (1)比较f(2)与g(2)的大小; 解:∵f(2)=2+1=3,g(2)=2×2-2=2, ∴f(2)>g(2). (2)若f(2+Δx)<g(2+Δx),求Δx的取值范围. 解:∵f(2+Δx)<g(2+Δx), ∴(2+Δx)+1<2(2+Δx)-2,∴Δx>1, 即Δx的取值范围为(1,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意可知,三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的,所以4<y1<16,4<y2<16,1<y3<2.所以y3最小.由函数y1,y2的图象可知,在区间(2,4)上,函数y2的图象恒在函数y1的图象上方,所以y2>y1>y3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.C0表示生物体内碳14的初始质量,经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0,h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0,据此推算该生物距今约(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意可知,C0=0.4C0. 所以lg=lg 0.4,即lg=lg 0.4.所以==.所以t=·h≈1.32h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的一个是　　　　　.  y=x3 解析:∵=,∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度,∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的是y=x3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法: ①前5 min温度增加的速度越来越快;②前5 min温度增加的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速增加;④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是　　　　.(填序号)  ②④ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5 min前每当t增加一个单位,则y相应的增量越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,则②④正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(万元)表示每个仓库收取的总费用). x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好?请说明理由. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1), 将(1,1),(3,2)代入函数得 解得∴y1=()x-1=. 当x=7时,y1=23=8;当x=14时,y1==64,可知当x=7或14时,与实际数据差距较大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),将(1,1),(3,2)代入函数得 解得∴y2=log2(x+1).当x=7时,y2=log28=3; 当x=14时,y2=log215,可知当x=7或14时,与实际数据比较接近. 综上所述,选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)该公司旗下有10个这样的仓库,每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少? 注:收益=收入-成本. 解:设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知若货物存放7天,每个仓库收费30 000元,∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7= 19 500m-35 000.由f(m)≥43 000,得m≥4.∴m的最小值为4. $$