4.4 幂函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.4 幂函数 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.掌握y=xα的图象与性质. 2.本节课的难点理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.幂函数的概念 一般地,函数________称为幂函数,其中α为常数. |微|点|助|解| 　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,满足: (1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)底数系数为1.形如y=(3x)α,y=2xα, y=xα+5,…形式的函数都不是幂函数. y=xα 2.幂函数的图象与性质 (1)幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图. (2)五个幂函数的性质   y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 ________ ________ ________ _____________ ________ 单调性 在R上是 ________ 在[0,+∞)上是________,在(-∞,0]上是________ 在R上是________　 在[0,+∞)上是________ 在(0,+∞)上是____________,在(-∞,0)上是_________　 公共点 (1,1) 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 (3)幂函数y=xα随着α的不同,定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同,要根据α的值判断. |微|点|助|解| (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都经过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α>0时,幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点,在第一象限内,当0<α<1时,曲线上凸;当α>1时,曲线下凸;并且在区间[0,+∞)上单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象都经过(1,1)点,在第一象限内,曲线下凸.并且在区间(0,+∞)上单调递减. (4)在x=1右侧,幂函数y=xα的指数α从下向上看递增,即“指大图高” “指小图低”. 基础落实训练 1.下列所给的函数是幂函数的为 (　　) A.y=2x5 B.y=x3+1 C.y=x-3 D.y=3x 解析:选项C符合y=xα的形式, 对于A,系数不为1, B中含有常数项, 而D不符合y=xα的形式. √ 2.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 解析:可知当α=-1,1,3时,y=xα为奇函数.又因为y=xα的定义域为R,则α=1,3. √ 3.3.17-1与3.71-1的大小关系为　　 　　.  解析:∵幂函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减, ∴3.17-1>3.71-1. 3.17-1>3.71-1 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　幂函数的概念及应用 [例1]　(1)(多选)下列函数为幂函数的是 (　　) A.y=2 B.y=x0 C.y=(x+1)2 D.y=x-1 解析:由幂函数的定义知,函数y=x0,y=x-1为幂函数. √ √ (2)已知幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则实数m的值为(　　) A.1 B.2 C.-2 D.1或2 解析:∵函数y=(m2-3m+3)是幂函数, ∴m2-3m+3=1,解得m=1或m=2. 当m=1时,y=x0,图象不过原点,符合题意; 当m=2时,y=x2,图象过原点,不符合题意. √ 　　|思|维|建|模| 判断一个函数是否为幂函数的依据 观察该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1. 针对训练 1.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 (　　) A.2 B.1 C. D.0 解析:因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数, 所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2. √ 2.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值为(　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析:设f(x)=xα(α为常数),因为=3,所以=2α=3,即α=log23, 所以f(x)=,则f==. √ 题型(二)　幂函数的图象及应用 [例2]　(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是 (　　) A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x2,②y=,③y=,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1 D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1 √ 解析:函数y=x3为奇函数且定义域为R,该函数图象应与①对应; 函数y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于y轴对称,该函数图象应与②对应; y==的定义域、值域都是[0,+∞),该函数图象应与③对应;y=x-1=,其图象应与④对应. (2)如图所示是函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象,则(　　) A.m,n是奇数且<1 B.m是偶数,n是奇数,且<1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m,n是奇数,且>1 √ 解析:由幂函数性质可知,y=与y=x恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(1,1), 当0<x<1时,>x,则<1; 又y=图象关于y轴对称,∴y=为偶函数, ∴===, 又m,n互质,∴m为偶数,n为奇数. 　　|思|维|建|模| 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小,相关结论为 ①在(0,1)上,幂的指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低); ②在(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断. 针对训练 3.函数y=的图象可能是(　　) √ 解析:由题意知,函数y==,则满足x5≥0,解得x≥0,故函数的定义域为[0,+∞),又>1,结合幂函数的性质,可得选项C符合题意. 4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有(1)f(x)>g(x); 解:设f(x)=xα,则由题意得2=()α, ∴α=2,即f(x)=x2, 再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β, ∴β=-2,即g(x)=x-2, 在同一直角坐标系中作出f(x)和g(x)的图象.如图所示. 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x). (2)f(x)=g(x); 解:当x=±1时,f(x)=g(x). (3)f(x)<g(x). 解:当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f(x)<g(x). 题型(三)　利用幂函数的单调性比较大小 [例3]　比较下列各组数中两个数的大小: (1)与; 解:因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上是增函数. 又>,所以>. (2)与; 解:因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数, 又-<-,所以>. (3)与. 解:因为函数y1=为(0,+∞)上的增函数, 又>1,所以>=1. 又因为函数y2=在(0,+∞)上是增函数, 且<1,所以<=1, 所以>. 　　|思|维|建|模| 比较幂值大小的3种基本方法 (1)直接法:当幂的指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法:当幂的指数不相同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. (3)中间量法:常用0和1作为中间量. 针对训练 5.设a=,b=,c=,则(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:b==,因为函数y=是增函数,所以<,即b<a.又c==>>=a,所以b<a<c. √ 6.(多选)下列关系式正确的是 (　　) A.1.51.4<1.61.4 B.1.5-1.5<1.6-1.5 C.0.31.5>0.31.4 D.0.70.8<0.80.7 √ √ 解析:由函数y=x1.4在(0,+∞)内单调递增,则1.51.4<1.61.4,故A正确; 由函数y=x-1.5在(0,+∞)上单调递减,则1.5-1.5>1.6-1.5,故B错误; 由函数y=0.3x在(0,+∞)上单调递减,则0.31.5<0.31.4,故C错误; 由函数y=x0.8在(0,+∞)上单调递增,则0.70.8<0.80.8,由函数y=0.8x在(0,+∞)上单调递减,则0.80.8<0.80.7,故D正确. 题型(四)　幂函数性质的综合应用 [例4]　已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4,2). (1)求f(x)的解析式; 解:因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数,所以m2-2m+1=1,所以m=2或m=0. 当m=2时,f(x)=,图象过点(4,2); 当m=0时,f(x)=,图象不过点(4,2),舍去. 综上,f(x)=. (2)判断幂函数的单调性,并进行证明; 解:证明:函数f(x)在[0,+∞)上为增函数. 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=, 因为0≤x1<x2,<0, 即f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0,+∞)上为增函数. (3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围. 解:函数f(x)在[0,+∞)上为增函数, 由f(a+1)>f(2a-3), 则得≤a<4. 综上,a的取值范围为. 　　|思|维|建|模| 解决幂函数的综合问题,应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等; (2)注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想. 针对训练 7.已知f(x)=(m2-2m-2)xm-1是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增, (1)求m的值; 解:由题意知m2-2m-2=1,则m=-1或m=3, 当m=-1时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,舍去, 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,符合题意,综上可知,m=3. (2)求函数g(x)=f(x)-5x+3在区间[-1,4]上的值域. 解:g(x)=x2-5x+3=-,则g(x)在上单调递减,在上单调递增, 当x=-1时,g(x)max=g(-1)=9;当x=时,g(x)min=g=-. 综上可知,g(x)的值域为. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1.幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),则f等于(　　) A. B. C.- D.2 解析:幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4), 则2α=4,解得α=2.∴f(x)=x2,∴f==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 (　　) A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y= 解析:所给选项都是幂函数,其中y=x-2和y=x2是偶函数,y=x-1和y=不是偶函数,故排除选项B、D.又y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意,y=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=的图象是(　　) √ 解析:因为当x>1时,x>;当x=1时,x=,所以A、C、D均不正确,选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式正确的是(　　) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,又0<a<b<1<<, 故f(a)<f(b)<f<f. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析:法一:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6> 1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5< 0.60=1,即c<1.综上,b>a>c.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,b>a>c.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表: x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　 　　　. 解析:因为f=,所以=,即α=, 所以f(x)=的单调递增区间是[0,+∞).  [0,+∞) 7.已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象经过点(8,4),则不等式f(6x+3)≤9的解集为　　 　　.  解析:由题意知8α=4,故α=log84=,由于f(x)==为R上的偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故f(6x+3)≤9,即f(6x+3)≤f(27),所以|6x+3|≤27,解得-5≤x≤4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 [-5,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设a=,b=,c=,则a,b,c从小到大的顺序是　　 　　.  解析:由a=,b=,可利用幂函数的性质,得a>b.可由指数函数的单调性得c>a,所以b<a<c. b<a<c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知幂函数f(x)=xα的图象过点P,试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 解:因为f(x)=xα的图象过点P, 所以f(2)=,即2α=, 得α=-2,即f(x)=x-2,f(x)的图象如图所示, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围. 解:因为函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减, 所以3m-9<0,解得m<3. 又因为m∈N+,所以m=1,2. 又因为函数y=x3m-9的图象关于y轴对称, 所以3m-9为偶数,故m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则原不等式可化为(a+1<(3-2a. 因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a, 解得<a<或a<-1. 故a的取值范围是(-∞,-1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a<0时,函数y=ax-是减函数,且与y轴交点的纵坐标为->0, y=xa在(0,+∞)上是减函数,B、D均错误; 对于A、C,若a>0,则y=ax-是增函数,y=xa在(0,+∞)上是增函数, A错误,C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)下列不等式在a<b<0的条件下能成立的是 (　　) A.a-1>b-1 B.< C.b2<a2 D.> 解析:分别构造函数y=x-1,y=,y=x2,y=,其中函数y=x-1,y=x2在(-∞,0)上为减函数,故A、C成立. 而y=,y=为(-∞,0)上的增函数,从而B成立,D不成立. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调递增区间为 (　　) A.(-2,+∞) B.(1,+∞) C.(-1,+∞) D.(2,+∞) 解析:由题意得m+2=1,解得m=-1, 则f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式,得2a=4,解得a=2.故g(x)=loga (x+m)=log2(x-1),令x-1>0,解得x>1,故g(x)在(1,+∞)上单调递增. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么αβ等于　　　　.  1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,得M,N,可得=,=,即α=lo,β=lo.所以αβ=lo·lo=·=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(16分)已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x). (1)求g(x)的解析式; 解:设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数). 因为幂函数g(x)过点,所以2α=,解得α=-1,所以g(x)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由. 解:由(1)得f(x)=x2+. ①当a=0时,f(x)=x2. 由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 可知f(x)为偶函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当a≠0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+= x2-≠-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数. 综上,当a=0时,f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数. $$