4.3 指数函数与对数函数的关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.3 指数函数与对数函数的关系 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系. 2.会求简单函数的反函数.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　反函数的概念 逐点清(二)　求反函数 逐点清(三) 互为反函数的图象 与性质的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　反函数的概念 01 多维理解 1.反函数的定义 一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中___________y的值,只有________x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数. 2.反函数的记法 函数y=f(x)的反函数记作_________. 任意一个 唯一的 y=f-1(x) |微|点|助|解| (1)反函数图象的关系 ①同底的指数函数与对数函数互为反函数. ②互为反函数的两个函数图象关于y=x对称. (2)判定存在反函数的方法 ①用定义:若函数y=f(x)值域中任意一个y的值,在定义域中有唯一的x与之对应,则此函数的反函数存在,否则,反函数不存在. ②用单调性:若函数y=f(x)在定义域上单调,则它的反函数存在. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任意一个函数都有反函数. (　　) (2)y=2x与y=log3x互为反函数. (　　) (3)若函数y=f(x)是单调函数,则y=f(x)一定存在反函数. (　　) 微点练明 × × √ 2.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1] B.[2,+∞) C.(-∞,1]∪[2,+∞) D.[1,2) 解析:因为二次函数f(x) =x2-2ax-3不是定义域内的单调函数,但在其定义域的子区间(-∞,a]或[a,+∞)上是单调函数,而已知函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数,所以[1,2]⊆(-∞,a]或[1,2]⊆[a,+∞),即a≤1或a≥2.故选C. √ 3.判定下列函数的反函数是否存在? (1) x 1 2 3 4 5 g(x) -1 0 1 -2 5 解:因为对g(x)的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在. (2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A,B,C. 解:由y=f(x)的图象知,当y=1时,与之对应的x=-1或x=3,即与y=1对应的x的值不唯一,所以此函数的反函数不存在. 逐点清(二)　求反函数 02 多维理解 1.求反函数的两种方法 (1)用y表示出x,然后写出反函数的形式; (2)x,y先互换,然后用x表示出y即可. 2.求反函数的注意点 (1)求反函数时,要先确定原函数的值域. (2)求出反函数后要注明反函数的定义域. 微点练明 √ 1.已知函数f(x)=log5x,f-1(x)是f(x)的反函数,则f(1)+f-1(1)= (　　) A.10 B.8 C.5 D.2 解析:因为函数f(x)=log5x,所以f-1(x)=5x,所以f(1)=log51=0, f-1(1)=51=5,即f(1)+f-1(1)=5. 2.若函数y=f(x)=1+3-x的反函数为y=g(x),则g(10)等于 (　　) A.2 B.-2 C.3 D.-1 解析:由y=1+3-x得x=-log3(y-1),又3-x>0, ∴y=1+3-x>1,∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2. √ 3.求下列函数的反函数: (1)f(x)=+1(x≥0); 解:令y=+1,x≥0, ∴y≥1且x=(y-1)2. ∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为f-1(x)=(x-1)2,x∈[1,+∞). (2)f(x)=(x≠1). 解:令y==,∴y=2+. ∴y≠2且x=. ∴f(x)=(x≠1)的反函数为f-1(x)=,x∈(-∞,2)∪(2,+∞). 逐点清(三) 互为反函数的图象 与性质的应用 03 多维理解 1.反函数的性质 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的_______与y=f-1(x)的_________相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线______对称. (2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在,此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数. 值域 定义域 y=x 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)______________. (2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线_____对称. 互为反函数 y=x |微|点|助|解| (1) 原函数与反函数定义域与值域的关系. (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,则点(b,a)必在其反函数y=f-1(x)的图象上. 微点练明 √ 1.(多选)已知函数f(x)在定义域上是增函数,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为f-1(x),则 (　　) A.f-1(-1)=1 B.f-1(x)在定义域上是增函数 C.f-1(-1)=-1 D.f-1(x)在定义域上是减函数 √ 解析:因为f(1)=-1,且f(x)在定义域上是增函数,所以由反函数的定义及性质可知,f-1(-1)=1,f-1(x)在定义域上是增函数,所以A、B正确,C、D错误. 2.若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象位于 (　　) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、三象限 D.第一、四象限 解析:结合函数与反函数的图象关于直线y=x对称,即可得出反函数的图象位于第一、四象限. √ 3.函数f(x)与函数g(x)互为反函数,若f(x)=且x∈(0,+∞),则函数g(x)的定义域为(　　) A.(0,+∞) B.R C.(0,1) D.(1,+∞) 解析:∵当x∈(0,+∞)时,∈(0,1),∴函数f(x)=,x∈(0,+∞)的值域为(0,1),又f(x)与g(x)互为反函数,故g(x)的定义域为(0,1). √ 4.已知函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=x对称,且满足f(1)+f(2)=2,则a= (　　) A.4 B.2 C.1 D.-1 √ 解析:函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=x对称,所以点(f(1),1),(f(2),2)在函数y=log2(x+a)的图象上,所以所以所以f(1)+f(2)+2a=6,又f(1)+f(2)=2,所以2+2a=6, 所以a=2. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数y=lox(x>0)的反函数是(　　) A.y=,x>0 B.y=,x∈R C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R 解析:互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数f(x)=1+2lg x,则f(1)+f-1(1)等于 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:根据题意,f(1)=1+2lg 1=1, 若f(x)=1+2lg x=1,解得x=1, 则f-1(1)=1, 故f(1)+f-1(1)=1+1=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)=,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是(　　) √ 解析:由f(x)=,可得f-1(x)=log3x+1,所以图象为C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)关于函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)与函数g(x)=logax(a>0,且a≠1)说法正确的有 (　　) A.f(x)与g(x)互为反函数 B.f(x)与g(x)的图象关于原点对称 C.f(x)与g(x)必有一交点 D.f(x)与g(x)的图象关于y=x对称 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:f(x)=ax(a>0,a≠1)与函数g(x)=logax(a>0,a≠1)是互为反函数,图象关于y=x对称,故A、D正确; f(x)与g(x)的图象不关于原点对称,故B错误; 当a>1时,f(x)与g(x)没有交点,故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点,则a等于(　　) A. B.2 C. D. 解析:因为点在y=f(x)的图象上, 所以点在y=ax的图象上,则有=, 即a2=2.又因为a>0,所以a=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称.若h(a)=1,则实数a的值为 (　　) A.-e B.- C. D.e 解析:∵函数f(x)与函数g(x)=ex互为反函数,∴f(x)=ln x. ∵函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,∴h(x)=-ln x. ∵h(a)=1,∴a=.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知a,b均为不等于1的正数,且满足lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logb x的图象可能是 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:法一:∵lg a+lg b=0,∴ab=1. ∵g(x)=-logbx的定义域是(0,+∞),∴排除A;若a>1,则0<b<1,此时f(x)=ax是增函数,g(x)=-logbx是增函数;若0<a<1,则b>1,此时f(x)=ax是减函数, g(x)=-logbx是减函数.结合图象知选B. 法二:∵lg a+lg b=0,∴ab=1,即b=, ∴g(x)=-lox=logax,∴f(x)与g(x)互为反函数,图象关于y=x对称,故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1),其反函数为y=f-1(x),实数t满足f-1(t)< 1-t<f(t),则t的值可以是 (　　) A.-1 B. C. D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵函数f(x)=ax(a>1),∴反函数为y=f-1(x)=logax, 又实数t满足f-1(t)<1-t<f(t), ∴logat<1-t<at,a>1,当t≤0时,显然不符合题意;当0<t<1时,logat<0, 0<1-t<1,at>1,logat<1-t<at,∴0<t<1符合题意;当t=1时,logat=0,1-t=0, at=a,不符合题意;当t>1时,logat>0,1-t<0,at>a,不符合题意,故t的取值范围为(0,1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.设函数f(x)=log2x+3,x∈[1,+∞),则f-1(x)的定义域是　　 　　.  解析:f-1(x)的定义域为f(x)的值域, ∵x≥1,∴log2x≥0,∴log2x+3≥3, ∴f-1(x)的定义域为[3,+∞). [3,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.已知函数f(x)与函数g(x)=lox的图象关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调递增区间是　　 　　.  解析:由题意得f(x)=,∴f(x2+2x)=.∵f(x)在R上是减函数, ∴由同增异减的原则可知,所求函数的单调递增区间即为t=x2+2x的单调递减区间,即(-∞,-1]. (-∞,-1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知函数y=f(x)的定义域是[-1,1],其图象如图所示,则不等式-1≤f-1(x)≤的解集是　 　　　.  [-2,0)∪ 解析:由题意,可得-1≤f-1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域. 当-1≤x<0时,由题图可知f(x)∈[-2,0), 当0≤x≤时,由题图可知f(x)∈, 故不等式-1≤f-1(x)≤的解集为[-2,0)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知函数y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=　　　　.  解析:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=3-x-1. 又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-3-x+1, ∴f(x)= -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又由y=f(x)与y=g(x)互为反函数,可知求g(-8)即求f(x)=-8时的x. 当x≥0时,f(x)=-8,即3x-1=-8, ∴3x=-7<0无解.当x<0时,f(x)=-8, 即-3-x+1=-8,∴x=-2,即g(-8)=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x). (1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值; 解:由题意可得f-1(x)=log2x(x>0), 所以log2x-log2(1-x)=1⇒log2=log22,所以=2,所以x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)-m=0在区间[1,2]内有解,求实数m的取值范围. 解:由f(x)+f(1-x)-m=0,可得m=2x+,令t=2x∈[2,4],所以m=t+. 令g(t)=t+, 所以当t∈[2,4]时,函数g(t)为增函数. 所以函数g(t)的最小值为3,最大值为. 所以实数m的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设函数g(x)=log3x,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y=x对称. (1)求y=f(x)的解析式; 解:因为函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y=x对称, 所以f(x)与g(x)互为反函数,因为g(x)=log3x,所以f(x)=3x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)是否存在实数m>0,使得对∀x∈R,不等式2m-3<mf(x)恒成立,若存在求出m,若不存在,说明理由. 解:不等式2m-3<mf(x)恒成立,即2m-3<m·3x恒成立, 令t=3x(t>0),则关于t的不等式2m-3<mt,即mt-2m+3>0在(0,+∞)上恒成立, 令h(t)=mt-2m+3,t∈(0,+∞),因为m>0,所以h(t)在(0,+∞)上单调递增,依题意只需h(0)=-2m+3≥0,解得m≤,所以0<m≤. 故m的取值范围是. $$