4.2.3 第2课时 对数函数性质与图象的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

第2课时 对数函数性质与图象的应用 (教学方式:拓展融通课 —习题讲评式教学) 课时目标 1.进一步理解对数函数的性质与图象;会比较对数值大小及解简单的对数不等式. 2.会求对数型函数的单调区间及判断对数函数的单调性. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　比较大小 题型(二)　解对数不等式 题型(三) 对数型函数的单调性 4 题型(四) 对数型函数的综合问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　比较大小 01 [例1]　比较下列各组数的大小. (1)lo与lo; 解:y=lox在(0,+∞)上单调递减, 因为<,所以lo>lo. (2)lo3与lo3; 解:法一:lo3-lo3 =-=. ∵y=lg x是增函数,∴lg<lg<0<lg 3. ∴lo3-lo3<0.∴lo3<lo3. 法二:因为在x∈(1,+∞)上,y=lox的图象在y=lox图象的上方,所以lo3<lo3. (3)loga2与loga3. 解:当a>1时,y=logax为增函数,所以loga2<loga3; 当0<a<1时,y=logax为减函数, 所以loga2>loga3. 　　|思|维|建|模| 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小. 针对训练 1.已知lom<lon<0,则(　　) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 解析:因为0<<1,lom<lon<0,所以m>n>1.故选D. √ 2.已知实数a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析:由题知,a=log45>1,b==1, c=log30.4<0,故c<b<a. √ 题型(二)　解对数不等式 02 [例2]　解下列不等式. (1)lox>lo(4-x); 解:由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为(0,2). (2)logx>1; 解:当x>1时,logx>1=logxx, 解得x<,此时不等式无解. 当0<x<1时,logx>1=logxx, 解得x>,所以<x<1. 综上所述,原不等式的解集为. (3)loga(2x-5)>loga(x-1). 解:当a>1时,原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时,原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为(4,+∞); 当0<a<1时,原不等式的解集为. 　　|思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解; (3)形如logax>logbx的不等式,可利用图象求解. 针对训练 3.log3(x+2)>1的解集是 (　　) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 解析:log3(x+2)>1⇒log3(x+2)>log33,又函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以x+2>3,解得x>1,故不等式的解集为(1,+∞). √ 4.不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集是　　 　　.  解析:易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6), 由lo(2x+3)<lo(5x-6)3, 可得lo(2x+3)<lo(5x-6). 又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减, 所以可得 解得<x<3. 题型(三) 对数型函数的单调性 03 [例3]　求函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调区间. 解:由题意,函数f(x)=lo(x2-2x-3), 设t=x2-2x-3,令t>0,即x2-2x-3>0, 解得x>3或x<-1, 又由t=(x-1)2-4在区间(3,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-1)上单调递减, 又由函数y=lot在定义域内单调递减, 结合复合函数单调性的判定方法, 可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,+∞). 变式拓展 1.若本例函数变为f(x)=loga(x2-2x-3),求f(x)的单调区间. 解:由例3知t=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 若0<a<1,则y=logat单调递减, 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减. 若a>1,则y=logat单调递增, 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 2.若本例函数变为y=loga(2-ax),且在[0,1]上单调递减,求a的取值范围. 解:令y=logat,t=2-ax,当0<a<1时,y=logat为减函数,t=2-ax为减函数,不合题意; 当a>1时,y=logat为增函数,t=2-ax为减函数,符合题意,需要2-ax>0在[0,1]上恒成立,即(2-ax)min>0,所以2-a>0,解得a<2,从而1<a<2. 综上,a的取值范围为(1,2). 　　|思|维|建|模| 　　形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间;g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 针对训练 5.(1)求函数y=lo(4x-x2)的单调区间; 解:由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4). 令t=4x-x2(0<x<4), 则y=lot. ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4, ∴t=4x-x2(0<x<4)的单调递减区间是[2,4),单调递增区间是(0,2). 又y=lot在(0,+∞)上是减函数, ∴函数y=lo(4x-x2)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是[2,4). (2)已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围. 解:因为函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,又函数y=log2x在定义域上单调递增, 所以u=x2+ax+3在(1,+∞)上单调递增,且u>0在(1,+∞)上恒成立, 所以-≤1且12+1×a+3≥0, 解得a≥-2, 即a的取值范围为[-2,+∞). 题型(四) 对数型函数的综合问题 04 [例4]　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0,求x的取值范围; 解:∵x+1>0,∴x>-1.函数f(x)的定义域为(-1,+∞). ∵f(x)>0,即log2(x+1)-2>0, ∴log2(x+1)>2.∴x+1>4. ∴x>3.∴x的取值范围是(3,+∞). (2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域. 解:∵x∈(-1,3],∴x+1∈(0,4]. ∴log2(x+1)∈(-∞,2]. ∴log2(x+1)-2∈(-∞,0]. ∴f(x)的值域为(-∞,0]. 　　|思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解; (2)判断函数的奇偶性,一定要先求函数的定义域,再研究f(x)与f(-x)的关系. 针对训练 6.已知函数f(x)=loga(3+x)+loga(2-x)(a>0且a≠1),f(1)=2. (1)解不等式f(x)<2; 解:由题得,f(x)=loga(3+x)(2-x), ∵f(1)=2⇒loga4=2⇒a=2, ∴f(x)=log2(3+x)(2-x),-3<x<2. 由f(x)<2⇒(3+x)(2-x)<4⇒x<-2或x>1, ∴原不等式的解集为(-3,-2)∪(1,2). (2)若f(x)≤log2(x+4)+m在x∈(-3,2)上恒成立,求实数m的取值范围. 解:由f(x)≤log2(x+4)+m得, m≥, 令x+4=t,x∈(-3,2),∴t∈(1,6), ∴== =7-≤7-2, 当且仅当t=时等号成立. ∴m≥log2(7-2). 故实数m的取值范围是[log2(7-2),+∞). 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是(　　) A.(-∞,7] B.(2,7] C.[7,+∞) D.(2,+∞) 解析:由lg(2x-4)≤1,得0<2x-4≤10,即2<x≤7,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若a=,b=log43,c=lo9,则它们大小关系正确的是(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b 解析:a==>1,b=log43>log41=0,b=log43<log44=1, 即0<b<1,c=lo9<lo1=0,所以a>b>c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.[-1,+∞) 解析:由于y=x和y=log2x在[1,+∞)上均是增函数,所以函数y=x+log2x(x≥1)在[1,+∞)上是增函数,所以函数的值域为[1,+∞). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若logm8.1<logn8.1<0,那么m,n满足的条件是 (　　) A.m>n>1 B.n>m>1 C.0<n<m<1 D.0<m<n<1 √ 解析:根据题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,画出y=logmx,y=lognx的图象,如图,根据函数图象,当x>1时,底数越大,函数值越小,所以有0<n<m<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.[5,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-1] 解析:由于f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,而y=lg x在(0,+∞)上单调递增,函数y=x2-4x-5=(x-2)2-9在(2,+∞)上单调递增,所以所以a≥5,故a的取值范围是[5,+∞).故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.关于x的不等式log3(3x-1)·log3<2的解集为　　　 　.  解析:log3(3x-1)·log3=log3(3x-1)[log3(3x-1)-1]<2. 令log3(3x-1)=t,则t(t-1)<2,解得-1<t<2. 则-1<log3(3x-1)<2,解得x∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知a=2-0.1,b=log23,c=log410,则a,b,c的大小关系为__________ (按从大到小顺序排列).  解析:由a=2-0.1<20=1,c=log410=log2>b>log22=1,可得a,b,c的大小关系为c>b>a. c>b>a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的最小值是　　　　.  解析:设t=-x2+3x+4=-+, 所以0<t≤. 因为y=log0.4t是单调递减函数, 所以当t=时,函数取得最小值,最小值是log0.4=lo=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围. 解:∵a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时, t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0,∴a<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又∵a>0且a≠1,∴0<a<1或1<a<, ∴实数a的取值范围为(0,1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=-2log2x+4,x∈[2,4]. (1)设t=log2x,x∈[2,4],求t的最大值与最小值; 解:因为函数t=log2x在区间[2,4]上是单调递增的, 所以当x=4时, tmax=log24=2, 当x=2时,tmin=log22=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求f(x)的值域. 解:令t=log2x,则f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,由(1)得t∈[1,2], 因为函数g(t)在[1,2]上是增函数, 所以当t=1,即x=2时,f(x)min=3;当t=2,即x=4时,f(x)max=4,故f(x)的值域为[3,4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)下列各式正确的是(　　) A.log0.50.4>log0.50.6 B.log23<log0.32 C.ln<lg D.lo3<lo √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:y=log0.5x为减函数,故log0.50.4>log0.50.6,A正确; 而log0.32<0,log23>log22=1,B错误; 由ln x与lg x的图象知C正确; lo3<0,lo>0,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2), f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形函数”的是 (　　) A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x) C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵f4(x)=log2(2x)=1+log2x,∴f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度,得到y=log2x的图象,然后再沿着y轴向上平移1个单位长度,得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形函数”的定义,可知选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在区间(-2,1)上单调递增 B.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(x+2)(4-x)=ln(-x2+2x+8)(-2<x<4). 令g(x)=-x2+2x+8,则g(x)在(-2,1]上单调递增,在[1,4)上单调递减.所以f(x)在区间(-2,1)上单调递增,在[1,4)上单调递减.又g(x)= -x2+2x+8的图象关于直线x=1对称, 所以f(x)的图象关于直线x=1对称.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+2),a∈R. (1)当f(x)是偶函数时,求a的值并求函数的值域; 解:由f(x)是偶函数可得f(-x)=f(x), 即log2(x2-ax+2)=log2(x2+ax+2),则x2-ax+2=x2+ax+2,即2ax=0恒成立, 所以a=0.经验证,a=0时,f(x)=log2(x2+2)为R上的偶函数,符合题意. 因为x2+2≥2,所以f(x)=log2(x2+2)≥log22=1,故函数f(x)的值域是[1,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若函数f(x)在区间(2,3)上单调递增,求实数a的取值范围. 解:因为函数f(x)在区间(2,3)上单调递增,且y=log2t为定义域上的增函数,所以t=x2-ax+2在(2,3)上单调递增,且x∈(2,3)时,x2-ax+2>0,根据二次函数的性质,可得解得a≤3.故实数a的取值范围为 (-∞,3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数. (1)求a的值; 解:∵函数f(x)的图象关于原点对称, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∵>0,∴(x-1)(1-ax)>0. 令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=, ∴=-1,即a=-1,经验证,a=-1满足题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)<m恒成立,求实数m的取值范围. 解:∵f(x)+lo(x-1)=lo+lo(x-1)=lo(1+x).∴当x>1时, lo(1+x)<-1. 又当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)<m恒成立,∴m≥-1. 即实数m的取值范围是[-1,+∞). $$