4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.2.3 对数函数的性质与图象 对数函数的概念、性质与图象 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.类比指数函数来学习对数函数,会求与对数函数有关的定义域问题. 2.初步掌握对数函数的性质和图象,类比指数函数研究对数函数的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.对数函数的定义 一般地,函数_________称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 2.对数函数的图象和性质   a>1 0<a<1 图象 y=logax 性 质 定义域 定义域为________,图象在y轴的右边 值域 值域为______ 过定点 过定点______,即x=1时,y=0 函数值 的变化 当0<x<1时,y<0, 当x>1时, _______ 当0<x<1时, ______, 当x>1时, _______ 单调性 ________ ________ 对称性 y=logax与y=lox的图象关于x轴对称 (0,+∞) R (1,0) y>0 y>0 y<0 增函数 减函数 续表 |微|点|助|解| (1)注意点:讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)图象的特点:函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象无限靠近y轴,但永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=lox (a>0,且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称. (3)底数对图象的影响:比较图象与y=1的交点,此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大,即沿着直线y=1由左向右看,底数a增大(如图). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=2log3x是对数函数. (　　) (2)函数y=log2x-1是对数函数. (　　) (3)y=log4是对数函数. (　　) × × × 2.函数y=log2(x-2)的定义域是 (　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.[4,+∞) 解析:由题意知x-2>0,解得x>2. 3.若函数f(x)=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则点P的坐标是　　　　.  解析:令2-x=1,即x=1,得y=2loga1+3=3,故点P的坐标为(1,3). √ (1,3) 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对数函数的概念 [例1]　(1)下列函数是对数函数的是 (　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logex 解析:(1)A,B不是对数函数,因为对数的真数不是仅有自变量x;C不是对数函数,因为对数的底数不是常数;D是对数函数. √ (2)若函数f(x)=(a2+a-5)logax是以a为底数的对数函数,则f等于(　　) A.3 B.-3 C.-log36 D.-log38 解析:因为函数f(x) 为对数函数, 所以函数f(x)系数为1,即a2+a-5=1, 即a=2或-3. 因为对数函数底数大于0,所以a=2,f(x)=log2x,所以f=-3. √ |思|维|建|模|　判断一个函数是对数函数的方法 针对训练 1.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f=(　　) A.2 B.-2 C.- D. √ 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=　　　　　.  解析:设对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1), ∵f(x)的图象过点P(8,3),∴3=loga8,∴a3=8,即a=2. ∴f(x)=log2x.∴f=log2=log22-5=-5. -5 题型(二)　简单的对数函数的图象问题 [例2]　(1)函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　　) √ 解析:由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象左移一个单位长度而得到,函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0),显然四个选项只有A选项满足. (2)已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n的值是　　　　.  解析:因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5.所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 1 变式拓展 若例2(1)中的函数y=|lg(x+1)|变为y=f(x)=|log3x|,且f(a)>f(2),则a的取值范围为　　　　　 　　.  ∪(2,+∞) 解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由于f(2)=f,故结合图象可知,当f(a)>f(2)时, a的取值范围为∪(2,+∞). 　　|思|维|建|模| 　　对数函数的底数a决定了图象的位置及变化趋势,在同一坐标系中画出多个对数函数图象时, (1)上下比较:在直线x=1的右侧.a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时, a越小,图象越靠近x轴. (2)左右比较:(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 针对训练 3.设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为 (　　) √ A.6　　　 B.8　　 　C.10　　　 D.12 解析:令f(x)=y=loga(x+b),由题图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,即解得故a+2b=2+4×2=10,故选C. 4.如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a值取,,,,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为(　　) A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, √ 解析:法一:过点(0,1)作平行于x轴的直线,与C1,C2,C3,C4的交点的坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底数值依次由大到小,故选A. 法二:先排C1,C2底的顺序,底都大于1,当x>1时图低的底大,所以C1,C2对应的a值分别为,.然后考虑C3,C4的底都小于1,当x>1时,底数越小,图象越靠近x轴,所以C3,C4对应的a值分别为,. 综上,可得C1,C2,C3,C4的a值依次为,,,. 题型(三)　与对数函数有关的定义域问题 [例3]　求下列函数的定义域. (1)f(x)=lg(x-2)+; 解:要使函数有意义,需满足解得x>2且x≠3. ∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). (2)f(x)=log(x+1)(16-4x). 解:要使函数有意义,需满足 解得-1<x<0或0<x<4. ∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,4). |思|维|建|模| 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 5.求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); 解:由 得-3<x<3. 故函数的定义域是{x|-3<x<3}. 针对训练 (2)y=log2(16-4x); 解:由16-4x>0,得4x<16=42, 由指数函数的单调性得x<2. 故函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. (3)y=loga[(x+3)(x-3)]. 解:由(x+3)(x-3)>0, 解得x<-3或x>3. 故函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)下列函数是对数函数的是(　　) A.y=loga(2x) B.y=log(2a-1)x C.y=log2x+1 　　 D.y=lg x 解析:选项A、C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=1+loga(x-1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点 (　　) A.(1,1) B.(1,0) C.(2,1) D.(2,0) 解析:令x-1=1,得x=2,此时y=1,故函数y=1+loga(x-1)的图象一定经过点(2,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=ln(1-x)的定义域为(　　) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 解析:要使函数有意义,需满足 解得0≤x<1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象必不过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为f(x)=loga(x+2)(0<a<1),所以其图象如图所示,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又当0<x≤10时,lg x≤1,所以a=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若函数f(x)=mlog2(kx+n)是对数函数,则m=　　　　,k=　　　　, n=　　　　.  解析:f(x)=mlog2(kx+n)是对数函数,应有m=1,k=1,n=0. 1 1 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(2023·北京高考)已知函数f(x)=4x+log2x,则f=　　　　.  解析:函数f(x)=4x+log2x,所以f=+log2=2-1=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若对数函数y=log(a+1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围是　 　　.  解析:由对数函数的单调性知,a+1>1,则a>0. (0,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)求下列函数的定义域: (1)f(x)=log(x-1)(3-x); 解:由题意,知解得1<x<3,且x≠2,故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)f(x)=+log2(3x-1). 解:由题意,知解得x>且x≠1, 故f(x)的定义域为∪(1,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2). (1)若f(1)=2,求a的值; 解:f(1)=log2(3-a)=2,∴3-a=22=4,解得a=-1. (2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为R, ∴x2-2ax+a+2>0对∀x∈R恒成立, ∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0,即a2-a-2<0,解得-1<a<2,故a的取值范围为(-1,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.函数y=ax与y=-logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:函数y=-logax恒过定点(1,0),排除B; 当a>1时,y=ax是增函数,y=-logax是减函数,排除C; 当0<a<1时,y=ax为减函数,y=-logax为增函数,排除D,故A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 (　　) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 解析:分别作出三个函数的大致图象, 如图所示.由图可知,x2<x3<x1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试借助图象比较f(a),f(b),f(c)的大小. 解:先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增.由>a>b>1,得f>f(a)>f(b).因为f==|-lg c|=|lg c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式与定义域; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:将点A(2,1),B(5,2)的坐标代入f(x), 得得 解得a=2,b=-1, 则f(x)=log3(2x-1),定义域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到? 解:f(x)=log3(2x-1)=log32, ∴f(x)的图象由y=log3(2x)的图象向右平移个单位长度得到. (3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值. 解:易知f(x)在[1,4]上单调递增, ∴f(x)max=f(4)=log37,f(x)min=f(1)=log31=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点在函数y=g(x)的图象上. (1)写出y=g(x)的解析式; 解:依题意得 则g=log2(x+1),故g(x)=log2(3x+1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求方程f(x)-g(x)=0的根. 解:由f(x)-g(x)=0得,log2(x+1)=log2(3x+1), 所以解得x=0或x=1. $$