4.2.2 对数运算法则（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.2.2 对数运算法则 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.对数的运算性质 若a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么: (1)loga(MN)=________________; (2)logaMα=____________; (3)loga=_______________. logaM+logaN αlogaM logaM-logaN |微|点|助|解| (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-3)×(-5)]有意义,但log2(-3)与log2(-5)都没有意义. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0,且a≠1. (1)loga=logaM-1=__________(M>0); (2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N+,p,n>1); (3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N+,N1,N2,…,Nk均大于0). -logaM 3.换底公式 (1)对数换底公式 logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). (2)推论 ①logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). ②logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1). (3)lobs=logab(a>0,且a≠1,t≠0,b>0). |微|点|助|解| (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=,logab=. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　　) A.log86 B.8 C.6 D.1　 解析: log84+log82=log88=1. √ 2.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为(　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. 解析:∵lg 3=a,lg 7=b,∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. √ 3.计算log92×log43= (　　) A.4 B.2 C. D. 解析:log9 2×log4 3=×=×=. √ 4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43=　　　　.  解析:log43===. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　利用对数运算法则化简或求值 [例1]　计算: (1)2(lg )2+lg ×lg 5+; 解:原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+ (1-lg )=lg +1-lg =1. (2)log535+2lo-log5-log514; 解:原式=log5+2lo=log553-1 =3-1=2. (3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解:法一:原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2= 2+(lg 10)2=2+1=3. 法二:原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2+ (lg 2)2=2+1=3. 　|思|维|建|模| 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则: ①正用或逆用运算法则,对真数进行处理,②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 针对训练 1.计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; 解:原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=lg 10=1. (2); 解:原式= ==. (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解:原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. 题型(二)　换底公式的应用 [例2]　已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解:因为2b=3,所以b=log23,即log32=. 所以log1456== ===. 变式拓展 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 解:log2898=====. 2.若把本例中条件“2b=3”变为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37, 所以log1456= ==. 　|思|维|建|模| 利用换底公式计算、化简的常用方法 (1)先依照运算性质:利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同一底. (2)一次性地换为常用对数,再化简、通分、求值. (3)将式子中的对数的底数及真数改为幂的形式,然后利用变形lobn=logab进行化简、计算. 针对训练 2.已知log1227=a,用a表示出log616. 解:由log1227=a,得==a, ∴lg 2=lg 3. ∴log616====. 3.计算(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)的值. 解:法一:原式=· =· =log25×3log52 =13log25×=13. 法二:原式= = =×=13. 法三:原式=(log253+lo52+lo51)·(log52+lo22+lo23) =(log52+log52+log52)=log25×3log52 =×3=13. 题型(三)　对数运算的综合应用 [例3]　(1)设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:根据换底公式和对数运算性质,得 log212=== ==. (2)已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z,则使2x=py成立的p值为　　　　.  解析:设3x=4y=6z=k, 因为x,y,z为正数,所以k>1, 则x=log3k,y=log4k,z=log6k. 由2x=py得2log3k=plog4k=p·, 因为log3k≠0,所以p=2log34=4log32. 4log32 　　|思|维|建|模| 　　带有附加条件的对数式或指数式的求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征,灵活进行指数式与对数式的互化. 针对训练 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-,则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-,即3loga2-=-.设t=loga2(a>1),则t>0,故3t-=-,解得t=(舍负),所以loga2=,所以=2,解得a=64. 64 5.已知a>b>1,且logab+logba=,ab=ba,求a的值. 解:∵a>b>1,且logab+logba=, 即+logba=, ∴设logba=t,则t>1. ∴t+=,解得t=2或t=(舍去), 即logba=2. ∴a=b2. ∵ab=ba,∴(b2)b=b2b=, ∴2b=b2,解得b=2或b=0(舍去),∴a=4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.计算log32·log227的值为(　　) A.2 B.3 C. D.-3 解析:log32·log227=·==log327=3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知x,y为正实数,则 (　　) A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y 解析:2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列运算正确的是 (　　) A.2lo10+lo0.25=2 B.log427·log258·log95= C.lg 2+lg 50=2 D.lo(2-)-(log2)2=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误; 对于B,log427·log258·log95=··==,B错误; 对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C正确; 对于D,lo(2-)-(log2)2=-1-=-,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为 (　　) A.6 B.9 C.12 D.18　　 解析:∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,∴=logk2,=logk3. ∵2a+b=ab, ∴+=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则-等于(　　) A. B.3 C.- D.-3 解析:由2.5x=1 000,0.25y=1 000,得x=log2.51 000=, y=log0.251 000=, 所以-=-=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.计算:+2lg 2-lg=　　　　.  解析:原式=(23+lg 4-(lg 1-lg 25)=+lg(4×25)=+2=. 7.计算lg 4+2lg 5+log25·log58=　　　　.  解析:原式=lg 4+lg 52+·=lg 100+3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a=　　　　,a+b=　　　　.(用最简结果作答)  解析:已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)求值:(1)lg+lg; 解:原式=lg=lg 10=1. (2)log89·log2732-(-1)lg 1+log535-log57. 解:原式=×-1+log5=×-1+1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)求下列各式中x的值: (1)lg(10x)+1=3lg x; 解:lg(10x)+1=lg x+1+1=3lg x,即2lg x=2,即lg x=1,x=10. (2)3ln x-6=ln x; 解:3ln x-6=ln x⇒2ln x=6⇒ln x=3,所以x=e3. (3)lg=-2-2lg x; 解:lg=-2-2lg x⇒lg x-1=-2-2lg x⇒3lg x=-1⇒lg x=-,所以x=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)logx(2x)=. 解:logx(2x)=⇒=⇒lg x=-lg 4=lg,所以x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为(　　) √ x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:ln=ln(31.9×1.312) =[ln(31.9)+ln(1.312)]=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)= 4.002 5÷3≈1.334. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设log83=p,log35=q,则lg 5等于 (　　) A.p2+q2 B.(3p+2q) C. D.pq 解析:∵log83===p, ∴lg 3=3plg 2. ∵log35==q,∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5),∴lg 5=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 (　　) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= 解析:由已知,得a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确; +=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确; +=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy. 证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为+=,所以+=,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)(1)根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1, M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R); 解:设x=logaM,则M=ax,所以Mn=(ax)n=anx, 所以logaMn=logaanx=nx=nlogaM,得证. (2)请你运用(1)中的对数运算性质计算的值; 解:===×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4.请判断2 0222 023的位数. (参考数据:lg 2 022≈3.306,100.038≈1.091) 解:设2 0222 023=N,则lg N=2 023lg 2 022≈2 023×3.306=6 688.038, 所以N=106 688.038=100.038×106 688,又1<100.038<10, 所以N有6 689位数,即2 0222 023的位数为6 689. $$