4.2.1 对数运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.2.1 对数运算 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1)⇔logaN=b的等价关系,学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　对数的概念 逐点清(二) 对数与指数的关系 逐点清(三)　对数性质的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　对数的概念 01 多维理解 　　在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为________________,记作b=_______,其中a称为对数的______,N称为对数的______. 以a为底N的对数 logaN 底数 真数 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对数log39和log93的意义一样. (　　) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数. (　　) (4)任何一个指数式都可以化成对数式. (　　) 微点练明 × × √ × 2.已知2x=3,则x= (　　) A.log23 B.log32 C. D. √ 3.已知b=c,则有(　　) A.a2b=c B.=b C.bc=2a D.=b 解析:由题意得(a2)c=b,即=b. √ 4.在M=log(x-3) (x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为 (　　) A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4) 解析:由对数的概念可得 解得3<x<4或x>4. √ 逐点清(二) 对数与指数的关系 02 多维理解 1.对数与指数的关系 当a>0,且a≠1,N>0时,ax=N⇔x=________. 2.对数与指数的关系示意图 logaN 3.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数称为常用对数 ______ 自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数 ______ lg N ln N |微|点|助|解| 　　因为对数是由指数转化而来的,所以底数a,指数或对数x,幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变换. 微点练明 √ 1.已知loga9=-2,则a的值为 (　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析:∵loga9=-2,a>0,且a≠1, ∴a-2=9.解得a=.故选D. 2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　　) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 √ √ √ 解析:选项A中,指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确; 选项B中,指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确; 选项C中,对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确; 选项D中,对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确. 3.求下列各式中x的值. (1)log3x=-3; 解:由题意得x=3-3=. (2)logx49=4; 解:由x4=49,x>0且x≠1,得x=. (3)lg 0.000 01=x; 解:由10x=0.000 01=10-5,得x=-5. (4)ln=-x. 解:由e-x==,得x=-. 逐点清(三)　对数性质的应用 03 多维理解 对数恒等式 =____ (a>0且a≠1);logaab=____(a>0且a≠1) 对数的性质 (1)loga1=____(a>0且a≠1). (2)logaa=_____(a>0且a≠1). (3)0和负数____________ N b 0 1 没有对数 |微|点|助|解| 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2). (2)将有关数值转化成幂的形式,如3=. 微点练明 1.设=25,则x的值等于(　　) A.10 B.13 C.100 D.±1 001 解析:由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13. √ 2.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为 (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.∴x=3.同理y=4,z=2.∴x+y+z=9. 3.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　.  解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. √ 0 4.求下列各式中x的值. (1)log2(log5x)=0; 解:∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1, ∴x=51=5. (2)log3(lg x)=1; 解:∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3, ∴x=103=1 000. (3)x=. 解:x===. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　　) A.e0=1与ln 1=0 B.=与log8=- C.log39=2与=3 D.log77=1与71=7 16 √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:由指对互化的关系ax=N⇔x=logaN可知A、B、D都正确; C中log39=2⇔9=32. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知81=x,则x等于(　　) A.-8 B.8 C.4 D.-4 解析:由题意得()x=81,即=34,则x=8. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.方程=的解是(　　) A.x= B.x= C.x= D.x=9 解析:因为=2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 (　　) A.若M=N,则logaM=logaN B.若logaM=logaN,则M=N C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A中,若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立; B正确; C中,M与N也可能互为相反数; D中,当M=N=0时不正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)下列等式正确的有 (　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10,则x=10 D.若ln x=e,则x=e2 解析:lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确; lg(ln e)=lg 1=0,故B正确; 若lg x=10,则x=1010,故C错误; 若ln x=e,则x=ee,故D错误. 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是 (　　) A.1 B.0 C.x D.y 解析:由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1.∴logx(yx)= log2(12)=0. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是(　　) A.(2,+∞) B. C.(-∞,2) D.∪(1,2) 　 解析:要使式子log(2x-1)有意义,则即解得<x<1或1<x<2.所以x的取值范围是∪(1,2). 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若loga3=m,loga5=n(a>0且a≠1),则a2m+n的值是 (　　) A.15 B.75 C.45 D.225 解析:由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5.∴a2m+n=(am)2·an= 32×5=45. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x均为正数且a,b,c,x≠1),则logx(abc)等于 (　　) A. B. C. D. 解析:由题意得,x=a2=b=c4,所以(abc)4=x7.所以abc=,即logx(abc)=. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.若a>0,=,则loa等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为=,a>0,所以a==,所以loa=3. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息, 可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的(　　) A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg, 30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以==106. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值是(　　) A.98 B.49 C.28 D.14 解析:由对数性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z;因为x=14,所以x2y=196.即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49.故xy=98. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.若log3(log2x)=0,则=　　　　.  解析:∵log3(log2x)=0,∴log2x=30=1, ∴x=2,即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.ln(lg 10)+=　　　　.  解析:ln(lg 10)+=ln 1+4-π=0+4-π=4-π. 4-π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)已知logab=logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). 求证:a=b或a=. 证明:设logab=logba=k,则b=ak,a=bk, 所以b=(bk)k=. 因为b>0,且b≠1,所以k2=1, 即k=±1.当k=-1时,a=; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当k=1时,a=b. 所以a=b或a=,命题得证. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(17分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系. 解:由log3[lo(log3y)]=0, 得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310. 由log2[lo(log2x)]=0, 得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由log5[lo(log5z)]=0, 得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56, ∵310>215>56,∴y>x>z. 16 $$