4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

指数函数性质与图象的应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.进一步熟练掌握指数函数的性质与图象,会求指数型函数的定义域和值域. 2.能利用指数函数的性质与图象解不等式. 3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　指数型函数的定义域、值域 题型(二) 指数型函数的单调性 题型(三)　解指数不等式 4 题型(四)　指数函数性质的综合问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　指数型函数的 定义域、值域 01 [例1]　求下列函数的定义域和值域: (1)y=; 解:由已知得x应满足x-1≠0,∴x≠1. ∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).∵≠0, ∴≠1.∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)y=; 解:定义域为R. ∵|x|≥0,∴y==≥=1. ∴此函数的值域为[1,+∞). (3)y=. 解:由题意知1-≥0,∴≤1=. ∴x≥0.故定义域为[0,+∞). ∵x≥0,∴≤1. ∵>0,∴0<≤1.∴0≤1-<1. ∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0,1). 　　|思|维|建|模|　函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法: 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法: ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域. 针对训练 1.求下列函数的定义域和值域: (1)y=; 解:要使函数式有意义, 则1-3x≥0,即3x≤1=30. 因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0. 故函数y=的定义域为(-∞,0]. 因为x≤0,所以0<3x≤1.所以0≤1-3x<1. 所以∈[0,1). 即函数y=的值域为[0,1). (2)y=. 解:定义域为R. 因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 所以≤=16. 又>0, 所以函数y=的值域为(0,16]. 题型(二) 指数型函数的单调性 02 [例2]　判断f(x)=的单调性,并求其值域. 解:令u=x2-2x,则原函数变为y=. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, 又y=在(-∞,+∞)上单调递减, ∴f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴y=,u∈[-1,+∞). ∴0<≤=3. ∴原函数的值域为(0,3]. 变式拓展 1.把本例的函数改为“f(x)=”,求其单调区间. 解:设t=-x2-x,则原函数变为y=3t. 当x∈时,t=-x2-x单调递增,y=3t单调递增, 因此f(x)=在上单调递增; 当x∈时,t=-x2-x单调递减,y=3t单调递增, 因此f(x)=在上单调递减. 因此函数f(x)=的单调递增区间为,单调递减区间为. 2.本例若变为函数f(x)=在区间(-1,1)上单调递减,求实数m的取值范围. 解:由复合函数的同增异减性质可得,y=2x2+mx-3在(-1,1)上严格单调递增,即-≤-1,解得m≥4. 所以m的取值范围是[4,+∞). 　　|思|维|建|模| (1)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)的复合而成的. (2)求复合函数的单调区间时,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f(φ(x))的单调性. 针对训练 2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b √ 解析:函数f(x)=是由函数y=eu和u=-(x-1)2复合而成的复合函数, y=eu为R上的增函数,u=-(x-1)2在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以c=f=f,又<2-<<1,所以f<f<f,所以b>c>a,故选A. 3.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是　　 　　.  解析:令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间上单调递增,在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4]. (-∞,4] 题型(三)　解指数不等式 03 [例3]　(1)解不等式≤2; 解:∵2=, ∴原不等式可以转化为≤. ∵y=在R上是减函数,∴3x-1≥-1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)已知<(a>0,且a≠1),求x的取值范围. 解: ①当0<a<1时,函数f(x)=ax在R上是减函数, ∴x2-3x+1>x+6.∴x2-4x-5>0. 解得x<-1或x>5; ②当a>1时,函数f(x)=ax在R上是增函数, ∴x2-3x+1<x+6.∴x2-4x-5<0. 解得-1<x<5. 综上所述,当0<a<1时,x的取值范围是{x|x<-1或x>5}; 当a>1时,x的取值范围是{x|-1<x<5}. 　　|思|维|建|模| (1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需要进行分类讨论,即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 针对训练 4.求满足下列条件的x的取值范围: (1)3x-1>9x; 解:∵3x-1>9x,∴3x-1>32x. 又y=3x在定义域R上是增函数, ∴x-1>2x,∴x<-1. 即x的取值范围是(-∞,-1). (2)0.2x<25; 解:∵0<0.2<1,∴指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数. 又25=0.2-2,∴0.2x<25. 即0.2x<0.2-2, ∴x>-2. 即x的取值范围是(-2,+∞). (3)a-5x>ax+7(a>0,且a≠1). 解:当a>1时,∵a-5x>ax+7, ∴-5x>x+7, 解得x<-; 当0<a<1时,∵a-5x>ax+7, ∴-5x<x+7,解得x>-. 综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0<a<1时,x的取值范围是. 题型(四)　指数函数性质的 综合问题 04 [例4]　已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4,定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)确定y=g(x)的解析式; 解:设g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(2)=a2=4,得a=2,故g(x)=2x. (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解:由(1)知f(x)=,且在R上是奇函数,则f(0)==0,易得n=1, 所以f(x)=,由f(-1)==-f(1)=,得2(m+1)=4+m,解得m=2, 所以f(x)==-,在(-∞,+∞)上为减函数,经验证f(x)满足奇函数, 所以f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0恒成立,故Δ=4+12k<0,即k<-,即实数k的取值范围为. 　　|思|维|建|模| 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论. 针对训练 5.已知函数f(x)=为奇函数. (1)求实数a的值; 解:因为函数f(x)=为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 即=-在定义域上恒成立,整理得(a+1)(2x+1)=0,故a=-1. (2)设函数g(x)=log2·log2+m,若对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成立,求实数m的取值范围. 解:由(1)得f(x)==1+,因为x∈(0,1],所以2x∈(1,2],所以≥2,所以f(x)=在x∈(0,1]上的值域A=[3,+∞),又g(x)=log2·log2+m =(log2x-1)(log2x-2)+m,x∈[2,8], 设t=log2x,t∈[1,3],则y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m,当t=时,y取得最小值,最小值为-+m,当x=3时,y取得最大值,最大值为2+m,即g(x)在x∈[2,8]上的值域B=, 又对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成立,即B⊆A,所以-+m≥3,解得m≥,故实数m的取值范围为. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若函数f(x)=(a>0且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若<,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(1,+∞) C.(-∞,1) D. 解析:因为函数y=在R上为减函数,所以2a+1>8-2a,所以a>.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若f(x)=,x∈R,那么f(x)是(　　) A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数　　 解析:由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)=是减函数. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:由题意得y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以x=≥1,解得a≥2.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f(x)=的值域为(　　) A. B. C. D.[2,+∞) 解析:令t=-x2+2x,则t=-(x-1)2+1≤1.因为y=在R上单调递减,所以y≥.故函数f(x)=的值域为.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数y=的定义域是　　　 　.  解析:由题意得-8≥0,即≥8=23, ∴x-1≥3.解得x≥4. [4,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  解析:设g(x)=a·2x-2-x.因为f(x)为偶函数,所以g(x)是奇函数,所以g(0)=0,解得a=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若对于任意的实数x,不等式a+3x+9x>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　 　.  解析:要使原不等式恒成立,即a>-3x-9x恒成立. 因为-9x-3x=-+,其中3x∈(0,+∞),所以-9x-3x∈(-∞,0).因此a≥0. [0,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)设函数f(x)=,a是不为零的常数. (1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围; 解:由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,解得x≥4. 故x的取值范围是[4,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值. 解:当a>0时,f(x)=2ax-10是增函数, 则22a-10=16,所以a=7. 当a<0时,f(x)=2ax-10是减函数, 则2-a-10=16,所以a=-14. 综上,a=-14或a=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=4x-2·-6中x∈[0,3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值; 解:由已知,得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).令t=2x,因为0≤x≤3,所以1≤t≤8. 令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 当t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数. 所以f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围. 解:因为f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立, 所以a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min=-10,所以a≤-10. 故a的取值范围为(-∞,-10]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知函数f(x)=e-|x|,则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(0,1) D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意可知f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)>0.所以不等式f(2a)<f(a-1)成立,需|2a|>|a-1|,解得a<-1或a>,又a>0, 所以a>,即正实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知f(x)=是定义域为R的减函数,则a的取值范围是(　　) A. B. C.(1,+∞) D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,得 故即a∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若函数f(x)=πx-π-x+2 024x,则不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0的解集为　　 　　.  解析:由题可知f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x-πx-2 024x=-(πx-π-x+ 2 024x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=2 024x在R上均为增函数,所以f(x)在R上为增函数,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故该不等式的解集为[1,+∞). [1,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数. (1)求k,b的值; 解:∵f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0且a≠1)是指数函数, ∴k+3=1且3-b=0,解得k=-2,b=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求解不等式f(2x-7)>f(4x-3). 解:由(1)得f(x)=ax(a>0且a≠1). 因为f(2x-7)>f(4x-3), 所以a2x-7>a4x-3. ①当a>1时,f(x)=ax单调递增,则不等式等价于2x-7>4x-3,解得x<-2; ②当0<a<1时,f(x)=ax单调递减,则不等式等价于2x-7<4x-3,解得x>-2. 综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|x<-2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x>-2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知函数f(x)=·x3. (1)求f(x)的定义域; 解:由题意得2x-1≠0,即x≠0, ∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)讨论f(x)的奇偶性; 解:由(1)知,f(x)的定义域关于原点对称. 令g(x)=+=,φ(x)=x3, 则f(x)=g(x)·φ(x). ∵g(-x)===-g(x), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x), ∴f(-x)=g(-x)·φ(-x) =[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x). ∴f(x)=·x3为偶函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)证明:f(x)>0. 解:证明:当x>0时,2x>1,∴2x-1>0, ∴+>0.∵x3>0,∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立. 故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0. $$