4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

4.1.2 指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的概念、性质与图象 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否是指数函数,掌握指数函数的图象与性质. 2.能利用指数函数的图象与性质解决一些简单的应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.指数函数的定义 一般地,函数______称为指数函数,其中a是常数, ____________. y=ax a>0且a≠1 |微|点|助|解| 　　指数函数解析式的特点 ①底数是大于0且不等于1的常数. ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上. ③ax的系数必须为1. ④指数函数等号右边不能是多项式,如y=2x+1不是指数函数. 2.指数函数的性质与图象   a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 _____ 值域 值域为_________,即对任何实数x,都有ax>0 过定点 过定点_______,即x=0时,y=1 函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时, ________ 当x>0时, ________; 当x<0时, ______ 单调性 在R上是增函数 在R上是________ 对称性 y=ax与y=的图象关于______对称 R (0,+∞) (0,1) 0<y<1 0<y<1 y>1 减函数 y轴 续表 |微|点|助|解| (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时,有a0=1,故指数函数过定点(0,1). (3)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近y轴. (4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 基础落实训练 1.若函数y=(a-2)ax是指数函数,则 (　　) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1 解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,则a-2=1,a>0,且a≠1,解得a=3,故选C. √ 2.函数y=3-x的图象是 (　　) √ 3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　 　　.  解析:令x+1=0,得x=-1,此时y=1+2=3,即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1,3). 4.函数f(x)=3x+1的值域为　　　 　 .  解析:∵3x>0,∴3x+1>1,即函数的值域是(1,+∞). (-1,3) (1,+∞) 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　指数函数的概念及其应用 [例1]　(1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则 (　　) A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且a≠1 解析:因为函数y=a2(2-a)x是指数函数,所以即a=-1. √ (2)已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)=　　　　.  解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1),由f=,得===, 所以a=5,即f(x)=5x.所以f(3)=53=125. 125 　　|思|维|建|模| 判断指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 针对训练 1.给出下列函数:①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x;⑥y=.其中指数函数的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 √ 解析:①中,3x的系数是2,故①不是指数函数; ②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数; ③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数; ④中,y=x3的底数为自变量,指数为常数,故④不是指数函数; ⑤中,底数-2<0,不是指数函数; ⑥中y==()x是指数函数. 2.若点(a,27)在函数y=()x的图象上,则的值为(　　) A. B.1 C.2 D.0 解析:点(a,27)在函数y=()x的图象上,所以27=()a,即33=,所以=3,解得a=6,所以=.故选A. √ 题型(二)　指数函数的图象及其应用 [例2]　(1)下列几个函数的图象如图所示,①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.则a,b,c,d与0和1的关系是 (　　) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d √ 解析:由指数函数图象知当底数大于1时为增函数,并且底数越大增加的越快,所以c>d>1.当底数大于0小于1时为减函数,并且底数越小减小的越快,所以1>a>b>0.所以0<b<a<1<d<c. (2)函数y=|2x-2|的图象是 (　　) √ 解析:y== 当x<1时,0<2x<2,y=2-2x∈(0,2),画出函数y=的图象,如图所示,故选B. 变式拓展 1.本例(2)变为函数y=|2x-2|的图象与直线y=m有1个交点,则实数m的取值范围是　　　 　.  解析:由(2)得函数y=|2x-2|的图象,结合图象知,函数与直线y=m有1个交点,实数m的取值范围为{0}∪[2,+∞). {0}∪[2,+∞) 2.本例(2)变为直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围. 解:画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1). 　　|思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略 (1)指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 针对训练 3.(多选)若函数y=ax-(b+1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有 (　　) A.0<a<1 B.b<0 C.a>1 D.b>0 √ √ 解析:由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、二象限,且恒过点(0,1).而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向上或向下平移|b+1|个单位长度得到的.如图,若函数y=ax-(b+1)的图象在第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,所以a>1,b>0.故选CD. 题型(三)　比较大小 [例3]　比较下列各组数的大小: (1)0.8-0.1,1.250.2; 解:∵1.250.2=0.,0<0.8<1, 指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数, ∴0.8-0.1<0.8-0.2=1.250.2. (2)(1-a)1-a,(1-a)a; 解:∵<a<1,∴0<1-a<a<1. 又y=(1-a)x在(-∞,+∞)上为减函数, ∴(1-a)a<(1-a)1-a. (3)1.70.3,0.93.1; 解:∵1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, ∴0.93.1<1.70.3. (4)0.30.2,30.3,(-0.3,0.20.3,20.5,(-0.3. 解:①首先与0比较,找出负数(-0.3,(-0.3. ∵0.>0.,∴(-0.3<(-0.3. ②再与1比较,找出大于1的数30.3,20.5. ∵30.3÷20.5=÷=2÷3=<1, ∴30.3<20.5. ③再比较大于0且小于1的数0.30.2,0.20.3,找一个中间数0.30.3. ∵0.30.2>0.30.3,=>1, ∴0.30.3>0.20.3.∴0.30.2>0.20.3. 综上,得(-0.3<(-0.3<0.20.3<0.30.2<30.3<20.5. 　　|思|维|建|模| 比较两个幂值大小的常用方法 (1)对于底数相同,指数不同的两个幂,可以利用指数函数的单调性来比较. (2)对于底数不同,指数相同的两个幂,可以利用指数函数图象的变化规律来比较. (3)对于底数不同且指数也不同的两个幂,可以通过中间值0或1来比较. (4)对于三个(或三个以上的)数,则应先根据值的大小(特别是与0,1的大小作比较)进行分组,再比较各组数的大小. 针对训练 4.下列大小关系正确的是 (　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 解析:0.43<0.40=1=π0=30<30.4. √ 5.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1, ∴1.50.6>0.60.6. 又函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减函数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6. 故0.61.5<0.60.6<1.50.6. √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.(多选)若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是(　　) A.a=8 B.f(0)=-3 C.f=2 D.a=4 解析:因为函数f(x)是指数函数,所以a-3=1,所以a=8.所以f(x)=8x.所以f(0)=1,f==2,故B、D错误,A、C正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=的图象是(　　) 解析:当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵0<a<1,∴y=ax的图象过第一、二象限,经过(0,1),且y=ax是减函数.y=ax+b的图象可看成是把y=ax的图象向下平移-b(-b>1)个单位得到的,故函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.(多选)下列大小关系正确的是 (　　) A.1.>1.7-3 B.1.70.3<1.50.3 C.1.70.3<0.83.1 D.0.8-0.1<1.250.2 解析:∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵-2.5>-3,∴1.>1.7-3,A正确. ∵1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的图象位于y=1.5x的图象的上方.又0.3>0, ∴1.70.3>1.50.3,B错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1, ∴1.70.3>0.83.1,C错误. ∵0<0.8<1,∴y=0.8x在R上是减函数. ∵-0.2<-0.1,∴0.>0.8-0.1, 即0.8-0.1<1.250.2,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为(　　) A.10 B.9 C.8 D.5 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题设可得方程组由2ae5n=a⇒e5n=,代入ae(m+5)n=⇒emn=,联立两个等式可得解得m=5.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得0<a-1<1,则1<a<2. (1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.对于任意a>0且a≠1,函数f(x)=amx+n+b的图象恒过定点(1,2). 若f(x)的图象也过点(-1,10),则 f(x)=　　 　　.  解析:因为函数f(x)=amx+n+b的图象恒过定点(1,2),所以所以n=-m,b=1,所以f(x)=am(x-1)+1.又f(x)的图象也过点(-1,10), 所以f(-1)=a-2m+1=10.又am>0,解得am=,所以f(x)=+1. +1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若函数y=2x-1+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 　　　 　.  解析:函数y=2x-1的图象过点,至少向下平移个单位长度才能使图象不过第二象限,即-m≥,故m≤-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)画出函数y=|2x-1|的函数图象,根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 解:函数的图象如图所示,由图象可知,函数的定义域为R;值域为[0,+∞);在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;有最小值为0,无最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值; 解:由已知,得a2=,∵a>0且a≠1,∴a=. (2)若g(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 解:当x≤0时,g(x)=f(x)=, 设x>0,则-x<0, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则g(-x)==3x,因为g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=g(-x)=3x, 所以函数g(x)的解析式为g(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)已知实数a,b满足=,给出下面几种关系,则其中可能成立的是(　　) A.0<a<b B.0<b<a C.a<b<0 D.b=a √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:在同一坐标系中作出函数y=与函数y=的图象,如图所示. 若=>1,则a<b<0; 若=<1,则0<b<a; 若==1,则b=a=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知定义域为R的函数满足以下两个条件:①对任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)·f(y);②f(x)在R上单调递增.请写出一个同时满足上述两个条件的函数f(x)的解析式　　 　　.  解析:由f(x+y)=f(x)·f(y),可知指数函数满足该条件要求.又f(x)是R上的增函数,则指数函数的底数要a>1,故f(x)=ax(a>1)均满足题意.故答案可以是f(x)=2x. f(x)=2x(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值. 解:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递减, 所以最大值f(x)max=f(1)=a1=a,最小值f(x)min=f(2)=a2, 所以a-a2=,解得a=或a=0(舍去); 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递增, 所以最大值f(x)max=f(2)=a2,最小值f(x)min=f(1)=a1=a, 所以a2-a=,解得a=或a=0(舍去). 综上所述,a=或a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图所示,求a,b的值; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:(1)由题图知f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以又a>0,且a≠1, 所以a=,b=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围. 解:由(1)知f(x)=()x-3, 则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示, 要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根, 则m=0或m≥3. 故m的取值范围为[3,+∞)∪{0}. $$