4.1.1 实数指数幂及其运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

第四章 指数函数、对数函数与 幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 (教学方式:基本概念课— 逐点理清式教学) 课时目标 1.理解n次方根、根式的概念.　　　　 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.掌握根式与分数指数幂的互化. 4.掌握有理数指数幂的运算性质. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　根式 逐点清(二)　分数指数幂 逐点清(三)　指数幂的运算 4 逐点清(四)　指数幂运算中的条件求值 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　根式 01 多维理解 1.a的n次方根 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得________,则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 (1)当有意义的时候,称为根式, ____称为根指数,a称为被开方数. (2)根式的性质: ①()n=_____.② = xn=a n a |微|点|助|解| (1)对于()n=a,若n为奇数,则a∈R;若n为偶数,则a≥0. (2)()n与意义不同,比如=-3, =3,而()4没有意义,故()n≠. (3)当a≥0时,()n=;当a<0且n为奇数时,()n=;当a<0且n为偶数时,对于要注意运算次序. 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| 解析:负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误; 16的4次方根有两个,为±2,故B正确; =3,故C错误; 是非负数,所以=|x+y|,故D正确. 微点练明 √ √ 2.若 + 有意义,则a的取值范围是(　　) A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:∵∴a≥1. √ 3.若2<a<3,则+的化简结果是(　　) A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 解析:原式=|2-a|+|3-a|. ∵2<a<3,∴原式=a-2+3-a=1. √ 4.计算:+ - =　 　　.  解析:+-=-8+1-(2-)=-9+. -9+ 逐点清(二)　分数指数幂 02 多维理解 相关概念 正分数指数幂 当a>0时,规定=_____,=()m=(n,m∈N+, 且为既约分数) 负分数指数幂 当a>0时,规定=(n,m∈N+) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于___,0的负分数指数幂_________ 0 没有意义 |微|点|助|解| (1)分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 微点练明 √ 1.化简的结果是(　　) A. B. C. D.x6 解析:利用分数指数幂与根式的互化可得=. 2.若有意义,则x的取值范围是(　　) A.(-∞,+∞) B.∪ C. D. 解析:因为=, 所以1-2x>0,解得x<. √ 3.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　) A.-= B.=(y>0) C.=(x>0) D.=(x<0) √ √ 解析:-=-,A错误; ==(y>0),B正确; ==(x>0),C正确; ==(x<0),D错误.故选BC. 4.把根式化为分数指数幂,把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1); 解:=. (2); 解:=2. (3)(a+b; 解: (a+b=. (4). 解:=(x3+y. 逐点清(三)　指数幂的运算 03 1.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=_____(s,t∈Q); (2)(as)t=______(s,t∈Q); (3)(ab)s=______(s∈Q). as+t ast asbs 2.实数指数幂 一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的______,有理数指数幂的运算法则对于无理数指数幂同样适用. 因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂at都有意义,对任意实数s和t,类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立. 实数 [例1]　计算与化简: (1)-++-3-1; 解:原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=. (2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); 解:原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)2÷4 ×3; 解:原式=2÷(·)·(3) =·3=. (4)·(a>0,b>0). 解:原式=····=a0b0=. 　　|思|维|建|模| 1.利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. 2.化简指数幂常用技巧 (1)=(ab≠0). (2)a=,=(式子有意义). (3)1的代换,如1=a-1a,1=等. 针对训练 1.化简(a,b为正数)的结果是(　　) A. B.ab C. D.a2b 解析:原式==·=,故选C. √ 2.计算与化简: (1)+-10( -2)-1+(-)0; 解:原式=·+- +1=+-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. (2)(z-1)·(x>0,y>0,z>0). 解:原式=(z-1)·(z-1) =z1=xz-2. 逐点清(四)　指数幂运算中的 条件求值 04 [例2]　已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1; 解:将+=3两边平方, 得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. (2)a2+a-2; 解:将a+a-1=7两边平方, 可得a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47. (3). 解:∵+=()3+()3 =(+)(a-·+a-1) =3(a+a-1-1)=3(7-1)=18, 而a2+a-2=47,∴原式===3. 　　|思|维|建|模| (1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0): ①a±2+b=(±)2; ②(+)(-)=a-b; ③+=(+)(a-+b); ④-=(-)(a++b). 针对训练 √ 3.已知10m=2,10n=4,则1的值为(　　) A.2 B. C. D.2 解析:1====. 4.已知a2x=+1,则=(　　) A.2-1 B.2-2 C.2+1 D.+1 解析:令ax=t,则t2=+1,所以===t2+t-2-1= +1+-1=+1+-1-1=2-1. √ 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.化简+的结果是(　　) A.0 B.2(b-a) C.0或2(b-a) D.2(a-b) 解析:+=+(b-a). 当a≥b时,原式=a-b+(b-a)=0; 当a<b时,原式=b-a+(b-a)=2(b-a). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.=-3 B.49的四次方根为7 C.当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义 D.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:对于A,=-3,故A正确; 对于B,49的四次方根为,B错误; 根据指数幂的运算法则可知C、D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.化成分数指数幂为(　　) A. B. C. D. 解析:原式===(=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 (　　) A.(-)6=a-b B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b 解析:A显然错误; B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立; C和D中,∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|.故C和D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若+=3,则的值为(　　) A. B. C. D. 解析:因为+=3,a>0,所以=9,a+=7,即==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.-+2560.75-3-1+2×70的值是(　　) A.105 B.33 C.69 D.-23 解析:由题意得-+2560.75-3-1+2×70=-(-6)2+ -+2=(0.3)-1-36+26-+2=-36+64-+2=33. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若0<a<1,b>0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于(　　) A. B.2或-2 C.-2 D.2 解析:由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1,a-b>1,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.设2a=5b=m,且+=2,则m=(　　) A. B.10 C.20 D.100 解析:∵2a=m,5b=m,∴2=,5=. ∴2×5=·=.又+=2, ∴m2=10.∴m=或m=-(舍去). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.,,这三个数的大小关系为　(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析:===,===,=.因为<<,所以<<. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是 (　　) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b 解析:因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正确; 易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时取等号,又因为10a≠102b,即a≠2b,所以等号不成立,所以ab<,故B正确; √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10a+b=10a·10b=2×=2>4,故C正确; 由(10a)2=102a=4<5=102b,得a<b,故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.将用有理数指数幂的形式表示为　　　　.  解析:==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.计算:+(-1)-1÷0.75-2+=　　　　.  解析:+(-1)-1÷0.75-2+=+(-1)÷+= +(-1)×+=-+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y=　　　　.  解析:由2x=8y+1,得2x=23y+3, 所以x=3y+3.① 由9y=3x-9,得32y=3x-9,所以2y=x-9.② 联立①②,解得x=21,y=6,所以x+y=27. 27 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(17分)计算: (1)+(0.1)-2+-100π0; 解:原式=+102+-100=+100+-100=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知x+y=11,xy=9,求的值. 解:∵x+y=11,xy=9, ∴+==,x2+y2=(x+y)2-2xy=103,∴原式=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(18分)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值. 解:∵ax=70ω,且x,ω为非零实数, ∴=7. 同理可得=,=. ∴··=7··7, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即=7. 又++=,a,b,c为正整数, ∴abc=70=2×5×7. ∵a≤b≤c, ∴a=2,b=5,c=7. $$