2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用；理解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 逐点清(二)　一元二次方程根的判别式的应用 逐点清(三)　一元二次方程根与系数的关系的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 01 多维理解 (1)“化”：将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1； (2)“移”：将常数项移到方程右边； (3)“配”：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数； (4)“解”：若右边是非负数，则直接开平方求解；若右边是一个负数，则此方程无实数解． 微点练明 √ 1．用配方法解一元二次方程x2－6x＝1时，方程两边应同时加上(　 ) A．3 B．9 C．6 D．36 解析：x2－6x＝1两边应同时加上9，变为(x－3)2＝10. 2．用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为(　 ) A．(x＋2)2＝1 B．(x＋2)2＝9 C．(x－2)2＝9 D．(x－2)2＝1 解析：由x2＋4x－5＝0可得x2＋4x＝5，则x2＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)2＝9. √ 3．用配方法解下列方程： (1)3x2－6x＋2＝0； 逐点清(二)　 一元二次方程根的判别式的应用 02 多维理解 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是________，通常用符号__来表示．利用根的判别式，不解方程就可以判断方程根的情况：当______时，方程有两个不相等的实数根；当______时，方程有两个相等的实数根；当_____时，方程没有实数根． 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设这个方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝_____，x1x2＝____ . b2－4ac Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 |微|点|助|解|　 只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac.(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”． 微点练明 √ 1．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(　 ) A．有两个相等的实数根 　 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 　　 D．无法确定 解析：所给的一元二次方程中，a＝1，b＝－2(k＋1)，c＝－k2＋2k－1，故Δ＝b2－4ac＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2>0.所以此方程有两个不相等的实数根． 2．已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； 解：关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 逐点清(三)　一元二次方程根与系数的关系的应用 03 [解]　①∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根， ∴Δ≥0， |思|维|建|模| 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值． [提醒]　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.　　 针对训练 √ 1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　 ) A．5 B．－1 C．2 D．－5 解析：设另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1. 2．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分90分，选填小题每题5分) 1．用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是(　 ) A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1 解析：由x2－6x－8＝0，得x2－6x＋32－32－8＝0.整理得(x－3)2－17＝0，即(x－3)2＝17. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知关于x的方程x2－mx＋1＝0有两个相等的实数根，下列选项中m可以取的值是(　 ) A．4 B．2 C．0 D．－1 解析：由已知，得Δ＝m2－4＝0，即m＝±2，所以选项中m可以取的值是2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3．若关于x的一元二次方程(k－2)x2＋x＋k2－4＝0有一个根是0，则k的值是(　 ) A．－2 B．2 C．0 D．－2或2 解析：由已知，得k2－4＝0且k－2≠0，解得k＝－2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　 ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 解析：由题知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　 ) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0.又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(多选)等腰三角形三边长分别为a，b,3，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，则m的值为(　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：①当3为底时，则a＝b.因为a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，所以a＋b＝8，解得a＝b＝4，此时三角形的三边为3,4,4，这样的三角形存在，所以ab＝m－1＝16，得m＝17；②若3为腰长时，则a，b中有一个为3，不妨设a＝3，因为a，b是关于x的一元二次方程x2－8x－1＋m＝0的两根，所以a＋b＝8，得b＝8－3＝5，此时三角形三边为3,3,5，这样的三角形存在，所以ab＝m－1＝15，得m＝16.综上，m＝17或m＝16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根(x1<x2)，且x1＋x2＝1，则x1＝______，x2＝____. 解析：由题知，x1＋x2＝m＝1，则原方程为x2－x－6＝0，解得x1＝－2，x2＝3. －2　 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：方程两边同除以3，得x2－2x＋＝0. 移项，得x2－2x＝－. 配方，得x2－2x＋(－1)2＝－＋(－1)2， 即(x－1)2＝， ∴x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－， ∴方程的解集为. (2)－x2＋x－＝0. 解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0.移项， 得x2－5x＝－. 配方，得x2－5x＋2＝－＋2， 即2＝，∴x－＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴方程的解集为. － 解得m≥－且m≠－1. 综上可知，m的取值范围为. 解：∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 解得m＝－. ∴方程为－x2－3x－＝0. 两边同时乘以－2， 得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 故当m＝－时，方程有两个相等的实数根－3. [典例]　(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求＋的值； [解]　(1)由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3， ∴＋＝ ＝ ＝＝10. (2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． ①求k的取值范围； ②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1) ＝－8k＋5≥0， 解得k≤，即k的取值范围为. ②由题知，x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3. ∵x＋x＝11，∴2k2－6k＋3＝11， 解得k＝4或k＝－1， ∵k≤，∴k＝－1. 解：根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0， 解得m≥－.∴m的最小整数值为－2. 解：根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2. ∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2 ＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21. 整理得m2＋4m－12＝0，解得m1＝2，m2＝－6. ∵m≥－，∴m的值为2. 4．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　 ) A． 　 B． C．(－∞，0)∪ 　　 D．∪(0，＋∞) 解析：若满足题意，则需m≠0，且Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－，且m≠0. 5．一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是(　 ) A．x1＝x2＝ 　 B．x1＝0，x2＝－2 C．x1＝，x2＝－3 　 D．x1＝－，x2＝3 解析：由求根公式得x＝ ＝＝－±2， ∴x1＝，x2＝－3. 7．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　 ) A．2 B．－1 C．2或－1 D．不存在 解析：由题知，解得m>－1且m≠0.∵x1＋x2＝，x1x2＝，∴＋＝＝＝4m，∴m＝2或m＝－1.∵m>－1且m≠0，∴m＝2. 9．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程x2＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，且方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，则△ABC的形状为(　 ) A．等腰但不等边三角形 　 B．直角三角形 C．等边三角形 　 D．钝角三角形 解析：因为方程x2＋x＋c－a＝0的解集只有一个元素，所以Δ＝()2－4××＝0，即a＋b＝2c　①.又因为方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，所以a＝b　②.由①②可得a＝b＝c，即△ABC为等边三角形． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________. 解析：由题知，x1＋x2＝5，x1x2＝a.∵x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，∴x1－x2＝2，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，∴a＝. 13．若关于x的方程(x－2a)(ax＋1)＋4＝0的解集为，则实数a的值为________． 解析：关于x的方程(x－2a)(ax＋1)＋4＝0，可化为ax2＋(1－2a2)x－2a＋4＝0.因为方程(x－2a)(ax＋1)＋4＝0的解集为，所以2和是方程ax2＋(1－2a2)x－2a＋4＝0的两个实数根，可得＝2×，解得a＝. 解：由题知，⇒ ∴k<且k≠1， 故k的取值范围为(－∞，1)∪. 解：若x1＋x2＝0，即－＝0，k＝. 由(1)可知，这样的k不存在． 15．(13分)已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此菱形的边长； 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD． 又∵Δ＝m2－4＝m2－2m＋1＝(m－1)2， ∴当(m－1)2＝0，即m＝1时，四边形ABCD是菱形． 把m＝1代入x2－mx＋－＝0，得x2－x＋＝0， ∴x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是. 解：把x＝2代入x2－mx＋－＝0， 得4－2m＋－＝0，解得m＝. 把m＝代入x2－mx＋－＝0， 得x2－x＋1＝0. 解得x1＝2，x2＝，∴AD＝. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的周长是2×＝5. $$