2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 例1已知关于x的一元二次方程3x2- 学习目标 2x+h0,根据下列条件，分别求出k的取值 1.掌握求一元二次方程解集的三种常用 范围， 方法：十字相乘法、配方法、公式法 (1)方程有两个不相等的实数根. 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并 (2)方程有两个相等的实数根， 会用其判断根的个数 (3)方程有实数根， 3.掌握一元二次方程的根与系数的关 (4)方程无实数根. 系，并会用其求一些关于方程两根的代数式 的值 4.学会换元法解一元二次方程，体会 数学学习过程中化繁为简解决问题的基本 方法。 5.通过对一元二次方程实根个数的讨 论，理解分类讨论的数学思想，提升逻辑推 理的数学素养。 要点精析 变式训练1 要点14=b2-4ac的取值与根的个数间 解关于x的一元二次方程x2-(k+4)x+h=0. 的关系 △=b2-4ac 根的情况 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相 4>0 等的实数根，即=-b+V-4ac 2a x2=-b-VB2-4ac 2a 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等 4=0 的实数根，即名=会 △<0 方程a2+bx+c=0(a≠0)无实数根 26)学 第二章等式与不等式。 例2若关于x的不等式x-号<1的解 川要点2一元二次方程根与系数的关系： 集为{xx<),试判断关于x的一元二次方 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 程x2+ax+1=0的根的情况 (a≠0)的两个根，则x+,=-b,xx,= a a 分析先求出a再判断根的个数 应用一元二次方程的根与系数的关系 (I)解一元一次不等式，利用解集求a. 时，常有以下变形： (2)△=2-4，利用△>0，△=0，△<0的 (1）X斤+x号=(x7+2x1x2+x)-2x1x2 情况讨论根的情况. =(x1+x2)2-2x1x2, (2）(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (3)x1-x2=V(x1-x2)2=V(x+x2)2-4x1. (4)L+L=+ X1 X2 X1X2 (5)+1=x5+好=(c+)?-2心2 x1x2X比2 尤比2 例3已知方程2x2+3x-4=0的两根为x1 与2，求下列各式的值. (1)x+x. 变式训练2 (2)lx1-x2. 求证：关于x的一元二次方程mx+(m- 3)x-3=0总有两个实数根 反思感悟 利用一元二次方程根与系数的关系求 由方程两根构成的代数式的值时，关键是 把未知的代数式进行恒等变形，转化为含 有x+2和x2的代数式，然后整体代入求值. 学 27 高中数学必修第一册人教B版 变式训练③ 数学文化 已知方程x2-3x+1=0的两根为x1与x2, 例《九章算术》第九章“勾股”问题 求下列各式的值 二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北 (1）x+x. 门二十步有木，出南门一十四步，折而西行 (2)也+1 一千七百七十五步见木，问邑方几何 X1 X2 根据题中的描述可画出示意图如图 2-1-1所示，其中A点代表北门，B处是 木，C点代表南门，而且AB=20,CD=14, DE=1775.问邑方边长多少步 图2-1-1 例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0), 方程f(x)-x=0的两个根x1,。满足0<x1<x2< 1.当x∈(0，x)时，证明：fx)K: a 分析已知x1,?2是二次方程f八x)-x= 0的两个根，所以f(x)-x可设为双根式 a(x-x)(x-2). 28)学N 高中数学必修第一册人教B版 21.2一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 例1解：△=(-2)2-4×3h=4(1-3k). (1):方程有两个不相等的实数根， 40.即41-3)>0，<兮 (2):方程有两个相等的实数根， 40,即4(1-3)0，k=分 (3)方程有实数根， 4≥0，即4(1-3k)≥0，k≤ 3 (4).方程无实数根， 40,即41-3)0，k>3 变式训练1解：△=[-(k+4)]2-4x1=k2+4h+16=(k+2)2+ 12>0,.方程有两个不相等的实数根，：= +4-V+2+ID,=(k+4)+V+2P+2 2 2 例2解：解不等式x?<1,得+号，而不等式x号 <1的解集为<小，l+号山，解得a-0,.一元二次 方程的根的判别式△=2-4=-4<0，.关于x的一元二次 方程x2+ax+1=0没有实数根. 变式训练2证明：·4=(m-3)2-4×m×(-3)=m2+6m+9= (m+3)2≥0，.方程总有两个实数根， 例3解：由一元二次方程根与系数的关系， 得g子，=-2 3 (1)利用根与系数关系公式的变形， 可知+=(+a八-2w=3了-2xX(-2)空 (2)(-6广=6c*g-43-4x-2)- l-VP=V4年 2 变式训练3解：：方程x2-3x+1=0的两根为：与x2, .x1+x2=3,x化=1. （1)x+2=(1+2)(行-x2+)=(x+)[(x1+)尸-3x] =3×(32-3×1)=18. (2)点+女=+=t22-2x西=3-2x1=7 1x22 尤比2 1 例4证明：令F(x)=fx)-x.x1,2是方程f(x)-x=0的 根，∴F(x)=a(-x)(x-). 当x∈(0，x)时，由于x<2,得(x-x)(x-)>0. 又a>0,得F(x)=a(x-x)(x-)>0, 即fx)-x=Fx)>0,x<fx. 32 又x-f(x)=x-[x+F(x)]=x1-[x+a(x-)(x-x2)]=(x x)+a(x1-x)(x-2)=(1-x)[1+a(x-2)]. 0<1 .'∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0, 得xfx)>0,由此f(x)<x.综上，x<f孔x)<x. 数学文化 例解：设正方形的边长为x 则有AF=交DB=20++14=+34. 根据△ABF∽△DBE,可知AF=AB DE DB 从而AFDB=AB·DE 因此56+34)=20x1775. 整理得x2+34x-71000-0, 解得=250或x=-284(舍去). .·.邑方边长250步. 2.1.3方程组的解集 要点精析 例1解：(1)由①，得=2x-3,③ 把③代人②，得3x+4(2x-3)=10,解得x=2. 把=2代人③，得y=1. .原方程组的解集为{(2,1)小. (2)①x2,得2x+4y=6,③ ③+②，得5x=10,解得x=2. 把-2代人①，得2+2=3，解得2 原方程组的解集为2.分小 变式训练1解：(1)设A,B两种型号台灯每盏分别 为x,y元，由题意，可 2x+6-610.解得50答： (6x+21y=470, (y=85. A,B两种型号台灯每盏分别为50元、85元. (2)设能采购B型台灯a盏，由题意，可得50(30 a)+85a≤2200，解得a≤20.答：最多能采购B型台灯 20盏. 例2解：把③分别代人①②.得5+=12， l6y+5z=22, 解得2， z=2. 把y=2代入③，得x=8. .原方程组的解集为{(8,2,2) x+y+z=26,① 变式训练2解：方程组为x-y=1,②由③-①， 2x-y+z=18,③