1.2.3 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

1.2.3 充分条件、必要条件 充分条件与必要条件、充要条件 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件与必要条件 逐点清(二)　充要条件 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　充分条件与必要条件 01 多维理解   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p___q 条件关系 p是q的______条件，q是p的______条件 p不是q的______条件，q不是p的_____条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的__________； 性质定理给出了相应数学结论成立的__________ ⇒ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件 |微|点|助|解|　 (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同． (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　 ) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　 ) (3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立． (　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件． ( 　 ) × × √ × ⇒ ⇔ √ 3．下列是“四边形是矩形”的充分条件是(　 ) A．四边形的对角线相等 B．四边形的两组对边分别相等 C．四边形有两个内角都为直角 D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 解析：四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误；四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确． √ 4．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　 ) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 √ √ 解析：由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意． √ 5．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　 ) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 √ √ 解析：A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0可以推出ab＝0，符合题意． 逐点清(二)　充要条件 02 多维理解 (1)如果p⇒q且q p，则称p是q的____________条件． (2)如果p q且q⇒p，则称p是q的___________条件． (3)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的_________条件(简称为______条件)，记作______，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 充分不必要 必要不充分 充分必要 充要 p⇔q |微|点|助|解|　 1．条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 2.从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 微点练明 √ 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题正确的是(　 ) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D．“a<5”是“a<3”的必要不充分条件 √ √ 解析：由ac＝bc，得ac－bc＝0，即c(a－b)＝0，故c＝0或a＝b，所以a＝b是ac＝bc的充分不必要条件，所以A不正确；因为a＋5是无理数，5是有理数，所以a是无理数，若a是无理数，则a＋5是无理数，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以B正确；若0>a>b，则a2<b2，所以“a＞b”不是“a2＞b2”的充分条件，所以C不正确；a<5推不出a<3，若a<3，则a<5，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，所以D正确． 3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件． 解析：a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0. 充要 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 03 √ (2)设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　 ) A．a，b都为1 　　 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 　　 D．a，b都不为0 [解析]　由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1， 故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C． √ |思|维|建|模| 1．探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合． 2．探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立． (2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件． 针对训练 √ √ 2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是(　 ) A．2＜x≤3 B．0≤x＜1 C．0＜x≤2 D．1＜x＜2 解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2}⊆{x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2}⊆{x|0＜x＜3}，故选C、D． √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ (满分80分，选填小题每题5分) 1．若集合A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：∵A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或a＝3，即a＝3⇒A⊆B，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 2．俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的(　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 解析：“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 3．(多选)下列选项中，可以是x2<4的一个必要条件的是(　 ) A．－2<x<2 B．－2≤x≤2 C．0<x<2 D．－2<x<0 解析：∵x2<4，∴－2<x<2，∴A、B是x2<4的必要条件． √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 4．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2,2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 5．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　 ) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 6．等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是(　 ) A．ab＝0 B．ab<0 C．ab≥0 D．ab≤0 解析：|a＋b|＝|a|＋|b|⇔(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔ab＝|ab|⇔ab≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 7．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　 ) A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由已知得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选B、D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件． 必要　 充分 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件． 解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A⊆B，则(A∪B)＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件． 充要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11．(10分)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； 解：菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件． (2)对角线互相垂直的矩形； 解：矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)对角线相等的平行四边形； 解：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件． (4)有一个角是直角的菱形． 解：菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13．(10分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由． 解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0， 即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件． 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件． 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 2．从符号“⇒”“”“⇔”中选择适当的一个填空： (1)x2>1____x>1； (2)a，b都是偶数____a＋b是偶数； (3)x2＝1____|x|＝1； (4)n是偶数____n是4的倍数． 关系 AB BA A＝B 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [典例]　(1)使“x≤－或x≥3”成立的一个充分不必要条件是(　 ) A．x＜0 　　 B．x≥0 C．x∈{－1, 3, 5} 　　 D．x≤－或x≥3 [解析]　对于A，x<0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于C，x∈{－1,3,5}可以推出x≥3或x≤－，反之不能，是其充分不必要条件； 对于D，x≤－或x≥3，是其充要条件． 1．“a<0，b<0”的一个必要条件为(　 ) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．>1 D．<－1 解析：对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．故选A． 解析：A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件． 8．使不等式0<<1 成立的一个充分不必要条件可以是(　 ) A．0<x< B．x>1 C．x>2 D．x>0 解析：由0<<1⇒⇒x>1(其成立的充分不必要条件需为{x|x>1}的真子集)，所以结合选项知，使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件可以是x>2. 12．(10分)设A＝{a＋b||a2－2b2|＝1，a，b∈Z}，现有以下三个条件： 甲：x∈A且y∈A；乙：xy∈A；丙：∈A． 求证：甲分别是乙和丙的充分条件． 证明：设x＝a＋b，y＝c＋d，则|a2－2b2|＝1，a，b∈Z，|c2－2d2|＝1，c，d∈Z， 则xy＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋2bd)＋(bc＋ad)，显然ac＋2bd，bc＋ad∈Z. 因为(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2＝(a2－2b2)(c2－2d2)，a，b，c，d∈Z， 所以|(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2|＝|(a2－2b2)(c2－2d2)|＝1，a，b，c，d∈Z， 所以xy∈A．所以甲是乙的充分条件． 因为＝＝＝－， 且|a2－2b2|＝1，a，b∈Z， 所以若a2－2b2＝1，则＝a－b∈A；若a2－2b2＝－1，则＝－a＋b∈A． 所以甲是丙的充分条件． 综上，甲分别是乙和丙的充分条件． $$