1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦充分条件与必要条件，从命题结构入手，通过“如果p那么q”形式引出推出符号，结合集合知识阐释概念，关联判定定理与性质定理，构建从基础到应用的学习支架。 资料设计多样题型与分层练习，涵盖命题改写、条件判断及参数范围问题，强调定义法与集合法等思维方法，培养数学抽象与逻辑推理素养，助力学生自主探究，提升问题解决能力。

数学 必修 第一册RJB 1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 教学重点：1.理解充分条件与必要条件的意义.2.会判断条件与结论之间的充分性或必要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充分性或必要性． 核心素养：1.通过对充分条件、必要条件概念的学习培养数学抽象素养.2.通过对充分条件、必要条件的判断培养逻辑推理素养． 知识点一　命题的结构 在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 知识点二　充分条件、必要条件 (1)当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [拓展]　对于“p⇒q”有以下几种解释： ①“若p，则q”形式的命题为真命题． ②由条件p可以得到结论q. ③只要有条件p，就一定有结论q. ④q是p的必要条件或p的必要条件是q. ⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出． ⑥一旦q不成立，p一定也不成立． ⑦q对于p的成立是必要的． (2)充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解． 一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B(如图所示)，那么p(x)⇒q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件． [注意]　(1)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分条件． (2)必要条件也不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件． 知识点三　充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系 (1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 1．(命题的结构)将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若p，则q”的形式为________________． 答案：若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分 2．(充分条件)a，b都是偶数________a＋b是偶数(填⇒或)． 答案：⇒ 3．(必要条件)“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件． 答案：必要 题型一　命题的结构形式　 　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当m2＝n2时，m＝n； (4)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． [解]　(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． (3)若m2＝n2，则m＝n，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论． (4)若一个点在一条线段的垂直平分线上，则该点与这条线段两个端点的距离相等，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． [条件探究]　如果把本例(3)中的“m2＝n2”改为“m3＝n3”，怎样解答呢？ 解：若m3＝n3，则m＝n，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 【感悟提升】　 1．命题改写的相关策略 (1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”． (2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如“在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”中，大前提“在同一平面内”是必不可少的． 2．判断命题真假的方法 (1)反例法：通过构造反例否定一个命题，是判定一个命题为假命题的常用方法． (2)直推法：由条件出发，运用相关的定义、性质、定理等，通过逻辑推理来推断命题的真假性，是判定一个命题为真命题的常规方法． 【跟踪训练】　 1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q. (1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧． 解：(1)题中命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． (2)题中命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论． 题型二　充分条件的判断　 　(1)下列说法中，p是q的充分条件的是________． ①p：x＝1，q：x2－2x＋1＝0； ②设a，b是实数，p：a＋b>0，q：ab>0； ③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0. [解析]　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件．③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件． [答案]　①③ (2)判断下列各题中，p是否是q的充分条件： ①p：a∈Q，q：a∈R； ②p：a<b，q：<1； ③p：x>1，q：x2>1； ④在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [解]　①因为QR， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． ②因为a<b，当b<0时，>1； 当b>0时，<1， 所以pq，所以p不是q的充分条件． ③因为由x>1可以推出x2>1， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． ④由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 【感悟提升】　充分条件的判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件． (2)集合法 若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)传递法 若p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1是pn的充分条件． 【跟踪训练】　 2．判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：＝，q：x＝y； (2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (3)p：四边形对角线互相垂直，q：四边形是菱形； (4)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)若＝，则x＝y， 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}＝{2，3}，B＝{3}，则BA， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 所以pq，所以p不是q的充分条件． (4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型三　必要条件的判断　 　判断下列各题中，p是否是q的必要条件： (1)p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形； (2)p：x－1＝，q：x＝1； (3)p：－1≤x≤5，q：－2≤x≤5； (4)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形． [解]　(1)直角三角形不一定是等腰三角形， 因此qp，所以p不是q的必要条件． (2)当x＝1时，x－1＝＝0，所以q⇒p， 所以p是q的必要条件． (3)设A＝[－2，5]，B＝[－1，5]， 则BA，所以qp，所以p不是q的必要条件． (4)等边三角形一定是等腰三角形，所以q⇒p， 所以p是q的必要条件． 【感悟提升】　必要条件的判断方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断q⇒p是否成立，最后得出结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围小范围． (3)传递法：若p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件． 【跟踪训练】　 3．判断下列各题中，p是否是q的必要条件： (1)p：a＝1，q：a是1的平方根； (2)p：a是无限小数，q：a是无理数； (3)p：m＝12，q：4x2－mx＋9是完全平方式； (4)p：方程x2－x－m＝0无实根，q：m<－2. 解：(1)1的平方根是±1，所以qp， 所以p不是q的必要条件． (2)因为无理数是无限不循环小数， 所以q⇒p，所以p是q的必要条件． (3)因为4x2－mx＋9是完全平方式，所以(－m)2－4×4×9＝0，即m＝±12，所以qp，所以p不是q的必要条件． (4)因为方程x2－x－m＝0无实根，所以Δ＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，解得m<－.因为m<－2⇒m<－，所以p是q的必要条件． 题型四　利用充分条件与必要条件求参数的取值范围　 　已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． [解]　由已知可得A＝＝，B＝{x|x≥－2m}． (1)若p是q的充分条件，则p⇒q， 所以A⊆B， 所以－2m≤－，所以m≥， 即实数m的取值范围是. (2)若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A， 所以－2m≥－，解得m≤， 即实数m的取值范围是. 【感悟提升】　利用充分条件与必要条件求参数的取值范围的思路 根据充分条件与必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【跟踪训练】　 4．已知p：<x<，q：0<x<3. (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 解：记A＝，B＝{x|0<x<3}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B. 注意到B＝{x|0<x<3}≠∅，分两种情况讨论： ①若A＝∅，即≥，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意； ②若A≠∅，即<，解得m>0， 要使A⊆B，应有 综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]． (2)若p是q的必要条件，则B⊆A. 要使B⊆A，应有解得m≥3. 综上可得，实数m的取值范围是[3，＋∞)． 1．在△ABC中，“∠A＋∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：因为在△ABC中，由∠A＋∠C<90°可得∠B>90°，故可以推出△ABC是钝角三角形．由△ABC是钝角三角形不能推出∠A＋∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A＋∠C>90°.所以“∠A＋∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分条件． 2．(多选)下列命题中，是真命题的是(　　) A．“x2>0”是“x>0”的充分条件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件 C．“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分条件 D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件 答案：BC 解析：x2>0，即x>0或x<0，不能推出x>0，故“x2>0”不是“x>0”的充分条件，故A是假命题；x＝0⇒xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件，故B是真命题；a＝b⇒|a|＝|b|，故“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分条件，故C是真命题；x2不小于1不能推出|x|>1，故“|x|>1”不是“x2不小于1”的必要条件，故D是假命题．故选BC. 3．已知p：5x－1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，4] 答案：B 解析：由5x－1>a，得x>，要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞)．故选B. 4．“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分 解析：由ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分条件． 5．若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，1] 解析：记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}．由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}，所以m≤1.故实数m的取值范围为(－∞，1]． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 充分条件的判断——实际问题 充分条件、必要条件的判断——集合问题 探求必要条件 充分条件的判断——不等式问题 利用必要条件求参数范围 充分条件、必要条件的判断——集合、方程、不等式问题 探求充分条件 必要条件的判断——实际问题 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 必要条件的判断——不等式问题 充分条件的判断——不等式问题 充分条件、必要条件的判断——平面几何、集合、方程问题 充分条件、必要条件的判断，利用充分条件求参数范围 充分条件、必要条件的判断——等式与不等式问题 探求充分条件 利用充分条件求参数范围　 必要条件的判断——方程根的分布问题 一、单选题 1．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A. 2．设集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：D 解析：因为集合A＝{x|0≤x<3}，B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”．故选D. 3．已知a，b，c为实数，则“a>b”的一个必要条件是(　　) A．a＋c>b＋c B．ac2>bc2 C．|a|>|b| D.>1 答案：A 解析：因为a>b⇒a＋c>b＋c，所以“a＋c>b＋c”是“a>b”的一个必要条件．故选A. 4．已知实数a，b，则“b<a<0”是“>”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件也是必要条件 答案：A 解析：当b<a<0时，有－＝>0，所以>；反之，若b＝1，a＝－1，则>，但b<a<0不成立，故“b<a<0”是“>”的充分条件，但不是必要条件．故选A. 5．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，且“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，5) B．[－1，5] C．(1，5) D．[1，5] 答案：B 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以即所以－1≤a≤5.故实数a的取值范围是[－1，5]． 二、多选题 6．下列说法中正确的是(　　) A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 D．“x>3”是“x2>4”的充分条件 答案：ACD 解析：对于A，因为m是有理数⇒m是实数，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件，故A正确；对于B，因为x∈Ax∈A∩B，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件，故B不正确；对于C，因为x＝3⇒x2－2x－3＝0，所以“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件，故C正确；对于D，因为x>3⇒x2>4，所以“x>3”是“x2>4”的充分条件，故D正确． 7．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A．a≤0 B．a>0 C．a<－1 D．a<－2 答案：CD 解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以即解得a<0.选项中a<－1⇒a<0，a<－2⇒a<0.故选CD. 三、填空题 8．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“没好货”是“便宜”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：必要 解析：因为“便宜”⇒“没好货”，所以“没好货”是“便宜”的必要条件． 9．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：必要 解析：因为q⇒p，所以p是q的必要条件． 10．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分 解析：x>y>0⇒>1，而由>1推不出x>y>0，如x＝－5，y＝－4，满足>1，但－5<－4，即x<y<0，不满足x>y>0.故“x>y>0”是“>1”的充分条件． 四、解答题 11．下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：四边形的四个角相等，q：四边形是正方形； (2)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA； (3)p：x2－2x－2m＝0有实根，q：m≥－1. 解：(1)∵四边形的四个角相等推不出四边形是正方形，而四边形是正方形⇒四边形的四个角相等，∴p是q的必要条件． (2)画出维恩图(如图)． 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA，反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． (3)若方程x2－2x－2m＝0有实根， 则Δ＝4＋8m≥0，解得m≥－. ∵m≥－⇒m≥－1， 而m≥－1推不出m≥－， ∴p是q的充分条件． 12．(1)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列问题的条件，用序号填空． (ⅰ)“a，b都为0”的必要条件是________； (ⅱ)“a，b都不为0”的充分条件是________． (2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以“a，b都为0”的必要条件是①②，“a，b都不为0”的充分条件是③. (2)记A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝. 由题意得B⊆A，则－≤－1，即p≥4， 此时x<－≤－1⇒x>2或x<－1， 故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件． 13．对任意实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 答案：B 解析：因为a>bac>bc，所以A是假命题；因为a＝b⇒a－b＝0⇒(a－b)c＝0⇒ac＝bc，所以B是真命题；因为ac>bca>b，所以C是假命题；因为ac＝bca＝b，所以D是假命题．故选B. 14．设x，y是两个实数，使“x，y中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 答案：B 解析：对于A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立；对于C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但“x，y中至少有一个数大于1”不成立，也不符合题意．故选B. 15．已知集合A＝，B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}，p：t∈A，q：t∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解：先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方， 得y＝＋. 因为x∈，所以y∈. 所以A＝. 因为B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}， p是q的充分条件，所以A⊆B. 所以m＋1≤或m－1≥2， 解得m≤－或m≥3. 故实数m的取值范围是 ∪[3，＋∞)． 16．若p：－2<a<0，0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的什么条件？ 解：若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2， 且0<x1<x2<1，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b， 于是0<－a<2，0<b<1， 即－2<a<0，0<b<1，故q⇒p. 所以p是q的必要条件，但不是充分条件． 13 学科网（北京）股份有限公司 $