1.2.3 第2课时 充分条件、必要条件的综合（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

充分条件、必要条件的综合—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1．本课时重点关注判定充分必要条件问题及利用已知关系探求参数的取值范围问题． 2．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　充分、必要条件的判定 题型(二)　利用充分条件、必要条件求参数 题型(三)　充要条件的证明 4 课时跟踪检测 题型(一)　充分、必要条件的判定 01 [例1]　 判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1) 已知x∈R，p：x>1，q：x>2； [解]　法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件．反之，若x>2，则必有x>1，所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件． 法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则B A，所以p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； [解]　p：a能被6整除，故也能被3和2整除， q：a能被3整除，不一定能被6整除，故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； [解]　由题意，知p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆ ∁UA． [解]　∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔ ∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． |思|维|建|模| 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 定义法 直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假 集合法 利用集合的包含关系判断 传递法 充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性 针对训练 1．指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. 解：x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． 解：两个三角形相似 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. 解：a＞b ac＞bc，且ac＞bc a＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 题型(二)　 利用充分条件、必要条件求参数 02 多维理解 [例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. [解]　设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}， q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 因为p是q的必要不充分条件，所以B A， [变式拓展] 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． |思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件 获解 解不等式，得参数范围 针对训练 2．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________． [－1,5] 题型(三)　充要条件的证明 03 [例3]　 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [证明]　充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根) 因为ac＜0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根． 所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， |思|维|建|模|　 1．充要条件的证明思路 一般地，证明“p成立的充要条件为q” 充分性 把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p 必要性 把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q 2．证明充要条件的关键 要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性． 在以下说法中，充分性和必要性分别是：(1)p是q的充要条件，p⇒q是充分性，q⇒p是必要性；(2)A成立的充要条件是B：B⇒A是充分性，A⇒B是必要性． 针对训练 3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．已知p：“x2－3x－4＝0”，q：“x＝－1”，则p是q的(　 ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：解x2－3x－4＝0可得，x＝－1或x＝4. 显然，若p成立，推不出q成立；若q成立，则p成立．所以p是q的必要不充分条件． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．“n是3的倍数”是“n是6的倍数”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若“n是3的倍数”，当n＝3时，不满足“n是6的倍数”，故不满足充分性；若满足“n是6的倍数”，则必是3的倍数，故满足必要性． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．“1<x<5”是“2<x<4”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设A＝{x|1<x<5}，B＝{x|2<x<4}， 由于B A，所以“1<x<5”是“2<x<4”的必要不充分条件． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．设集合U＝{(x, y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x, y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x, y)|x＋y－n＞0}，那么点P(2, 3)∈(A∩B)的充要条件是(　 ) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　 ) A．{m|m≥8} B．{m|m>8} C．{m|m>－4} D．{m|m≥－4} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝______. 解析：由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1. 16 －1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是___________． 16 0≤a≤2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．若“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________． 解析：因为“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件，所以{x|x<a} {x|x≤－2}，即有a≤－2. 16 {a|a≤－2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的充要条件； 解：若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； 解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　 ) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．又“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　 ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图所示，综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______. 解析：由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N＋，得1≤n≤4. 逐个分析，当n＝1, 2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2. 16 3或4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知2a－b＝3，写出使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为__________________________________．(用含m的式子表示) 解析：2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可． 16 m＝1(答案不唯一，满足m＞－1均可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(10分)已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16．(10分)已知集合A＝{x|2a－1<x<a＋1}，B＝{x|0≤x≤1}． (1)在①a＝－1，②a＝0，③a＝1，这三个条件中选择一个条件，求A∪B； 解：选择①：当a＝－1时，A＝{x|－3<x<0}，因为B＝{x|0≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－3<x≤1}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 选择②：当a＝0时，A＝{x|－1<x<1}，因为B＝{x|0≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－1<x≤1}． 选择③：当a＝1时，A＝{x|1<x<2}，因为B＝{x|0≤x≤1}，所以A∪B＝{x|0≤x<2}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：因为B＝{x|0≤x≤1}，所以∁RB＝{x|x<0或x>1}，因为x∈A，所以集合A＝{x|2a－1<x<a＋1}不是空集，即2a－1<a＋1，解得a<2.因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，所以集合A是∁RB的真子集，即a＋1≤0或2a－1≥1，解得a≤－1或a≥1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或1≤a<2}． 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB． 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 解：若p是q的充要条件，则此方程组无解，故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以即所以－1≤a≤5. 设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0， 则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 解析：∵P(2,3)∈(A∩B)，∴满足即 解析：由4x－m<0，得x<；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. ∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，∴m>8. 解析：A∩B＝∅⇔解得0≤a≤2. 10．(8分)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：①必要性：由<，得－<0，即<0，又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. ②充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.综上所述，<的充要条件是xy>0. 解：由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a， 依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以解得a≥2. 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}． $$