精品解析：北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷

数学试题 2024.10.06 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设集合，若，则实数m=（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 2. 记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出等差数列的首项和公差，可得通项与前项和． 【详解】解法1：设等差数列公差为，则有，解得， ∴，. 故选项BCD错误，选项A正确. 解法2：排除法，对B，，，排除B； 对C，，排除C； 对D，，排除D，故选A． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得结论. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即； 又函数在上为增函数，所以； 函数在上为增函数，所以， 综上可得：. 故选：B. 4. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，求出模长. 【详解】，故. 故选：D 5. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案． 【详解】选项A，是非奇非偶函数，是区间上的增函数，错误； 选项B，是偶函数，是区间上的减函数，错误； 选项C，是偶函数，是区间上的增函数，正确； 选项D，是奇函数，是区间上的增函数，错误； 故选：C 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 7. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 8. 已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义证明为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得的取值范围. 【详解】当时，，，， 当时，，，， 当时，， 所以对任意的，， 函数为奇函数， 又当时，为单调递减函数， 所以函数在上为单调递减函数， 所以不等式可化为， 所以，所以， 由已知对任意的有恒成立， 所以，即， 故的取值范围是. 故选：A. 9. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设， 则由得， 由得 因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 10. 已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出． 【详解】根据函数的单调性可知，， 即可得到， 即可知是方程的两个不同非负实根， 所以， 解得． 故选：D． 【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知角α的终边与单位圆交于点，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由三角函数定义得到，再由诱导公式求出答案. 【详解】由三角函数定义得，由诱导公式得. 故答案为： 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. 13. 若命题“对任意为假命题的a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定，为真命题，分，和三种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得为真命题， 当时，不等式为，有解，满足要求， 当时，若，此时必有解，满足要求， 若，则，解得， 综上，a的取值范围为. 故答案为： 14. 若函数的最大值为，则________，的一个对称中心为_______ 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心. 【详解】由，其中， 又函数的最大值为，则， 又，则，，不妨取， 故， 则的对称中心满足，，解得，， 即的对称中心为，， 则的一个对称中心可为：， 故答案为：，（答案不唯一） 15. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质. （1）下列函数中具有性质的有___________. ① ② ③，（） ④ （2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ①②④ ②. 或． 【解析】 【分析】（1）令 ，由，可判断；由sinx=有解，可判断是否具有性质P；令=，此方程无解，由此可判断；由两图象在有交点可判断； （2）问题转化为方程有根，令，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数的取值范围． 【详解】解：（1）在时， 有解，即函数具有性质P， 令 ，即， ∵，故方程有一个非0实根，故 具有性质P； 的图象与有交点， 故sinx=有解，故具有性质P； 令=，此方程无解，故，（）不具有性质P； 令，则由两图象在有交点，所以有根，所以具有性质P； 综上所述，具有性质P的函数有：①②④； （2）具有性质P，显然，方程有根， 令，则，令，解得， 当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以的值域[ ，+∞），∴， 解之可得：或． 故答案为：①②④；或． 【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】（1）选②或③，； （2）的面积为. 【解析】 【分析】（1）选①，利用三边关系可判断不存在； 选②：利用余弦定理可求得角的值； 选③：利用正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积． 【小问1详解】 解：因为，，则. 选①：因为，则，则不存在； 选②：因为，则， 由余弦定理可得，，则； 选③：，则， 、，则，，故，从而. 【小问2详解】 解：因为，，，由余弦定理可得， 即，解得，因此，. 17. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求使取得最大值时的值. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式； （2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，取得最大值. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意转化为方程在上有解，以为整体，结合正弦函数图象运算求解. 【小问1详解】 对于函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，则， ∴函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，即，则， ∵在存在零点，则方程在上有解， 若时，则，可得， ∴，得 故实数的取值范围是． 19. 1.已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点. 【答案】（1）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为. （2）证明：由（1）可知，当时，的单调递增区间为， 而，所以在上单调递增， 又， 所以， 由零点存在性定理可得函数在区间上有且仅有一个零点 【解析】 【分析】（1）求出导数，然后通过对分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明 【小问1详解】 ， 当时，，由得：， 由得，故此时的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，令得：或 由得，此时 由得或，此时 故此时的单调递减区间为，，单调递增区间为 综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （3）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 不等式恒成立等价于恒成立. 令， 当时，，所以恒成立. 当时，令，，， 与的情况如下： 1 所以 ， 当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0， 所以的值域为， 因为，所以的最小值小于且大于. 所以的最大整数值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程； （2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可； （3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证. 【小问1详解】 因为， 所以，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令， 则，当时，，在上单调递增. 因为，， 所以，使得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，， 所以. 【小问3详解】 满足条件的的最大整数值为,理由略. 21. 已知数列记集合 （1）对于数列：，列出集合的所有元素； （2）若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； （3）若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由为： 假设存在，使得， 则有， 由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同， 又因为，所以必有大于等于的奇数因子， 这与无以外的奇数因子矛盾. 故不存在，使得成立. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可； （2）假设存在，使得，则有，则与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，进行分析即可得解； （3）由，根据题意给出的集合新定义可对进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案． 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 当，时，， 除，外，， 其中与一奇一偶，则能拆成奇数与偶数之乘积， 在正偶数中，只有无法拆成一个大于的奇数与一个不小于的偶数之乘积， 又中的元素均为偶数，故， 故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024， ， 故的最大值为． 【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 2024.10.06 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设集合，若，则实数m=（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或1 2. 记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 8. 已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 10. 已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知角α的终边与单位圆交于点，则__________. 12. 记为数列的前项和，若，则_____________． 13. 若命题“对任意为假命题的a的取值范围是______ 14. 若函数的最大值为，则________，的一个对称中心为_______ 15. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质. （1）下列函数中具有性质的有___________. ① ② ③，（） ④ （2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，，．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 17. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求使取得最大值时的值. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若函数在存在零点，求实数a的取值范围． 19. 1.已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （3）设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 21. 已知数列记集合 （1）对于数列：，列出集合的所有元素； （2）若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； （3）若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $