精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

天津市南开中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以=. 故选：C. 2. 设， 且则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然不成立，因此本选项不正确； B：当时，没有意义，因此本选项不正确； C：若，显然，但是不成立，因此本选项不正确； D：由，因此本选项正确， 故选：D 3. 若集合，，则的充要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个集合的关系即可得出答案. 【详解】因为集合，，且，所以， 故选：D. 4. 设命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定可得出结论. 【详解】因为命题，， 由全称命题的否定可知，为“，”. 故选：B. 5. 不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A. x＝5 B. x＝－3 C. x＝3 D. x＝－5 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式等号成立的条件可知，当时等号成立. 【详解】当时，， 等号成立的条件是 ， ，解得：. 故选A. 【点睛】本题考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，常用不等式包含， ，. 6. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可以得到，从而对集合分类讨论即可求解参数的范围. 【详解】∵已知，又因为， ∴，即， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，由，得，解得； 综上所述，. 故选：C. 7. 正实数a，b满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，再利用基本不等式求解即可． 【详解】，，且， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为． 故选：A． 8. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得， 当时，，所以， 所以命题“任意，”为真命题的充要条件是， 所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C， 故选：C 9. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可. 【详解】∵命题：为真命题， ∴， 又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∵命题，，为真命题， ∴，∴或， ∵命题p，q都是真命题， ∴或. 故选：C 10. 若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，规定两根大小，然后根据集合的运算即可求解. 【详解】不妨设，则的解集为或， ,,,, 所以或. 故选; A 二、填空题 11. 设，，若集合，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用集合相等，即可得，解出即可求解. 【详解】由题意有：，经验证满足题意，所以， 故答案为：0. 12. 试用列举法表示集合：______； 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式结合集合的描述法分析求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 13. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 14. 已知实数，当取得最小值时，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得. 【详解】根据题意可得， ， 因为，所以，， 所以 即， 当且仅当时等号成立， 此时，解得，则． 故答案为： 15. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可. 【详解】因为两个正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 因为有解，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 16. 若函数的最小值为0，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，，由题意可得恒成立. 则的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 17. 设全集为R，集合，，. （1）求，，； （2）若， 求实数a的取值范围. 【答案】（1），，或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果. （2）分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围. 【小问1详解】 因为，， 根据并集、补集的概念可得，或， 或， 所以，或. 【小问2详解】 若，则，解得， 若，则，且或，解的， 综上所述. 18. 解关于的不等式：. 【答案】 时，不等式的解集是； 时，不等式的解集是或； 时，不等式的解集是； 时，不等式无解； 时，不等式的解集是. 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 解得，或； 当时，，不等式化为， 解得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，，不等式化为， 解得； 综上，时，不等式的解集是； 时，不等式的解集是或； 时，不等式的解集是； 时，不等式无解； 时，不等式的解集是. 19. 已知且 ，记为的最大值，记为的最大值. （1）求的值; （2）若，且对任意，恒成立， 求的最大值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式结合已知可求得，则，从而可求出的值，再结合完全平方公式可求出； （2）令，则，得，根据时，，求得的关系，从而可得的取值范围，根据取最大值的的值检验不等式恒成立，即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1，即， 因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即， 【小问2详解】 由题可得， 令， 则，故. 对任意，，则恒成立， 因为a为正数，所以 所以， 此时， 所以， 当时，等号成立， 此时成立， 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设， 且则 （ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则的充要条件是（    ） A. B. C. D. 4. 设命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A. x＝5 B. x＝－3 C. x＝3 D. x＝－5 6. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 正实数a，b满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 10. 若关于的方程的两个实数根，，集合， ，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 设，，若集合，则______. 12. 试用列举法表示集合：______； 13. 不等式的解集为______． 14. 已知实数，当取得最小值时，则的值为_________． 15. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______. 16. 若函数的最小值为0，则的取值范围为______. 三、解答题 17. 设全集为R，集合，，. （1）求，，； （2）若， 求实数a的取值范围. 18. 解关于的不等式：. 19. 已知且 ，记为的最大值，记为的最大值. （1）求的值; （2）若，且对任意，恒成立， 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $