精品解析：浙江省杭州市西湖区翠苑中学2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

杭州市翠苑中学2024学年第一学期10月教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 已知，则下面的结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】A、由可得，故该选项符合题意； B、由可得，故该选项不符合题意； C、由可得，故该选项不符合题意， D、由可得，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是(　　) A. 摸出的是白球 B. 摸出的是黑球 C. 摸出的是红球 D. 摸出的是绿球 【答案】A 【解析】 【分析】个数最多的就是可能性最大的． 【详解】解：因为白球最多， 所以被摸到的可能性最大． 故选A． 【点睛】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 4. 若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，然后根据二次函数的对称性可直接进行排除选项． 【详解】解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称， ∵二次函数图像过点， ∴点关于y轴对称的点为， ∴点必在二次函数的图像上； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 5. 若A（0，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算自变量为0、3、-3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】当x=0时，y1=-x2+4x-k=-k； 当x=-3时，y2=-x2+4x-k=-21-k； 当x=3时，y3=-x2+4x-k=3-k， 所以y2＜y1＜y3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可； 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得， 二次函数的图像向右平移2个单位为：； 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键. 7. 抛物线上部分的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 y … 0 0 3 由上表可知，下列结论正确的有（ ） ①；②抛物线与y轴的交点坐标为；③抛物线的对称轴是直线；④当时，y随x增大而减小；⑤当，则x的取值范围是． A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求出抛物线的解析式，再由二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在函数图象上， ∴ 解得， ∴ ∴，故①错误； 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故②正确； 由知，抛物线的对称轴是直线，故③正确； ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，y随x增大而减小，故④正确； 当时， ， 解得， 故，当时，则x的取值范围是或，故⑤错误， 所以，正确的结论是②③④ 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的对称轴是解题的关键，也是本题的突破口． 8. 如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为( )cm A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出△ABC的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，从而根据相似三角形的性质求出正方形的边长. 【详解】作AH⊥BC，交BC于H，交EF于D. 设正方形的边长为xcm，则EF=DH= xcm， ∵△AB的面积为36，边cm， ∴AH=36×2÷12=6. ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴, ∴, ∴x=4. 故选C. 【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 9. 规定，若函数，则该函数最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分两种情况讨论：当，即时，当，即或时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可． 【详解】解：当， 则， 令，当时， 解得：， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴， 则， ∵， ∴当时，该函数的值最小，最小值为； 当， 同理得：或， 则， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，该函数的值最小，最小值为； 综上所述，该函数的最小值为． 故选：B． 10. 二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解一元二次方程，先根据题意得出，即，根据二次函数的图象经过点，二次函数（a，b为实数，）的图象经过点，得出，求出，代入求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：∵二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 即， ∵二次函数（a，b为实数，）的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或， 解得：，， 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分 11. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，让黑色瓷砖的块数除以瓷砖总数即可． 【详解】解：∵8块等腰直角三角形瓷砖中有黑色等腰直角三角形瓷砖3块， ∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ， 故答案为：． 【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 12. 已知，，则，的比例中项为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 【详解】设的比例中项线段为c， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，点A，B的横坐标分别是，，则不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解，即直线在抛物线上方，据此求解即可. 【详解】解：由图象可知的解即为直线在抛物线上方时， ∴点A，B的横坐标分别是，，得：， 故答案为 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数与不等式之间的关系，数形结合是关键． 14. 二次函数，当时，则函数值的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵，抛物线图象开口向下， ∴时，有最大值为， ∵， ∴当时，有最小值为， ∴当时，， 故答案为：． 15. 如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点， 可得：，，， 设顶点式，代入点坐标， 得：， 所以抛物线解析式为， 当水面升高1后，令， 则，解得：， 拱桥内水面的宽度为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16. 已知矩形，点为的中点，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点，若，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，， ，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则得到问题的答案． 【详解】解：设，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点为中点， ∴，，，， ∴， 由折叠得，，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2）；当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）将二次函数转化为顶点式即可得到顶点坐标，进而即可得到解答． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴其顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了求解二次函数，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 18. 如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． 【小问1详解】 解：如图所示：△即为所求，理由如下： 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． 【小问2详解】 解：，，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，， 如图所示，即为所求． 19. 有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________． （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法和树状图法求解概率，列表法可不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，而树状图法适合两步或者两步以上完成的事件，也考查根据频率估计概率． （1）根据实验得到的数据知，当实验次数越多时，频率越接近概率，据此解答即可； （2）根据红白所对应的圆心角度数，可以知道红白分别所占圆心角的比例，并按照比例划分，画出树状图，得到所有情况，根据概率所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近， 故转动该转盘指针落在白色区域的概率为； 【小问2详解】 解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份； 设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，可得下面的图表： 树状图为： 从树状图可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种， 一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为． 20. 如图，在中，，，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，①求的长；②求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴； （2）①2；② 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和问题，相似三角形的判定与性质． （1）根据等边对等角，角平分线的定义，推出，，即可得证； （2）①根据等腰三角形等角对等边即可求解；②根据相似三角形的性质得到，进而得到代入数据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ； ②∵，，， ∴，即， ∴（负值舍去）． 21. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，每月获得最大利润，最大利润为为4500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，列出函数关系式即可； （2）该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴有最大值，即当时，， ∴当销售单价为70元时，每月获得最大利润，最大利润为4500元． 22. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使； （1）求证：； （2）设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当为等腰三角形时，求的长．(直接写出答案，不写解题过程)． 【答案】（1）见解析 （2） （3）3或 【解析】 【分析】（1）因为，，得到，，得到，即可得出； （2）由（1）得到比例式，代入变形得到； （3）为等腰三角形有三种情况，、、分别利用相似三角形性质计算即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，，， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图，当时 ∵， ∴， ∴． 如图，当时， ∵， ∴即点与点重合． ∵不与点、重合，舍去． 如图，当时， ∴， ∴， ∴． ∴，即， ∴． 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质、等腰三角形性质，重点要运用对应边成比例进行计算，第三问关键在于能够对等腰三角形进行分类． 23. 已知二次函数的图象经过点，，且，时，. （1）求的值； （2）若，也是该抛物线上两个点，，求实数的取值范围； （3）若不在抛物线上，求的取值范围. 【答案】（1）a＝4；（2）m＜1或m＞3；（3）b＜﹣1． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性即可解决问题； （2）画出图象，利用图象法即可解决问题； （3）由题意可知抛物线与直线y＝2x没有交点，利用方程的判别式△<0即可求出b的取值范围. 【详解】解：（1）由题意可知对称轴是直线x＝，即，∴a＝4； （2）观察图象可知符合条件的m的值为m＜1或m＞3； （3）由题意可知抛物线与直线y＝2x没有交点， 即方程﹣x2+4x+b＝2x没实数根，整理得x2﹣2x﹣b＝0，∴△＝（﹣2）2+4b＜0，解得b＜﹣1， 故b的取值范围为b＜﹣1． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； （3）如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2）当时，点P的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标； （2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解； （3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，则， 如图，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 如图，当点在下方时，连接，交轴于， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴此时； 综上所述，当时，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市翠苑中学2024学年第一学期10月教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1. 已知，则下面的结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下事件中，发生的可能性最大的是(　　) A. 摸出的是白球 B. 摸出的是黑球 C. 摸出的是红球 D. 摸出的是绿球 3. 如图，两条直线被三条平行线所截，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ） A. B. C. D. 5. 若A（0，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( ) A. B. C. D. 7. 抛物线上部分的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 y … 0 0 3 由上表可知，下列结论正确的有（ ） ①；②抛物线与y轴的交点坐标为；③抛物线的对称轴是直线；④当时，y随x增大而减小；⑤当，则x的取值范围是． A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ①②③ 8. 如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为( )cm A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 规定，若函数，则该函数最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 5 10. 二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分 11. 如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是________． 12. 已知，，则，的比例中项为______． 13. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，点A，B的横坐标分别是，，则不等式的解为__________． 14. 二次函数，当时，则函数值的取值范围为______． 15. 如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为___________． 16. 已知矩形，点为的中点，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点，若，则的值为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分． 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 18. 如图，的顶点均为网格中的格点． （1）选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． （2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 19. 有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域． （1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表： 实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000 白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000 落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33 请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________． （2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率． 20. 如图，在中，，，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，①求的长；②求的长． 21. “互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y 条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使； （1）求证：； （2）设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当为等腰三角形时，求的长．(直接写出答案，不写解题过程)． 23. 已知二次函数的图象经过点，，且，时，. （1）求的值； （2）若，也是该抛物线上两个点，，求实数的取值范围； （3）若不在抛物线上，求的取值范围. 24. 如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； （3）如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $