精品解析：陕西省西安市周至县第六中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

周至县第六中学2024-2025学年度第一学期第一次月考 高二数学试题（卷） 第I卷（选择题） 一、单进题（每题6分，共40分） 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ） A. B. C. D. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共16分） 12. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 13. 已知空间向量，若，则实数__________. 14. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______． 四、解答题 15. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 16. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 17. 在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． （2）求二面角的正弦值． 18. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至县第六中学2024-2025学年度第一学期第一次月考 高二数学试题（卷） 第I卷（选择题） 一、单进题（每题6分，共40分） 1. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 3. 如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】为的中点， ，， 故选:A. 4. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 5. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因为，，， 所以， ， 所以， 故选：C 6. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A 7. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 8. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向是，则 C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可判断A；由可判断B；由可判断C；根据线面角的向量公式直接计算可判断D. 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确； B选项：因为，所以 所以或，B错误； C选项：因为，所以，C正确； D选项：记直线l与平面所成角为，则， 因为，所以，D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共16分） 12. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 13. 已知空间向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量定理和空间向量的坐标运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即 所以 故答案为：. 14. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知空间三点，，，设，． （1）若与互相垂直，求实数的值； （2）若，，求． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； 【小问2详解】 ， 设，则且， 解得或， 故或； 16. 已知向量，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由空间向量的数量积，模长公式及夹角公式的坐标运算直接求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 , 则； 【小问3详解】 ，则 17. 在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 18. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2） 证明：因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面，因为平面， 所以， 又为直角，所以 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由（1），所以． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，再证明，结合（1）可得； （3）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，． 设平面的法向量为， 则，， 所以，即 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为． 所以． 19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，则有，由，求得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值． 【小问1详解】 三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． 【小问2详解】 由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以， 因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $