精品解析：河北省唐山市开滦第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

开滦二中2024~2025学年高二年级第一学期十月月考 数学试卷 命题人：李阳 审核人：周淑俊 说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选择题（本题共8个小题，每小题5分，总共40分） 1. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 2. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（ ） A. 22 B. 44 C. D. 7. 已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 10. 直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，或； B. 当时，； C. 当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D. 当时，直线关于对称的直线方程为： 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（每小题5分，总共15分） 12. 已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为______． 13. 已知点A（–1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，则P的坐标是_____． 14. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________. 四､解答题（本题共5个小题，共77分，用黑色字迹签字笔答在答题卡上，答在试卷上无效） 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 17. 如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离 18. 已知直线：，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； （3）若直线不经过第四象限，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开滦二中2024~2025学年高二年级第一学期十月月考 数学试卷 命题人：李阳 审核人：周淑俊 说明： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选择题（本题共8个小题，每小题5分，总共40分） 1. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即可得到本题答案. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 又直线过点，所以直线方程为，即， 令，得，所以在x轴上的截距为-1. 故选：A 2. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得 则点C到直线AB的距离为 故选：A 3. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 5. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 6. 如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（ ） A. 22 B. 44 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【详解】 如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 7. 已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案. 【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 二､多选题（本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 10. 直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，或； B. 当时，； C. 当时，过直线与的交点且平行于的直线方程为： D. 当时，直线关于对称的直线方程为： 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B选项，根据两条直线互相平行和垂直的充要条件即可判断；对于C选项，求出直线的点斜式方程即可判断；对于D选项，先求出两条直线的交点，再求出直线关于的对称点，根据直线上的两点即可求出直线方程，进一步判断即可. 【详解】对于A：当时，有，此方程无解，故A错误； 对于B：令，解得，此时，，，故B正确； 对于C：当时，，，联立，得直线与的交点为，平行于的直线斜率为1， 故过直线与的交点且平行于的直线方程为：，故C错误； 对于D：当时，直线与的交点为,易知点在直线上， 设该点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，因为，所以， 所以所求直线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（每小题5分，总共15分） 12. 已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，直线，即， 则两直线斜率均为-2，且两直线不重合， 所以直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，所以， 故答案为： 13. 已知点A（–1，2），B（2，），在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，则P的坐标是_____． 【答案】（1，0） 【解析】 【分析】设，利用两点间距离公式，代入，列方程解得点坐标. 【详解】设，由于，根据两点间的距离公式，有，解得，故的坐标为. 【点睛】本小题主要考查两点间的距离公式，考查轴上坐标的特点：纵坐标为零.属于基础题. 14. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值. 【详解】如图， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 因为平面，故，即 则 ， 因为，故当时， 故答案为： 四､解答题（本题共5个小题，共77分，用黑色字迹签字笔答在答题卡上，答在试卷上无效） 15. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，联立的方程解出，然后设，为的中点，所以，代入各自方程求出，然后计算所在直线的方程即可； （2）先求出点到直线的距离，然后利用两点间的距离公式求出，计算的面积即可. 【小问1详解】 因为，所以设直线的方程为：， 将代入得，所以直线的方程为：， 联立，所在直线方程：，解得， 设，因为为的中点，所以， 因为在直线上，在上， 所以，， 解得，所以，， 所以所在直线的方程为：，即. 【小问2详解】 点到直线的距离为：， 又， 所以. 17. 如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，点分别为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离 【答案】（1）证明：由，得，则，即， 由平面，平面，则， 而，平面，于是平面，连接， 又平面，则，由点分别为的中点，得， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）连接，交于点E，连接BE，过点C作于，利用线面垂直的判定、性质推证平面，再借助直角三角形求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于点E，连接BE，过点C作，F为垂足， 由，侧棱垂直于底面，得且， 又，，平面CBE，则平面CBE， 又平面CBE，则，又，，平面， 因此平面，即CF为点C到平面的距离， 由平面，平面，得，， 所以点C到平面的距离． 18. 已知直线：，. （1）证明直线过定点，并求出点的坐标； （2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程； （3）若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）证明: 整理直线的方程，得， 所以直线过直线与的交点， 联立方程组，解得， 所以直线过定点，点的坐标为； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决． 【小问1详解】 证明略，定点的坐标为； 【小问2详解】 当截距为时，直线的方程为，即， 当截距不为时，设直线的方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 故直线的方程为或； 【小问3详解】 当时，直线l的方程为，符合题意， 当时，直线l的方程为，不符合题意， 当，且时，， 所以， 解得或， 综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是 . 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $