精品解析：广东省清远市阳山县南阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

南阳中学2024-2025学年秋季学期第1次月考 高二级数学科试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A B. C. D. 2. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点NBC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B. 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D 当时，平面平面； 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________． 13. 在空间直角坐标系中，A坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则___________. 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间四点，，，. （1）若向量与互相垂直，求实数的值： （2）求以，为邻边的平行四边形的面积： （3）若D点在平面上，求实数n的值. 16. 在2019迎新年联欢会上,为了活跃大家气氛,设置了“摸球中奖”游戏,桌子上放置一个不透明的箱子,箱子中有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)游戏规则：从箱子中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摸球者中奖价值50元奖品;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者中奖价值20元奖品. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少? (2)假定有10人次参与游戏,试从概率的角度估算一下需要准备多少元钱购买奖品? 17. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 18. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）求的长度； （2）求二面角的大小； （3）求平行六面体的体积． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳中学2024-2025学年秋季学期第1次月考 高二级数学科试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为，其对应的坐标为， 故选：C. 2. 设，向量，，，且，，则（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 7. 若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过l过定点，及直线与坐标轴的交点，求得斜率范围，即可求解. 【详解】因直线与坐标轴交于点，，直线l恒过点，所以，所以． 故选：A 8. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得, 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 10. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D. 【详解】对于A，平均成绩为，A错误； 对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确； 对于C，分数在区间内的频率为，C正确； 对于D，区间应抽取人，D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D. 当时，平面平面； 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出的坐标即可得到A错误；B正确；分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两法向量的数量积为零解出即可得到C、D正确； 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 由已知得， 则， 对于A、B，当时，， 因为，所以， 即，又与无公共点，所以，故A错误；B正确； 对于C、D，而平面，且平面，故直线平面. 假设存在符合题意的λ， 设平面的法向量为， 则由，可得 于是可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可得， 可得平面的一个法向量为， 则， 即，解得. 故存在，使平面平面； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据直线的一般方程得出斜率，最后应用垂直得出斜率再求出倾斜角，点斜式最后求出截距即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为． 因为直线l过点，所以直线l的方程为， 令得出,故直线l在x轴上的截距为． 故答案为：；. 13. 在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由点关于x轴对称求得C的坐标，再由空间两点间距离公式计算即可得解. 【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点， 又B的坐标为， 所以. 故答案为：. 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 【答案】37 【解析】 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 四、解答题：本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间四点，，，. （1）若向量与互相垂直，求实数的值： （2）求以，为邻边的平行四边形的面积： （3）若D点在平面上，求实数n的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. （2）利用空间向量结合同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形面积公式并结合题意求解即可. （3）将点共面问题转化为向量共面问题，利用向量共面的充要条件建立方程，求解即可. 【小问1详解】 因为，，，， 所以，，， 所以，， 因为向量与互相垂直，所以， 化简得，解得， 小问2详解】 因为，，且设夹角为， 所以，而恒成立， 所以，而，， 所以平行四边形面积为， 【小问3详解】 因为D点在平面上，所以四点共面， 所以共面，而由题意得，，， 故存在，使得，所以，， ，解得，故实数n的值为. 16. 在2019迎新年联欢会上,为了活跃大家气氛,设置了“摸球中奖”游戏,桌子上放置一个不透明的箱子,箱子中有3个黄色、3个白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)游戏规则：从箱子中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摸球者中奖价值50元奖品;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者中奖价值20元奖品. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少? (2)假定有10人次参与游戏,试从概率的角度估算一下需要准备多少元钱购买奖品? 【答案】（1）0.05（2）230元 【解析】 【分析】（1）把3个黄色乒乓球标记为、、，个白色的乒乓球标记为、、，列举出所有的基本事件，并确定基本事件的总数，并找出事件“摸出的个球都为白球”所包含的事件及数目，再利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率； （2）计算出事件“摸出三个颜色相同的球”的概率为，于此得知次试验中有次摸出三个同颜色的球，于是得出购买奖品的钱为． 【详解】（1）把3个黄色乒乓球标记为,3个白色的乒乓球标记为1,2,3 从6个球中随机摸出3个的基本事件为: ，共20个， 事件{摸出的3个球为白球}，事件包含的基本事件有1个，即摸出123， ∴； （2）事件{摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球} ∴， 假定有10人次参与游戏摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件发生有1次，不发生9次， 则需要准备元钱购买奖品. 【点睛】本题考查古典概率的计算，以及概率思想的实际应用，在求解古典概型的概率时，关键就是列举出基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数和基本事件总数，另外在决策时，可采用平均数和方差来对总体进行评估，考查分析数据和计算能力，属于中等题． 17. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 18. 在如图所示的平行六面体中，，． （1）求的长度； （2）求二面角的大小； （3）求平行六面体的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的数量积公式与模长关系计算即可； （2）根据二面角的定义先作出其平面角，再利用空间向量的数量积公式计算即可； （3）结合（2）的结论，计算B到面的距离，结合柱体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 方法一：根据图形可知：， 则 ； 方法二：如图建系， ，， 设，， 而， ，， 【小问2详解】 方法一：作，则等于二面角的一个平面角， 因为，， 则， 易知 ， 所以，所以， 即二面角的大小为； 方法二：，， 设平面和平面的一个法向量分别为， ，， 二面角的大小为． 【小问3详解】 方法一：由（2）知平面，而四边形的面积， 则平行六面体的体积. 方法二：设在底面ABCD上的射影为点， ，在的平分线上， 由三余弦定理， ，． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在， 【解析】 【详解】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值. 试题解析：（1）因为平面平面，， 所以平面，所以， 又因为，所以平面； （2）取的中点，连结，， 因为，所以. 又因为平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以. 如图建立空间直角坐标系，由题意得， . 设平面的法向量为，则 即 令，则. 所以. 又，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设是棱上一点，则存在使得. 因此点. 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得. 所以在棱上存在点使得平面，此时. 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $