精品解析：山东省济宁市鱼台县2024-2025学年上学期九年级数学10月月考试题

2024－2025学年度第一学期十月份学情调研 九年级数学试题 一、单项选择题，精心选一选，相信自己的判断力！（本大题共10小题，每小题3分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A B. 2 C. 2或 D. 4或 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　） A. B. C. D. 6. 若二次函数y＝（x-m）2-1，当x≤3时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. m＝3 B. m＞3 C. m≥3 D. m≤3 7. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 国庆节期间某电影上映的第一天票房约为5亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房20.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 定义运算：．例如：．则方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②当或时，；③；④若在该函数的图象上，当时，．⑤其中正确的有（） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题，认真填一填，试一试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是____． 12. 已知，，是抛物线上的三点，则，，由小到大依序排列是__________． 13. 已知为方程的根，那么的值为_________． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为______________________． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 三、解答题（本大题共8小题，16－20题每小题6分，21－22题每小题8分，23题9分，共55分） 16. 解下列方程： （1）； （2） 17. 已知二次函数的图象与轴两交点为、． （1）填空：__________； （2）求代数式的值． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 19. 如图，利用一面墙墙最长可利用米，围成一个矩形花园，与墙平行一边上要预留米宽的入口如图中所示，不用砌墙），用砌米长的墙的材料，当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为平方米；能否围成平方米的矩形花园，为什么？ 20. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求三角形的面积． 22. 据市场调研发现，米工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，今年四月份共生产720个“冰墩墩”，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同． （1）求该工厂这两个月的月平均增长率； （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，并尽可能的让利于顾客，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． （1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期十月份学情调研 九年级数学试题 一、单项选择题，精心选一选，相信自己的判断力！（本大题共10小题，每小题3分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”进行分析即可． 【详解】解：A、当时，是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B、变形为，则不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是关于x一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到：， 再向上平移1个单位长度得到：． 故选：D． 4. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有交点， 且， 且， 故选：A 5. 一个群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用发信息的总数=群里好友的人数×（群里好友的人数），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 若二次函数y＝（x-m）2-1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. m＝3 B. m＞3 C. m≥3 D. m≤3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【详解】解：二次函数y=（x-m）2-1的对称轴为直线x=m， ∵当x≤3时，y随x的增大而减小， ∴m≥3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 7. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的图象判断出<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出<0, c>0. 8. 国庆节期间某电影上映的第一天票房约为5亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房20.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“三天累计票房20.82亿元”求解即可得出答案． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，列方程为： ， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系． 9. 定义运算：．例如：．则方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义得出方程，再解分式方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：B． 【点睛】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解方法解一元二次方程是解题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②当或时，；③；④若在该函数的图象上，当时，．⑤其中正确的有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，难度适中． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象的对称轴为：， ，即，故①正确； 由图象可知，当或时，；②错误； 由图象可知，当时，， ， ， ，故③正确； ∵抛物线的对称轴为，开口方向向上， ∴若在函数图象上， 当时，； 当时，；故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故选：B． 二、填空题，认真填一填，试一试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标是即可求解． 【详解】抛物线的顶点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式的顶点坐标是，对称轴方程是． 12. 已知，，是抛物线上的三点，则，，由小到大依序排列是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质以及点的坐标特征，本题的关键是找到点的对称点，掌握二次函数的图像性质． 先求出二次函数的图像的对称轴，然后判断出在抛物线上的位置，再求解． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小；时，随的增大而增大， ∴在对称轴右侧，此时， ∵在对称轴左侧，它关于对称轴对称的点为，且， ， 故答案为：． 13. 已知为方程的根，那么的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图可知，对称轴为直线， 所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 由图象可知：函数值大于0的的取值范围为：， 所以，的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与轴的另一个交点坐标． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，16－20题每小题6分，21－22题每小题8分，23题9分，共55分） 16. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）根据配方法进行求解即可； （2）用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， 即， 则或， 解得：． 17. 已知二次函数的图象与轴两交点为、． （1）填空：__________； （2）求代数式的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先把、代入，得出，，即是一元二次方程的解，则，即，据此作答即可． （2）先通分，再运用完全平方公式变形得，然后结合（1）的，代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴两交点为、， ∴把、代入， 得出，， 故是一元二次方程的解， 则， ∴； 故答案为：5． 【小问2详解】 解：依题意，； 则把代入． 【点睛】本题考查了抛物线与轴交点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答； （2）分别将，代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标，即可画出二次函数的图象； （3）根据图象即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数顶点坐标为． 【小问2详解】 解：把代入，得： ，解得：， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为或， 把代入得：， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； 画出函数图象如图所示： 【小问3详解】 由图得：当时，． 19. 如图，利用一面墙墙最长可利用米，围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留米宽的入口如图中所示，不用砌墙），用砌米长的墙的材料，当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为平方米；能否围成平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米；不能围成平方米的矩形花园，见解析 【解析】 【分析】设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意列方程得： ，，方程有解，则存在，否则不能． 【详解】设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意列方程得： ， ， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， . ， ， 解这个方程得：， ， 不合题意，都舍去， 答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米；不能围成平方米的矩形花园． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）方程有两个相等的实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，找出；（2）牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”． （1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合△，可得出△，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【小问1详解】 证明：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：方程有两个相等的实数根，理由如下： ∵是直角三角形，其中， ∴． ∴， ∴方程有两个相等的实数根 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点的抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，求三角形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键． （1）先确定，再设交点式，然后把点坐标代入求出即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为， 即． 【小问2详解】 解：∵，， ． 22. 据市场调研发现，米工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，今年四月份共生产720个“冰墩墩”，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同． （1）求该工厂这两个月的月平均增长率； （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，并尽可能的让利于顾客，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【答案】（1）该工厂这两个月的月平均增长率为 （2）每个“冰墩墩”应降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该工厂平均每月生产量的增长率为，根据二月份共生产500个“冰墩墩”，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，列出方程求解即可； （2）设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，根据利润单件利润数量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该工厂平均每月生产量的增长率为， 依题意得：． 解得（不符合题意，舍去）， 答：该工厂这两个月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个“冰墩墩”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 则每个“冰墩墩”应降价4元， 答：则每个“冰墩墩”应降价4元． 23. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的“伴随直线”为． 例如：抛物线的“伴随直线”为，即． （1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为__________，“伴随直线”为__________． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其“伴随直线”相交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，．若为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及新定义，是解题的关键． （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式； （2）联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点A、B的坐标，还可求得抛物线与x轴的交点C、D的坐标，从而可求得，根据图形可知为等腰三角形时，只能是，从而可求得a的值； 【小问1详解】 解：的顶点坐标为，“伴随直线”为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：的伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ，， 在中，令可解得或， ，， ，， 当为等腰三角形时，只存在一种可能为，如图所示， ，即，解得（抛物线开口向下，正值舍去） 若为等腰三角形时，a的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$