精品解析：浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

高桥初中教育集团2024学年第一学期10月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：俞佳鹏 审核人：高桥金帆备课组 请同学们注意： 1．试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】原式利用异号两数相乘的法则计算即可求出值． 【详解】解：原式＝−3×2＝−6， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键． 3. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 4. 一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ） A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．根据可能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 因为盒子里白球数量最多，所以摸到白球的可能性最大，该选项说法正确，不符合题意； B. 因为盒子里红球和黄球数量相同，摸到红球和黄球的可能性相同，该选项说法正确，不符合题意； C. 因为盒子里共装有10个白球，5个红球，5个黄球，所以摸到白球的可能性为，该选项说法正确，不符合题意； D. 摸到白球的可能性为，摸到红球、黄球的可能性均为，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 5. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 6. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】抛物线与直线相交于点和， 则的解集为：或． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 8. 如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，关键是根据图象顶点、对称轴、与轴轴）交点等方面判断．根据二次函数图象与系数的关系判断． 【详解】解：A、，令得，，即图象与轴一个交点横坐标应等于，故A不符合题意； B、令得，，若，则，可得，同理若，则可得，即抛物线与轴两个交点横坐标都在到0之间，故B不符合题意； C、当时，，解得，此时对称轴，与轴交点在负半轴，则函数图象可能为，故C符合题意； D、当时，，即与轴交点在正半轴或原点，与图象不一致，故D不符合题意． 故选：C． 9. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是2024． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是2024． 故选：C． 10. 如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（ ） A. 16 B. 15 C. 17 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图： 四边形为正方形，为对角线， ，，， ， ， 的周长， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， 矩形为正方形， ， ， 的周长， ∵， 的周长， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当______时，分式的值为1． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意可列方程，然后解方程并检验可得结论． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的根， 故答案为：3． 12. 借助新媒体传播，去年的“淄博”和“哈尔滨”等城市大火了一把，小澈想从下面4个萧山景点中任选一个制作抖音推广视频，那么“义桥老街”被选中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：小澈想从下面4个萧山景点中任选一个制作抖音推广视频， 选中“义桥老街”的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是菱形的对角线， ∴， 故答案为：． 14. 下面关于函数（m、n均为常数）的说法正确的是______． ①函数与x轴总有2个交点； ②无论m取何值，函数图象一定会过点； ③若且，则函数顶点一定在第一象限； ④若恒成立，则． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根据可以判断①；当时，，即可判断②；可以判断③；可以判断④． 【详解】解：∵当时，函数与x轴只有1个交点， 故①错误； ∵当时，， 无论为何值，该函数的图象必经过定点， 故②正确； ∵且， ∴的抛物线图象开口向下，与x轴有2个交点，分别为，，且， ∴函数图象的对称轴为直线，最大值位于x轴上方， ∴若且，则函数顶点一定在第一象限； 故③正确； 若恒成立，则是函数的抛物线图象的顶点，且开口向下， ∴图象的对称轴为直线， ∴， 故④正确． 故答案为：②③④． 15. 已知二次函数，当时，y有最小值和最大值1，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得m的取值范围． 【详解】解：二次函数 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线， 当时，该函数取得最小值 ∵当时，y有最小值和最大值1， 当时，，根据对称性，时，， ， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象与y轴的交点为点A．点在函数图象上的任意一点，且不与点A重合，直线同时经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，先求得点，代入确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【详解】解：对于抛物线①， 令，则， ∴， 点在直线上， ∴， 直线的解析式为②， 联立①②整理得，， ∴， 点是抛物线上的任意一点，且不与点重合， ， ∴， 对于时，总有， ∴，总有， ∴，总有， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 已知，整式的值为P． （1）当时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的应用，解一元一次不等式，熟练掌握知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把代入代数式进行计算即可； （2）根据数轴列出关于m的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：由数轴可得，，即， 解不等式得，． 18. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级学生中任选出10名学生，收集了他们各自家庭最近一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示． 节水量/吨 0.5 1 1.5 2 人数/人 2 3 4 1 （1）求这10名学生这个月平均每个家庭的节水量； （2）若要从节水量是1.5吨的甲、乙、丙、丁4人中任选两人分享节水心得，补全如图所示的树状图，并求恰好选中乙和丁的概率． 【答案】（1）1.2吨 （2） 补全树状图如图： 【解析】 【分析】本题考查求平均数，利用树状图法求概率： （1）根据平均数的计算方法进行求解即可； （2）补全树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（吨）； 【小问2详解】 解：共有12种等可能的结果，其中选中乙和丁的情况有2种， ∴． 19. 数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）． 【答案】（1），平行 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意补全已知和求证； （2）证明得出，即可得证． 【小问1详解】 已知：如图，在四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 故答案为：，平行． 【小问2详解】 证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 20. 已知抛物线 （1）该抛物线的顶点坐标是______ （2）若该抛物线经过点，求抛物线的解析式． （3）若抛物线在时，有最大值5，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据顶点式解析式可确定抛物线的顶点坐标； （2）将代入求出的值即可； （3）分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 解：当时，抛物线开口向上， ∴当时，有最大值， ∴， 解得，； 当时，抛物线开口向下， 当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 综上所述，． 21. 问题情境：第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．连接．设，． 小澄从面积的特殊化提出问题： 若，求正方形的面积s关于x的表达式（不用写出自变量的取值范围）并直接写出s的取值范围． 小澈从x与y关系的特殊化提出问题： 若，求证：． 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，利用勾股定理建立表达式，根据完全平方式的非负性，结合不等式的性质求s的取值范围； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； 【详解】解：在中，， ∵正方形的面积，，． ∴， ∵， ∴， ∴， s关于x的表达式为：， ∵ ∵，即， ∴， 解得：， ∴， ∵，， 当时，， ∴s的取值范围是：； 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】 （1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②一次函数，； （2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①略 ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若函数的图象经过和两点，函数的对称轴为直线______ （2）若，将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好只有一个交点，求的最小值． （3）若函数与x轴交于和，当时，求证：． 【答案】（1） （2）4 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质是解答本题的关键． （1）运用二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴； （2）根据平移后的势力的线与x轴恰好只有一个交点，得，即，，代入得，配方后可求出最小值； （3）令，得，根据一元二次方程根与系数的关系得，，由得，，再代入可得结论． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过和两点， ∴函数的对称轴为直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，，　 函数向下平移２个单位得，此时该函数与x轴恰好只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值为， ∴的最小值为4； 【小问3详解】 证明：对于，当时，， ∵函数与x轴交于和， ∴是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解得，， ∵， ∴， 又 ∴， ∴整理得，． 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若，且二次函数过和． ①求二次函数的解析式； ②当时，求的取值范围； （2）现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系； （3）若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______． 【答案】（1）①；②当时，求的取值范围为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可； ②先求得二次函数的最小值，再求得当和时，的值，据此求解即可； （2）先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案； （3）先根据函数图象上有三个点，，，，确定二次函数的开口方向，及对称轴范围，再根据顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，利用对称性确定的范围． 【小问1详解】 解：①由题意得， ∵二次函数过和， ∴，解得， ∴； ②， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， ∴当时，求的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 二次函数的顶点坐标为：， 二次函数的顶点坐标为：， 函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上， ，， 整理得： ，， ，， 得：， ， ， ， ， ，即 ， 【小问3详解】 解：函数图象上有三个点，，，且， 即在上，随x的增大，先减小后增大， 函数的图象开口向上， 函数图象的顶点在上，且顶点坐标为， 函数图象的对称轴为， ， 函数图象的对称轴在y轴左侧，即， ， ，即， ， 函数的顶点为，即在函数的图象上， ， ，即， ，即， ，即， 函数图象过点，且函数的顶点坐标再y轴左侧， 令函数， 解得：， ，， ，且， ，即， ，即， ，即， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，二次函数的顶点坐标公式，二次函数与不等式，利用数形结合解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥初中教育集团2024学年第一学期10月份素养调研 九年级数学试题卷 命题人：俞佳鹏 审核人：高桥金帆备课组 请同学们注意： 1．试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间为120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试结束后，只需上交答题卷． 祝同学们取得成功！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 6 3. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（ ） A. 摸到白球的可能性最大 B. 摸到红球和黄球的可能性相同 C. 摸到白球的可能性为 D. 摸到白球、红球、黄球的可能性都为 5. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 8. 如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. 2024 D. 10. 如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（ ） A. 16 B. 15 C. 17 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当______时，分式的值为1． 12. 借助新媒体传播，去年的“淄博”和“哈尔滨”等城市大火了一把，小澈想从下面4个萧山景点中任选一个制作抖音推广视频，那么“义桥老街”被选中的概率是______． 13. 如图，在菱形中，，则的度数为______． 14. 下面关于函数（m、n均为常数）的说法正确的是______． ①函数与x轴总有2个交点； ②无论m取何值，函数图象一定会过点； ③若且，则函数顶点一定在第一象限； ④若恒成立，则． 15. 已知二次函数，当时，y有最小值和最大值1，则m的取值范围是______． 16. 已知二次函数的图象与y轴的交点为点A．点在函数图象上的任意一点，且不与点A重合，直线同时经过A，B两点．若时，总有，则m的取值范围为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 已知，整式的值为P． （1）当时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 18. 某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级学生中任选出10名学生，收集了他们各自家庭最近一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示． 节水量/吨 0.5 1 1.5 2 人数/人 2 3 4 1 （1）求这10名学生这个月平均每个家庭的节水量； （2）若要从节水量是1.5吨的甲、乙、丙、丁4人中任选两人分享节水心得，补全如图所示的树状图，并求恰好选中乙和丁的概率． 19. 数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的． 小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形． （1）补全已知和求证（在方框中填空）． （2）小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）． 20. 已知抛物线 （1）该抛物线的顶点坐标是______ （2）若该抛物线经过点，求抛物线的解析式． （3）若抛物线在时，有最大值5，求a的值． 21. 问题情境：第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．连接．设，． 小澄从面积的特殊化提出问题： 若，求正方形的面积s关于x的表达式（不用写出自变量的取值范围）并直接写出s的取值范围． 小澈从x与y关系的特殊化提出问题： 若，求证：． 22. 综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若函数的图象经过和两点，函数的对称轴为直线______ （2）若，将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好只有一个交点，求的最小值． （3）若函数与x轴交于和，当时，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，设二次函数． （1）若，且二次函数过和． ①求二次函数的解析式； ②当时，求的取值范围； （2）现有另一函数，若函数的图象顶点在函数的图象上，函数的图象顶点在函数的图象上，且，求a与d的数量关系； （3）若顶点在上，且顶点坐标为，图象过点，在函数图象上有三个点，，，当时，直接写出m的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $