4.1数列的概念8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.1数列的概念8题型分类 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，时大时小 二、数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 三、数列的通项公式 1．通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2．递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 四、数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ （一） 数列的概念及通项 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 （1）常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. （2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理. 题型1：数列的概念与分类 1-1．（2024高二下·黑龙江鸡西·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 1-2．（2024高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 1-3．（2024高二·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（    ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 1-4．（2024高三·全国·课后作业）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，… C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…， 题型2：由数列的前几项求数列的通项 2-1．（2024高二上·山东青岛·期中）写出数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式： (1)0，1，0，1，…； (2)7，77，777，7777，…； (3)，，，，…； (4)，，，，…． 2-3．（2024高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 2-5．（2024高二下·湖北武汉·期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有 个点.    题型3：写出或判断数列中的项 3-1．（2024高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C． D． 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 3-4．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为，是否是该数列中的项？若是，是第几项？ 3-5．（2024高二上·广西河池·期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 （二） 由an与Sn的关系求通项 数列的通项an与前n项和Sn的关系：an＝ ①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则a1可并入n≥2时的通项an； ②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 题型4：由an与Sn的关系求通项 4-1．（2024高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 4-2．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为 . 4-3．（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． （三） 数列的递推关系 数列的递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 题型5：由数列的递推关系求项 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）数列中，对所有的都有，则（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二·全国·专题练习）根据条件，确定数列的通项公式．，； 5-3．（2024高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 5-4．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． （四） 数列的性质 1、数列的性质： （1）单调性：如果对所有的n∈N*，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的n∈N*，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. （2）周期性：如果对所有的n∈N*，都有an+k=an(k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. 2、数列单调性的判断： ①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性． 3、数列的周期性： 结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解. 题型6：数列的单调性 6-1．（2024高二下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 6-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 6-3．（2024高二下·北京怀柔·期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高二下·广西桂林·期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6-5．（2024高二上·甘肃白银·期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 题型7：数列的最大（小）项 7-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项． 7-2．（2024高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 7-3．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 7-4．（2024·河南·模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 7-5．（2024高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型8：数列的周期性 8-1．（2024高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．2023 8-2．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知数列中，，则 ． 8-3．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）若数列满足，，，则（    ） A． B．－2 C．3 D． 8-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）数列满足，若，则等于（    ） A． B． C． D． 8-5．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（    ） A． B． C． D． 8-6．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 8-7．（2024高二下·重庆荣昌·阶段练习）设数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．-3 8-8．（2024高二下·新疆·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·陕西渭南·期末）设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 2．（2024高三上·江西·开学考试）记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·河北保定·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·广西玉林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 7．（2024高二·全国·课后作业）现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2024高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·福建福州·期中）如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（    ）    A．1 B．0 C．—1 D．2 10．（2024高二下·辽宁沈阳·期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 11．（2024·河南·模拟预测）《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（    ）. A．5 B．6 C．7 D．8 12．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列的前项和为，设，，则（    ） A． B． C． D．1012 13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 14．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．（2024高三·云南·阶段练习）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）        A．；n B．； C．；n D．； 16．（2024高二下·湖北·阶段练习）数列满足，且对，恒有，则（    ） A．2021 B．2023 C．2035 D．2037 17．（2024高二下·贵州·阶段练习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．39 18．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（    ）    A．4 B．7 C．16 D．31 19．（2024高二下·四川遂宁·阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（    ）    A． B． C． D． 20．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 21．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 22．（2024高二下·河南郑州·期末）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一下·北京西城·期中）已知数列具有性质 P:对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论： ①数列0，2，4，6具有性质P； ②若数列A具有性质P，则； ③若数列具有性质 P，则. 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题 25．（2024高二上·全国·单元测试）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（   ） A．2 B． C． D．3 26．（2024高三·全国·专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（　　） A． B． C． D． 27．（2024高三上·山东·阶段练习）下列数列是单调递增数列的有（    ） A． B． C． D． 28．（2024高二上·云南楚雄·阶段练习）下列叙述不正确的是（    ） A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．1，3，1，3，…是常数列 C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列 29．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列． B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点． D．若数列的前n项和为，则对任意，都有. 30．（2024高二下·江西·期末）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 三、填空题 31．（2024高一下·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ． 32．（2024·江苏盐城·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11项是 33．（2024高三上·北京·阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是 . 34．（2024高二上·河北邢台·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 35．（2024高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 . 36．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式 . 37．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）数列满足，则 . 38．（2024·北京·模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 39．（2024高三上·北京西城·阶段练习）若数列的前项和为，则 . 40．（2024高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，，则 四、解答题 41．（2024高一下·四川攀枝花·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 42．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为．求数列的通项公式. 43．（2024高二下·黑龙江鸡西·期中）已知数列. (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由； (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 44．（2024高三·全国·对口高考）已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列. 45．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)写出这个数列的前5项． (2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？ 46．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． 47．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列数列的单调性： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．（2024高二·全国·随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 49．（2024高一·全国·课后作业）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有条边. （1）写出的值. （2）求出数列的递推公式. 50．（2024高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 51．（2024高二·全国·随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式： (1)，，，，…… (2)，，，，…… 52．（2024高二上·全国·课后作业）观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式： (1)2，4，2，4，…； (2)9，99，999，9999，…： (3)，，，，…． 53．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.1数列的概念8题型分类 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，时大时小 二、数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 三、数列的通项公式 1．通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2．递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 四、数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ （一） 数列的概念及通项 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 （1）常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. （2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理. 题型1：数列的概念与分类 1-1．（2024高二下·黑龙江鸡西·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 1-2．（2024高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断. 【详解】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误； C中第项为，正确；D中，错误. 故选：C 1-3．（2024高二·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（    ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】数列的通项公式为，因为，所以数列就是直角坐标系的上的一个个点. 【详解】数列的通项公式为，它的图像就是直线 上满足的一系列孤立的点. 故选:D． 1-4．（2024高三·全国·课后作业）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，… C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…， 【答案】B 【详解】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B. 题型2：由数列的前几项求数列的通项 2-1．（2024高二上·山东青岛·期中）写出数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数列分子为，分母为，由此可求得一个通项公式. 【详解】数列， 则其分母为，分子为，则其通项公式为. 故选：B 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式： (1)0，1，0，1，…； (2)7，77，777，7777，…； (3)，，，，…； (4)，，，，…． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据所给数列的前几项，分析项和项数之间的关系，探求规律即可得解. 【详解】（1）根据所给数列可得，. （2）根据所给数列可得， （3）根据所给数列可得， （4）根据所给数列可得， 2-3．（2024高二上·甘肃张掖·阶段练习）数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的项归纳出一个规律即得． 【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意． 故选：D 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）写出下面数列的一个通项公式： (1)，，，，，…； (2)1，，，，，…； (3)6，66，666，6666，66666，…； (4)2，0，2，0，2，…． 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】(1)根据分子分母的特征分析数列的解析式即可； (2)结合正负交错的数列特征增加符号解析式； (3) 根据9，99，999…的通项公式求解； (4)根据数列1，-1，1，-1，1，…．的通项公式求解即可； 【详解】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列， 则 （2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增， 故 （3）9，99，999…的一个通项公式为 则6，66，666…的一个通项公式为 （4）1，-1，1，-1，1，…．的一个通项公式为， 则2，0，2，0，2，…．的一个通项公式为. 2-5．（2024高二下·湖北武汉·期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有 个点.    【答案】57 【分析】根据题意，首先观察题目所给的五个图像，找出每个图形之间有什么联系，然后通过每个图形之间的联系得出通项公式，得出结论． 【详解】根据题意，图（1）中只有1个点，无分支； 图（2）除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1个点； 图（3）除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2个点； 图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点， 则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点，第个图形中有个点， 故第8个图形中有个点． 故答案为：57． 题型3：写出或判断数列中的项 3-1．（2024高二上·新疆·期末）已知数列，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可. 【详解】由题意知：该数列的通项公式为，. 故选：A. 3-2．（2024高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】结合通项公式，利用列方程求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：B. 3-3．（2024高二上·全国·课后作业）已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【答案】(1)， (2)是这个数列中的第项 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项； （2）将代入该数列的通项公式，从而得解； （3）将代入该数列的通项公式，从而得证. 【详解】（1）因为无穷数列，，，…，，…， 所以该数列的通项公式为， 则，. （2）因为， 将代入，得，解得或（舍去）， 所以是这个数列中的第项. （3）因为， 将代入，得，即，解得（负值舍去）， 又，故也不满足题意， 所以不是这个数列中的项. 3-4．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为，是否是该数列中的项？若是，是第几项？ 【答案】是，15 【分析】令求解判断. 【详解】解：令，即， 解得或（舍去）， 所以是该数列中的项，且是第15项. 3-5．（2024高二上·广西河池·期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】分别令，，求解即可. 【详解】对于A，令，解得：，故A不正确； 对于B，令，解得：，故B不正确； 对于C，令，解得：，故C不正确； 对于D，令解得：或（舍）,故D正确. 故选：D. （二） 由an与Sn的关系求通项 数列的通项an与前n项和Sn的关系：an＝ ①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则a1可并入n≥2时的通项an； ②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 题型4：由an与Sn的关系求通项 4-1．（2024高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用数列和与通项的关系，分两种情况求解. 【详解】当时，； 当时，， 因为，所以两式相减可得； 显然不满足上式， 综上可得. 故答案为： 4-2．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式. 【详解】由数列的前n项和为， 当时，可得； 当时， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 4-3．（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得. 【详解】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. （三） 数列的递推关系 数列的递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 题型5：由数列的递推关系求项 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）数列中，对所有的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系可得时，，即可代入求解. 【详解】由，得时，， 因此当时，，故，，所以， 故选：A 5-2．（2024高二·全国·专题练习）根据条件，确定数列的通项公式．，； 【答案】 【分析】将递推公式移项，观察移项后的数列规律，利用累加法求得通项公式. 【详解】∵，∴， 其中 ∴ ． 又适合上式，故 ． 5-3．（2024高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据题意，将原式变形可得，由累加法分析可得﹒ 【详解】根据题意，数列满足，且， 即， 变形可得， 则有， 则，故； 故选：B． 5-4．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果 【详解】由，得， 所以，，，……，，，（）， 所以， 所以， 因为，所以， 因为满足上式，所以， 故选：B （四） 数列的性质 1、数列的性质： （1）单调性：如果对所有的n∈N*，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的n∈N*，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. （2）周期性：如果对所有的n∈N*，都有an+k=an(k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. 2、数列单调性的判断： ①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性． 3、数列的周期性： 结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解. 题型6：数列的单调性 6-1．（2024高二下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 【答案】A 【分析】根据递增数列的定义即可判断出答案. 【详解】由题意可知， 即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列； 故选：A 6-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知函数，设数列的通项公式为，其中； (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)递增，理由见解析 【分析】（1）根据数列的通项公式，结合n的性质即可证明结论； （2）利用作差法，说明成立，即可得结论. 【详解】（1）由题意可知， 又因为，所以，因此，即. （2）因为， 又因为，，所以， 从而，即， 因此是递增数列. 6-3．（2024高二下·北京怀柔·期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围 【详解】因为数列的通项公式为，且是递增数列， 所以对于都成立， 所以对于都成立， 即对于都成立， 所以对于都成立， 所以，即的取值范围是， 故选：D 6-4．（2024高二下·广西桂林·期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 6-5．（2024高二上·甘肃白银·期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由T数列的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列，故A错误； 当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列，故B错误； 因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列，故C错误； 当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列，故D正确. 故选：D 题型7：数列的最大（小）项 7-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项． 【答案】最大项为，最小项为 【分析】依题意转化得，然后通过观察分析即可得解． 【详解】， ， 而，， 若要最大，则需要取最小正数，则当时，最大， 若要最小，则需要取最大负数，则当时，最小． 所以该数列前30项中的最大项为，最小项为. 7-2．（2024高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【详解】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 7-3．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【详解】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 7-4．（2024·河南·模拟预测）已知数列的通项公式为，则当最小时，（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，探讨数列的单调性，求出最小时的n值作答. 【详解】数列中，，则，而， 于是当时，，即，当时，，即， 因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 所以当且仅当时，最小. 故选：C 7-5．（2024高二下·辽宁辽阳·期末）在数列中，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，利用对勾函数的单调性，可得，从而可得答案. 【详解】由题意可得． 根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减， 所以在中，， 当时，，； 当时，． 因为，所以， 所以的最大值是． 故选：D. 题型8：数列的周期性 8-1．（2024高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．2023 【答案】A 【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定. 【详解】由，，，……， 所以是周期为3的数列，故. 故选：A 8-2．（2024高二上·湖南株洲·阶段练习）已知数列中，，则 ． 【答案】 【分析】 根据题意分析可知数列的周期为6，结合周期性运算求解. 【详解】因为，则， 两式相加得，则， 所以数列的周期为6， 所以. 故答案为：. 8-3．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）若数列满足，，，则（    ） A． B．－2 C．3 D． 【答案】A 【分析】代入计算出数列的前几项，归纳出周期后可得结论． 【详解】，则，，，， 所以数列是周期数列，且周期是4，因此， 故选：A． 8-4．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）数列满足，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设递推式可得数列具有周期性，周期为4，进而求解即可. 【详解】由， 因为，所以，， ，，， 所以数列具有周期性，周期为4， 所以． 故选：C. 8-5．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知数列是以4为周期的周期数列，结合周期性运算求解. 【详解】因为，且， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 可知数列是以4为周期的周期数列， 则，且， 所以. 故选：C. 8-6．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可证得数列是以为周期的周期数列，得到；由递推关系求得即可. 【详解】，， ， 数列是以为周期的周期数列，， 又，，，，，. 故选：D. 8-7．（2024高二下·重庆荣昌·阶段练习）设数列满足，，则（    ） A．2 B． C． D．-3 【答案】C 【分析】利用周期性求得 【详解】， ， ， ， 所以数列是周期为的周期数列，， 所以. 故选：C 8-8．（2024高二下·新疆·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系推出数列的周期性即可. 【详解】因为，所以， ， ， 所以是周期为的数列，故. 故选：C 一、单选题 1．（2024高二上·陕西渭南·期末）设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 2．（2024高三上·江西·开学考试）记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知可得，结合的表达式可求得结果. 【详解】 因为为数列的前项和，且， 则. 故选：A. 3．（2024高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】从特殊到一般的思想方法，求出几项的值寻找规律. 【详解】因为，， 所以； 所以的周期为3，所以. 故选：A. 4．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列中数据特征得到通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是， 数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是． 故选：B． 5．（2024高二上·河北保定·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列． 故选：C. 6．（2024高二上·广西玉林·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断. 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 7．（2024高二·全国·课后作业）现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答. 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 8．（2024高二上·广东珠海·期末）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为递增数列，则，可得的范围． 【详解】若为递增数列，则， 则有，对于恒成立． ，对于恒成立，． 故选：A． 9．（2024高二下·福建福州·期中）如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（    ）    A．1 B．0 C．—1 D．2 【答案】B 【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，同时第n圈的最后一个点对应坐标为，在第4圈最后一个点上，则 【详解】由图可知，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知 第二圈从点到点共16个点，由对称性可知， 以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0． 第圈的最后一个点对应坐标为，在第4圈最后一个点上，则 故选：B． 10．（2024高二下·辽宁沈阳·期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】B 【分析】根据题意，由数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，数列的通项公式为，令，解得. 故选：B 11．（2024·河南·模拟预测）《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（    ）. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，列出，结合，赋值进行计算，可得答案. 【详解】根据题意可知， 所以，， 而，故可能大于1，所以m可能取到的最大值为7. 故选：C 12．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列的前项和为，设，，则（    ） A． B． C． D．1012 【答案】C 【分析】由已知推得，进而得出的前几项，观察可得的周期，根据数列的周期性，求和即可得出答案. 【详解】易知，由得. 又， 所以，，， 故数列是以3为最小正周期的周期数列， 所以. 故选：C. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（　　） A．1， B．0， C．， D．1， 【答案】A 【分析】利用的单调性可得答案. 【详解】因为，所以当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减，且， 所以最小项为，最大项为. 故选：A. 14．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【详解】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 15．（2024高三·云南·阶段练习）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（    ）        A．；n B．； C．；n D．； 【答案】D 【分析】根据“勾股数”的规律依次类推求解. 【详解】解：第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2， 第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3， 第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4， … 第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为， 故选：D 16．（2024高二下·湖北·阶段练习）数列满足，且对，恒有，则（    ） A．2021 B．2023 C．2035 D．2037 【答案】D 【分析】由已知可依次求出的值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，. 故选：D. 17．（2024高二下·贵州·阶段练习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．39 【答案】C 【分析】由题写出数列的前8项，即可得答案. 【详解】由斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，知. 故选：C 18．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（    ）    A．4 B．7 C．16 D．31 【答案】C 【分析】根据递推公式求即可. 【详解】由题意得，，， 所以解下第5个圆环最少需要移动的次数为16次. 故选：C. 19．（2024高二下·四川遂宁·阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由，，，可推测，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案． 【详解】 ，，，，，，，， 等式两边同时累加得，即，也符合该式， 所以第个图形中小正方形的个数是． 故选：C 20．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【答案】D 【分析】根据无穷数列的概念可知A正确；由恒成立可知B正确；根据常数列的概念可知C正确；根据数列的单调性可知D错误. 【详解】对于A ，显然是无穷数列，故A正确； 对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确； 对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确； 对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误. 故选：D 21．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】C 【分析】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示. 【详解】对A，数列可为常数数列，A错误； 对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误； 对C，当时，，C正确； 对D，数列中的第一项不能用表示，D错误. 故选：C 22．（2024高二下·河南郑州·期末）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数列满足单调递减，得到且，再比较端点值大小，求出，得到答案. 【详解】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得， 时，，而要满足，故要单调递减，所以， 从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 23．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为数列为单调递增数列， 所以在恒成立， 所以，即可. 令，，则， 由一次函数知，当时，取得最大值为,即. 所以的取值范围为. 故选：B. 24．（2024高一下·北京西城·期中）已知数列具有性质 P:对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论： ①数列0，2，4，6具有性质P； ②若数列A具有性质P，则； ③若数列具有性质 P，则. 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】分别求得各命题中的与，根据定义，判断真假即可. 【详解】①数列0，2，4，6，，，，，，这6组数都满足和两数中至少有一个是该数列中的一项，所以数列0，2，4，6具有性质，故①正确； ②若数列A具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项， ∴，故②正确； ③∵数列，，具有性质，， 由②，，，，都是该数列中的项， ∴与至少有一个是该数列中的项， 易知不是该数列的项，则是该数列中的一项，即或或， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，与矛盾， 综上，，故③正确． 故选： A. 二、多选题 25．（2024高二上·全国·单元测试）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】运用数列的单调性列式求解即可. 【详解】因为，，是递增数列， 所以必有， 即：， 解得：. 故选：BC. 26．（2024高三·全国·专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可. 【详解】 对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确； 对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确； 对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确； 对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确. 故选：ACD 27．（2024高三上·山东·阶段练习）下列数列是单调递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用验证各选项即可. 【详解】因为 选项A：，所以，不是单调递增数列； 选项B：，所以是单调递增数列； 选项C：，所以，不是单调递增数列； 选项D：，所以是单调递增数列； 故选：BD 28．（2024高二上·云南楚雄·阶段练习）下列叙述不正确的是（    ） A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．1，3，1，3，…是常数列 C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】ABC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列的通项公式判断C，根据数列的单调性判断D. 【详解】对于A，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A错误； 对于B，数列1，3，1，3，…是摆动数列，故B错误； 对于C，数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 故选：ABC． 29．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列． B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点． D．若数列的前n项和为，则对任意，都有. 【答案】ACD 【分析】根据数列的定义、数列的单调性、数列的图象特征、与之间的关系逐一判断即可. 【详解】由数列的定义可知选项A正确； 一个数列可以是常数列，因此选项B错误； 根据数列的图象特征可知选项C正确； 由的意义可知选项D正确， 故选：ACD 30．（2024高二下·江西·期末）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 【答案】BD 【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以 所以数列的最大项为，最小项为， 故选：BD. 三、填空题 31．（2024高一下·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】利用可得，检验是否符合，即可得出答案. 【详解】由题知，， 则， ， 又，符合上式， 所以. 故答案为： 32．（2024·江苏盐城·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11项是 【答案】 【分析】由观察知，可得为偶数和为奇数的通项公式，然后代入，求解即可. 【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以. 故答案为： 33．（2024高三上·北京·阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是 . 【答案】 【分析】配方得出，利用二次函数的基本性质可求得最大项的值. 【详解】因为， 故当或时，取得最大值. 故答案为：. 34．（2024高二上·河北邢台·期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】当，先利用求出，再验证时是否符合即可. 【详解】当时，，即， 当时，， 对于，当时，，与不符， 所以. 故答案为：. 35．（2024高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用进行求解. 【详解】当时，， 当时，， 显然，故. 故答案为： 36．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，， 不满足. 所以，. 故答案为：. 37．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由题设， 所以是周期为3的数列，则. 故答案为： 38．（2024·北京·模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】取得到，时，根据计算得到答案. 【详解】，取得到， 当时，， ， 当时，不满足 所以. 故答案为：. 39．（2024高三上·北京西城·阶段练习）若数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用数列前n项和与第n项的关系求出通项作答. 【详解】数列的前项和为， 当时，， 而，不满足上式， 所以. 故答案为： 40．（2024高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，，则 【答案】 【分析】根据与的关系式，可推得，进而根据累乘法即可求出. 【详解】由已知可得，. 当时，， 所以； 当时， 有，， 两式相减得，， 所以. 所以有， ， ， ， ， 两边同时相乘可得，， 整理可得，. 当时，，满足该式， ，满足该式， 故. 故答案为：. 四、解答题 41．（2024高一下·四川攀枝花·阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对已知条件，通过令，结合题意即可求得结果； （2）把已知递推式因式分解，求出，利用的关系求得答案． 【详解】（1）由，得 ，即， 解得：(舍或. （2）由， 得， 即或（舍） 当时，． 当时，． 验证时上式成立， ． 42．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为．求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据求出时的通项，由此求数列的通项公式. 【详解】由得：， 相减得， 当时，也满足上式， ∴． 所以数列的通项公式为. 43．（2024高二下·黑龙江鸡西·期中）已知数列. (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由； (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 【答案】(1)； (2)是，第16项； (3)第7项. 【分析】（1）代入求解即可； （2）令，求解即可； （3）令，求解即可. 【详解】（1）； （2）令，即， 即，解得或（舍去）， 故150是这个数列的项，为第16项； （3）令，，解得或， 因为n为正整数，所以从第7项开始都为正数. 44．（2024高三·全国·对口高考）已知数列的通项公式是，试求的取值范围，使得数列为递增数列. 【答案】 【分析】递增数列有，结合解不等式即可. 【详解】数列为递增数列，则有，即， 解得，由，则. 所以的取值范围为. 45．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)写出这个数列的前5项． (2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？ 【答案】(1)答案见解析； (2)有最小项，为第四项. 【分析】（1）根据通项公式写出对应项； （2）根据通项公式对应二次函数性质判断是否有最小项即可. 【详解】（1）由题设，，， ，. （2）由，对应二次函数开口向上且对称轴为， 所以有最小项，为第四项. 46．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． 【答案】作图见解析，第4项最大 【分析】直接作出图象，并根据图象特点即可得到最大项. 【详解】, , 该数列的图象如下图所示：      ，， 设，对称轴为，且开口向下， 又因为，再结合图象可知该数列有最大项, 为第四项. 47．（2024高二上·全国·课后作业）判断下列数列的单调性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)单调递减 (2)单调递增 (3)单调递增 (4)单调递减 【分析】数列是特殊的函数，所以可以根据函数的单调性判断数列的单调性，（1）（2）（3）由对应的函数单调性判断即可，（4）利用作差比较法判断. 【详解】（1）根据函数单调递减知，单调递减， 所以数列是单调递减数列. （2）由为增函数知，单调递增， 所以数列是单调递增数列. （3）由在上单调递增知，单调递增， 所以数列是单调递增数列. （4）因为， 所以 ， 当，时，， 所以， 即，所以， 所以数列是单调递减数列. 48．（2024高二·全国·随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 【答案】(1)数列为递减数列，图见解析 (2)数列为递增数列，图见解析 【分析】描点法作图，根据及图像可判断 【详解】（1），且，， 数列为递减数列，如图：    （2），， 数列为递增数列，如图：    49．（2024高一·全国·课后作业）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有条边. （1）写出的值. （2）求出数列的递推公式. 【答案】（1）.（2） 【分析】（1）观察图像即可得出结果； （2）由雪花图形的画法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第条“雪花曲线”的四条边，即可得到递推公式． 【详解】解：（1）. （2）由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第条“雪花曲线”的四条边. ∴.∴数列的递推公式为. 【点睛】本题考查观察法求数列的递推式，是基础题． 50．（2024高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，． (1)求的通项公式； (2)88是否是数列中的项？ 【答案】(1) (2)88不是数列中的项 【分析】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式； （2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项. 【详解】（1）解：因为，，通项公式， 所以， 解得，， 所以； （2）令， 解得， 因为， 所以88不是数列中的项. 51．（2024高二·全国·随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式： (1)，，，，…… (2)，，，，…… 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式. 【详解】（1）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）. （2）数列的前几项可改写为，，，，……，则（答案不唯一）. 52．（2024高二上·全国·课后作业）观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式： (1)2，4，2，4，…； (2)9，99，999，9999，…： (3)，，，，…． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】通过观察数列，找出它们的规律，从而得解. 【详解】（1）因为这个数列的前4项为，，，， 由此得到它的一个通项公式． （2）因为这个数列的前4项为，，，， 由此得到它的一个通项公式． （3）因为这个数列的前4项为，，，， 由此得到它的一个通项公式． 53．（2024高二上·上海·课后作业）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项． 【答案】详见解析 【分析】由判断判断单调性后即可得最值. 【详解】解：， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在时单调递增，在时单调递减； 所以数列的最大项为， 又，当，， 所以数列的最小项为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$