4.3.1 等比数列的概念（思维导图+5大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦等比数列的概念，系统梳理从定义出发，经等比中项、通项公式（含归纳法等推导）、性质到函数关系的完整知识脉络，结合思维导图搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料亮点在于知识点辨析深入（如等比中项的必要不充分条件），8类题型覆盖判断、证明等，结合高考真题培养推理能力与模型意识，课中辅助系统授课，课后助力学生通过变式题查漏补缺。

4．3．1 等比数列的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等比数列的定义 4 知识点二、等比中项 4 知识点四、等比数列的性质 5 知识点五、等比数列中的函数关系 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：判断一个数列是否为等比数列 7 题型二：基本量法 10 题型三：利用定义法证明等比数列 12 题型四：等比中项的应用 13 题型五：实际应用 15 题型六：单调性及最值问题 17 题型七：等比数列的性质 20 题型八：对称设元法的应用 21 知识点一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点二、等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识点三、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 知识点四、等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 知识点五、等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 题型一：判断一个数列是否为等比数列 【例题1】（2025·高二·上海·期中）对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【答案】D 【解析】对于命题甲：假设存在等差数列， 设这三项对应的项数分别为，公差为， 则 两式相除得：， 又为无理数， 右边，所以假设不成立，故命题甲为假命题； 对于命题乙：假设存在等比数列， 设这三项对应的项数分别为，公比为， 则，， 不妨设，则， 可得，， 两边分别取以为底的对数，得，， 若，则，矛盾； 若，则， 两式相除得：， 即， 因为为互不相等的正整数，所以为有理数，而为无理数， 有理数不可能等于无理数，产生矛盾。 所以假设不成立， 故命题乙是假命题； 故选：D 【例题2】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 【方法技巧与总结】 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，则， 若为正项等比数列，则， 所以为常数，即为等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则， 所以，即为正项等比数列，即必要性成立． 故选：A. 【变式2】（2025·高二·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式3】（2025·高二·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】令，可得，即， 所以是以公比为的等比数列，所以甲能推出乙， 若是等比数列，则取，， 所以，所以乙不能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 题型二：基本量法 【例题3】（2025·高二·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【答案】A 【解析】设等比数列公比为，则. 由题可得，则. 故选：A 【例题4】（2025·高二·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【解析】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 【方法技巧与总结】 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式4】（2025·高三·河北衡水·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设的公差为的公比为， 则由题意得解得或3； 故选:D. 【变式5】（2025·高二·重庆·月考）在正项等比数列 中， 是方程 的两根，则 （   ） A．4 B． C． D． 或 【答案】D 【解析】 是方程 的两根， 由韦达定理得，解得或， 是正项等比数列，设公比为，则， ，解得， 若，则，解得，， ； 若，则，解得，， . 综上，的值为24或12，故D正确． 故选：D． 【变式6】（2025·高二·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【解析】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 题型三：利用定义法证明等比数列 【例题5】已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【解析】因为 所以. 由，知， 从而. 所以. 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 所以，即. 【例题6】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【解析】因为，所以当时，， 当时，，整理可得， 因为，又. 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列． 【方法技巧与总结】 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可． 【变式7】已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 【解析】由，，可得． 因为，，所以，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列． 【变式8】在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）由于，所以． 又，所以． 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以． 【变式9】已知数列满足，， (1)证明：数列是等比数列； (2)求出的通项公式． 【解析】（1）由得， 因为，所以， 所以， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列； （2）由(1)可知，所以数列的通项公式为. 题型四：等比中项的应用 【例题7】已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，则 ． 【答案】或 【解析】设等差数列的公差为d， 依题意，得，整理得， 解得或，所以或. 故答案为：或 【例题8】（2025·高三·湖北武汉·月考）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则 ． 【答案】 【解析】由题意知等差数列的公差，，，构成等比数列， 则，即， 即得，则， 故， 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式10】（2025·高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 【答案】 【解析】设与的等比中项为，则. 故答案为： 【变式11】（2025·高二·吉林·期末）若为等比数列，4和16为其中的两项，则4和16的等比中项为 . 【答案】 【解析】令4和16的等比中项为，则. 故答案为： 【变式12】已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解法一:设，，则由，可得． 当时，；当时，，于是或． 又∵，∴或，故． 解法二:由a，b，c成等比数列，知，又．∴且， 从而a、c可视为关于x的方程的两个实根． 令，解得． 又，故． 故答案为：. 题型五：实际应用 【例题9】（2025·高三·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【解析】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 【例题10】（2025·高三·北京丰台·期末）各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（   ） A．73 B．75 C．76 D．78 【答案】B 【解析】由题意可知a的取值可从中选取（或10时，任取4项可构成等差数列，不合题意）， b的取值可从中选取（时，任取4项可构成等差数列，不合题意），， 且需满足， 当时，b的取法有12种；当时，b的取法有11种； 当时，b的取法有10种；当时，b的取法有9种； 当时，b的取法有8种，依次类推，当时，b的取法有1种； 则的可能取法有（种）， 其中当时，成等差数列，不合题意； 当时，成等比数列，不合题意； 当时，成等差数列，不合题意； 故满足题意的的取法有（种）， 故选：B 【方法技巧与总结】 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式13】（2025·高二·广西柳州·月考）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 【变式14】（2025·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 【变式15】（2025·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 【答案】C 【解析】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列， 则每本书的单价为元. 故选：C. 题型六：单调性及最值问题 【例题11】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 【例题12】（2025·高二·上海·月考）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①：若数列既是等差数列又是等比数列，不妨设， 则，故，所以数列为常数列，正确； ②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界， 要使等差数列满足，则数列是常数列，正确； ③：若等比数列满足， 如，此时，满足条件，但不是常数列， 所以数列不一定是常数列，错误； ④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，， 若，令，可得，故当取大于的正整数时，，矛盾， 若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确． 故选：C． 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式16】（2025·高三·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 【变式17】（2025·高二·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 【变式18】（2025·高三·河北邢台·月考）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 题型七：等比数列的性质 【例题13】（2025·高二·甘肃庆阳·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】因为数列是等差数列，所以， 所以，解得或（舍去）， 又因为数列是等比数列，所以． 故选：A. 【例题14】（2025·高三·安徽·开学考试）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】因为是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，， 又，所以，所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式19】（2025·高二·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【答案】B 【解析】为等比数列，，故， 且， 故. 故选：B 【变式20】（2025·高二·四川成都·期中）在正项等比数列中，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正项等比数列的性质可知：，则= 【变式21】（2025·高二·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【解析】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 题型八：对称设元法的应用 【例题15】有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数． 【解析】根据题意设前三个数依次为，，，则 解得， 设后三个数依次是6，，，则 解得． 所以后三个数分别是6，4，2． ，所以第一个数为 综上可得，这四个数分别是9，6，4，2． 【例题16】有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为，后三个数成等比数列，它们的和为，求这四个数． 【解析】由于前三个数成等差数列，且它们的和为，则第二个数为， 设前三个数分别为、、，由于后三个数成等比数列，则第四个数为， 因为后三个数之和为，则，整理得，解得或. 若，则这四个数分别为、、、； 若，则这四个数分别为、、、. 因此，这四个数分别为、、、或、、、. 【方法技巧与总结】 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为， （2）四个符号相同的数成等比数列设为． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为， （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为． 【变式22】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 【解析】设四个数分别为，根据题意得，解得或，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1． 【变式23】已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数． 【解析】设四个数依次为a，aq，aq2，aq3， 则，解得或， 故所求四个数依次为或 【变式24】已知数列是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项． 【解析】方法一：设这个等比数列的前4项分别为a，aq，，， 由题意，得即 将②式平方后除以①式，得， 整理得，解得或． 因为等比数列为各项均为正数，且单调递增的等比数列， 所以，，即，．所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16． 方法二：根据数列是一个各项均为正数的等比数列， 可设这个数列的前4项分别为，，aq．其中，公比为． 由题意，得解得或 或或又因为数列单调递增， 所以，即或所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．3．1 等比数列的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等比数列的定义 4 知识点二、等比中项 4 知识点四、等比数列的性质 5 知识点五、等比数列中的函数关系 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：判断一个数列是否为等比数列 7 题型二：基本量法 7 题型三：利用定义法证明等比数列 8 题型四：等比中项的应用 9 题型五：实际应用 10 题型六：单调性及最值问题 11 题型七：等比数列的性质 11 题型八：对称设元法的应用 12 知识点一、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点二、等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识点三、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 知识点四、等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 知识点五、等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 题型一：判断一个数列是否为等比数列 【例题1】（2025·高二·上海·期中）对于下列两个命题真假的判断的正确选项是（    ） 命题甲：存在某个等差数列同时含有三项． 命题乙：存在某个等比数列同时含有三项． A．甲真乙假 B．甲假乙真 C．甲乙都真 D．甲乙都假 【例题2】（2025·高二·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·高二·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2025·高二·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型二：基本量法 【例题3】（2025·高二·广东·期末）已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 【例题4】（2025·高二·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【方法技巧与总结】 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式4】（2025·高三·河北衡水·月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，则数列的公比为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5】（2025·高二·重庆·月考）在正项等比数列 中， 是方程 的两根，则 （   ） A．4 B． C． D． 或 【变式6】（2025·高二·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 题型三：利用定义法证明等比数列 【例题5】已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【例题6】在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【方法技巧与总结】 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可． 【变式7】已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 【变式8】在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式9】已知数列满足，， (1)证明：数列是等比数列； (2)求出的通项公式． 题型四：等比中项的应用 【例题7】已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，则 ． 【例题8】（2025·高三·湖北武汉·月考）已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则 ． 【方法技巧与总结】 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式10】（2025·高二·内蒙古呼伦贝尔·期末）在数列中，，则与的等比中项为 ． 【变式11】（2025·高二·吉林·期末）若为等比数列，4和16为其中的两项，则4和16的等比中项为 . 【变式12】已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 题型五：实际应用 【例题9】（2025·高三·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【例题10】（2025·高三·北京丰台·期末）各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（   ） A．73 B．75 C．76 D．78 【方法技巧与总结】 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式13】（2025·高二·广西柳州·月考）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【变式14】（2025·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【变式15】（2025·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（    ） A．25元 B．18元 C．20元 D．16元 题型六：单调性及最值问题 【例题11】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题12】（2025·高二·上海·月考）对于无穷数列，给出下列命题： ①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列． ②若等差数列满足，则数列是常数列． ③若等比数列满足，则数列是常数列． ④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 数形结合 【变式16】（2025·高三·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式17】（2025·高二·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【变式18】（2025·高三·河北邢台·月考）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：等比数列的性质 【例题13】（2025·高二·甘肃庆阳·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例题14】（2025·高三·安徽·开学考试）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【方法技巧与总结】 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式19】（2025·高二·广东中山·月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．5 C． D．30 【变式20】（2025·高二·四川成都·期中）在正项等比数列中，，则 A． B． C． D． 【变式21】（2025·高二·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 题型八：对称设元法的应用 【例题15】有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数． 【例题16】有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为，后三个数成等比数列，它们的和为，求这四个数． 【方法技巧与总结】 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为， （2）四个符号相同的数成等比数列设为． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为， （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为． 【变式22】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 【变式23】已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数． 【变式24】已知数列是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $