精品解析：浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 3. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由可得，由作图的过程可知，说明的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为（ ）平方厘米 A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 8. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 9. 如图，，连接，点 D 恰好上， 则（ ） A. 60 ° B. 59 ° C. 61 ° D. 无法计算 10. 如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为______ ． 12. 如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据数学道理是三角形具有____________性． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB距离等于 _______ ． 14. 如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_________________________ 15. 如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为_________． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程） 17. 如图，已知在和中，．求证：． 18. 按要求画出以下图形． （1）如图，已知，按要求作图： ①作的角平分线； ②作边上的高线． （2）有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求AD的长． 20. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数． 21. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，． （1）求证：． （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 22. 如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 23. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在中，，图1﹣图3的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． （2）如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ． （3）如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 24. 如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 5，6，10 D. 4，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，3+4<8，不能构成三角形， 选项B，5+6=11，不能构成三角形， 选项C，5+6>10,6-5<10,可以构成三角形， 选项D，4+4=8，不能构成三角形， 所以选C． 3. 能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例． 【详解】∵时，， ∴A选项不符合题意； ∵时，，不等式不成立， ∴B选项符合题意； ∵时，， ∴C选项不符合题意； ∵时，， ∴D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了命题的定义、幂的运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键． 4. 如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由可得，由作图的过程可知，说明的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可得，，，结合，根据可以证明． 【详解】解：根据作图过程可知：，， 在和中，， ∴， 即说明的依据是， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 5. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得，得，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 6. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°,设∠A=3k°，∠B=4k°，∠C=5k°,则3k°+4k°+5k°=180°,可得k的值，及∠A、∠B、∠C的度数,可判断△ABC的形状. 【详解】解：设∠A=3k°，∠B=4k°，∠C=5k°, 则3k°+4k°+5k°=180°,可得k=15° ∠A=45°，∠A=60°，∠A=75° △ABC为锐角三角形. 所以A选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理:三角形的内角和为180° 7. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为（ ）平方厘米 A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线得出，，，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵ E是的中点 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键． 8. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系以及三角形的性质对每个选项一一判断即可. 【详解】A.两条边无法做出唯一三角形； B5+6＜13，不能构成三角形； C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC； D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的画法，利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键. 9. 如图，，连接，点 D 恰好在上， 则（ ） A. 60 ° B. 59 ° C. 61 ° D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质．先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由“”可证，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解． 【详解】解：，，， ， ，，， ， ，故①符合题意， ， ，故④符合题意， ， ， ，故③符合题意， 由题意无法证明，故②不合题意， 故正确为：①③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为______ ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题条件和结论的叙述，命题写成“如果…那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可． 【详解】解：根据命题的定义，将“对顶角相等”改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12. 如图、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有____________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故答案为：稳定 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 _______ ． 【答案】2cm 【解析】 【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由角平分线性质即可完成解答． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∵AC＝8cm，DC＝AD， ∴DC＝AC＝ 2cm， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝2cm， ∴点D到AB的距离等于2cm， 故答案为:2cm 【点睛】本题考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质是解答本题的关键． 14. 如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_________________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 15. 如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积， 解题的关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比． 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间数量关系为________________________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图： ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程） 17. 如图，已知在和中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，可得∠DBE=∠ABC，用可证． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用证三角形全等和全等三角形的性质，解题关键是挖掘题目中的隐含条件，找到全等三角形进行证明． 18. 按要求画出以下图形． （1）如图，已知，按要求作图： ①作的角平分线； ②作边上的高线． （2）有公路同侧、异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作出角平分线和高． （2）作两公路夹角的角平分线，再作线段的垂直平分线，即可得到答案． 【小问1详解】 解：线段就是求作的的角平分线，线段就是求作的的高； 【小问2详解】 解：点C就是求作的点； 【点睛】本题主要考查作图的应用，熟练掌握基本的作图技巧是解题的关键． 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求AD的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”． （1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ （2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）20°或30° 【解析】 【分析】（1）由∠A＝35°，∠B＝40°，先求解 从而可得：于是可得答案； （2）由△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，不妨设再分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1） ∠A＝35°，∠B＝40°， △ABC是“三倍角三角形”． （2） △ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，不妨设 当时，则 当时， 当时，则 不合题意舍去， 综上：△ABC是“三倍角三角形”，△ABC中最小内角的度数为或 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，一元一次方程的应用，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连结，，． （1）求证：． （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明，即可得证； （2）延长交于点F，由全等三角形的性质可得，再求出即可得解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 延长交于点F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 22. 如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【解析】 分析】过点D分别作于点M，于点N， 根据，，可得，再证明，从而问题解决． 【详解】，理由如下： 过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴     在和中， ∵ ∴， ∴ 23. 阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． （2）如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ． （3）如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】（1），，，； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为： ，，，； 【小问2详解】 解：平分，平分， ，， ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图6， 是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 24. 如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】（1）或19 （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时和点P为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【小问1详解】 解：当点P在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时， 同理当点P为中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时； 综上所述，t的值为10或19； 【小问2详解】 解：设点的运动速度为， 由题意得，， ①当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ④当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； 综上所述，点的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $