精品解析：山东省淄博第六中学2024-2025学年高二上学期第一次单元检测数学试卷

2023级高二第一次单元检测数学试题 命题人：沈云庭 审核：张敬忠 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 2. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 3. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ） A. 若，，，则，为相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，，，则，为相互独立事件 5. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分．） 9. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B. 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D. 当时，平面平面； 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为______． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 14. 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为____________. 四、解答题：（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值． 17. 某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立． （1）求第1题答完甲得1分的概率； （2）求第2题答完比赛结束的概率； 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱AB的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二第一次单元检测数学试题 命题人：沈云庭 审核：张敬忠 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 2. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 3. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 4. 设，为两个随机事件，给出以下命题，不正确的是（ ） A. 若，，，则，为相互独立事件 B. 若，，，则，为相互独立事件 C. 若，，，则，为相互独立事件 D. 若，，，则，为相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件概率的关系及相互独立事件概率的概率乘法公式逐项判断即可. 【详解】对A：由，，， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故A正确； 对B：由，由A可知，B正确； 对C：由，由， ，则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故C正确； 对D：由，，, 而，所以与不相互独立，则，也不相互独立，故D错误． 故选：D 5. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，，，则下列结论错误的是（ ） A. 事件A与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件计算，判断B选项，再根据判断C选项，通过计算D选项，通过判断A选项. 【详解】因为，，， 所以，又，则，所以，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，C正确； 所以，D正确； 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误. 故选：A 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 7. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件用，，表示，即可得答案. 【详解】由题设， 结合，得， 故选：C 8. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以， 可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分．） 9. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式，结合串并联的特征逐项计算即得. 【详解】依题意，， 对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确； 对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误； 对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确； 对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确. 故选：ACD 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线平面； B. 当时，直线平面； C. 当时，平面平面； D. 当时，平面平面； 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出的坐标即可得到A错误；B正确；分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两法向量的数量积为零解出即可得到C、D正确； 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 由已知得， 则， 对于A、B，当时，， 因为，所以， 即，又与无公共点，所以，故A错误；B正确； 对于C、D，而平面，且平面，故直线平面. 假设存在符合题意的λ， 设平面的法向量为， 则由，可得 于是可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可得， 可得平面的一个法向量为， 则， 即，解得. 故存在，使平面平面； 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定表示没有击中目标，表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由数据可知，该运动员射击4次恰好击中3次有： 8636， 8045， 7424，共有3个随机事件，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】由随机数表可知，共有20个随机事件，其中该运动员射击4次恰好击中3次 有：8636， 8045， 7424，共有3个随机事件，因此估计该运动员射击4次恰好击中3次的概率为. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式,结合空间向量的坐标表示求解. 【详解】向量在向量上的投影向量等于， 故答案为：. 14. 已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，点B到平面GEF的距离为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量坐标，利用点到平面的距离向量公式计算即得. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则 于是，. 设平面的法向量是， 则有，故可取. 则点B到平面GEF的距离为：. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间线性运算即可求解； （2）由（1）平方即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，， 即. 16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率，甲、乙两人所付的租车费用相同，则则分甲乙都不超过2小时，甲乙都超过2小时不超过3小时，甲乙都超过3小时甲不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解； （2）若ξ＝4，则分甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解；若ξ＝6，则分甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时，利用互斥事件和独立事件的概率求解； 【小问1详解】 解：因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，， 超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，， 所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，， 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则P（A）＝， 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为. 【小问2详解】 若ξ＝4， 则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时，或甲乙都超过2小时不超过3小时， 所以P(ξ＝4)＝， 若ξ＝6， 则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时，或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时， 所以P(ξ＝6)＝. 17. 某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立． （1）求第1题答完甲得1分的概率； （2）求第2题答完比赛结束的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，甲得一分为甲抢到并答对和乙抢到答错，由独立事件的乘法公式求解即可； （2）第2题答完比赛结束，分为甲得了2分，或乙得了2分两种情况，再计算“答完1题乙得1分为事件的概率和“第2题答完比赛结束”为事件的概率即可； 【小问1详解】 记“答完1题甲得1分”为事件，则，第1题答完甲得1分的概率为． 【小问2详解】 第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分． 记“答完1题乙得1分为事件，”则． 记“第2题答完比赛结束”为事件，． 18. 如图，直三棱柱中，，，为棱AB的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出CM，ME，BM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而得到，进而证明出平面； （2）求出平面的法向量，从而利用空间向量求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接CM，因为，为棱AB的中点， 所以CM⊥AB， 过点M作， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面ABC， 因为平面ABC， 所以ME⊥BM，ME⊥CM， 故以M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以BM=AM=1， 由勾股定理得：， 所以， 则，设平面的法向量为， 则， 解得：，令，则， 故， 所以， 所以，平面，故平面； 【小问2详解】 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $