精品解析：河南省周口市鹿邑县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第一次学情分析 九年级数学（人教版） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 0 3. 若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≠2 C. a＜2 D. a＞2 4. 抛物线过点（-1，3），则它的图象一定经过点（ ） A. （0，3） B. （1，3） C. （2，3） D. （3，3） 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 6. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19 7. 将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（　　） A. （1，3） B. （2，﹣1） C. （0，﹣1） D. （0，1） 8. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 9. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. －4 C. D. 2 10. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 用配方法解方程，配方的结果是________． 12. 已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________． 14. 已知a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b＋2020的值是_____． 15. 若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 18. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求实数的值； （2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 19. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 20. 某水果店销售一种进价为每千克18元的葡萄，每天的销售量（单位：）与每千克售价（单位：元）的关系为． （1）设每天的销售利润为元，请写出关于的函数解析式； （2）该水果店想要使葡萄的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将售价定为多少？ 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若此方程的两实数根，满足，求k的值． 22. 受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺．某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋： （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率： （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价0.5元，销售量就增加20袋，当口置每袋售降价多少元时，五月份可获利1920元？ 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第一次学情分析 九年级数学（人教版） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫作一元二次方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】、中有两个未知数，此选项不符合题意； 、中最高次数为，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 、中，等号左边不是整式，此选项不符合题意； 故选：． 2. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 3. 若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≠2 C. a＜2 D. a＞2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数， ∴2-a≠0，即a≠2， 故选B． 4. 抛物线过点（-1，3），则它的图象一定经过点（ ） A. （0，3） B. （1，3） C. （2，3） D. （3，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为，根据对称性即可求得经过． 【详解】 抛物线的对称轴为 抛物线过点（-1，3），且关于对称的点为 它的图象一定经过点 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，求得抛物线的对称轴是解题的关键． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0， ∴m＜， 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】∵,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根 ∴（x-6）(x-8)=0， ∴x1=6；x2=8， ∵2+6=8<9， ∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长=2+8+9=19． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键. 7. 将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（　　） A. （1，3） B. （2，﹣1） C. （0，﹣1） D. （0，1） 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1， 即y=（x﹣2）2﹣1， 所以顶点坐标为（2，﹣1）， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，根据“左加右减，上加下减”解决问题． 8. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 9. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. －4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得，，利用代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，，则 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 10. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质得到抛物线抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小，距离越远，函数值越小，距离越短，函数值越大． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 而点离直线的距离为4，点离直线的距离为2，离直线的距离为3， ， ． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 用配方法解方程，配方的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．方程变形为，方程两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 则， 则， 故答案为： 12. 已知关于x的方程的一个根是2，则它的另一个根是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先把代入，解得，再根据一元二次方程的根与系数的关系进行列式解答即可． 【详解】解：关于x的方程的一个根是2， 则把代入，得， 解得， 因为， 所以 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握是解题的关键． 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴可设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数图象的形状与抛物线相同，， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键． 14. 已知a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b＋2020的值是_____． 【答案】2034 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入目标代数式求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程x2＋3x﹣5＝0的两个实数根， ∴，， a2﹣3b＋2020 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握以上知识是解题的关键．使得方程两边相等的未知数的值叫做方程的解，若是一元二次方程的两根，，． 15. 若二次函数（为常数）的最大值为3,则的值为________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解． 【详解】由题意得，， 整理得，， 解得：， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解决问题的关键． （1）根据提公因式法因式分解解一元二次方程即可得到答案； （2）先由多项式乘以多项式展开，再整理后由因式分解解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ，即， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，即， ， 或， 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵，而， ∴， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）m的值为，方程的另一个根是6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出m的值是解题的关键． （1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案； （2）将代入方程求出m的值，然后根据解方程的方法得出另一个根. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的一个根是1，代入原方程， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解得：． 即m的值为，方程的另一个根是6． 18. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求实数的值； （2）写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2），对称轴是轴 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． （1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【小问1详解】 解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得； 【小问2详解】 由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是，对称轴是y轴． 19. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 20. 某水果店销售一种进价为每千克18元的葡萄，每天的销售量（单位：）与每千克售价（单位：元）的关系为． （1）设每天的销售利润为元，请写出关于的函数解析式； （2）该水果店想要使葡萄的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将售价定为多少？ 【答案】（1） （2）24元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用． （1）根据销售利润等于销售量乘以每千克的利润即可得到函数解析式； （2）根据函数解析式得到方程，解方程并取较小值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， 【小问2详解】 由题意可得，， 解得，， ∴为尽可能地减少库存压力，应将售价定为元． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若此方程的两实数根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根得出，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出和的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【小问1详解】 解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（舍去）， ∴． 【点睛】【此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 22. 受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺．某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋： （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率： （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价0.5元，销售量就增加20袋，当口置每袋售降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%． （2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋）袋，根据总利润＝每袋口罩的销售利润×月销售数量结合五月份可获利1920元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x， 依题意，得：256（1＋x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%． 【小问2详解】 解：设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400＋2·20y）袋， 依题意，得：（14－y－8）（400＋）＝1920， 化简，得：y2+4y-12＝0， 解得：y1＝2，y2＝-6（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）是第四象限内抛物线上的动点，是否存在点，使面积的最大，若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式为，则； （3）过点P作轴于点D．设点P坐标为则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接交对称轴于点Q， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 当C、B、Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点D．设点P坐标为 则              ∴当时，． 此时 所以求面积S的最大值为，P点的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $